CHAPITRE VI

Du calcul ûem équations finales et de leur résolution.

Si. Nous avons vu dans le chapitre II que les équations de condition auxquelles les valeurs des inconnues doivent satisfaire de la manière la plus plausible, ont la forme indiquée par les équations (ii). Il est indispensable que toutes les équations aient le même poids , c'est-à-dire que toutes les observations aient le môme degré de précision, afin que les erreurs A, A' a". . . puissent être considérées comme obéissant à la loi indiquée par Téquation (9) en attribuant à A la même valeur pour toutes ; car ce n'est que sous cette condition qu'elles donnent lieu à l'équation (12). Par conséquent , si quelques observations avaient un poids supérieur ou inférieur aux autres, il faudrait, avant de les faire entrer dans le calcul, multiplier les équations auxquelles elles donnent lieu par la racine carrée de leur poids comparatif. Ce travail préliminaire est étranger à la méthode et doit précéder son application. C'est à l'observateur à étudier dans chaque cas les circonstances des observations et à évaluer de la manière la plus exacte le degré de confiance que mérite chacune d'elles. Nous supposerons donc que les équations ont été préparées de manière que chacune d'elles ait un poids égal.

35. Nous devons encore présenter une remarque préliminaire sur un cas que la pratique peut faire rencontrer. Il peut arriver que parmi les équations de condition qui lient aux valeurs observées, les éléments que l'on veut déterminer , il s'en trouve auxquelles les observations doivent rigouremement satisfaire. Dans ce cas on ne peut pas confondre ces relations avec les équations approximatives et les faire entrer à ce titre dans le calcul ; mais il faut les utiliser pour éliminer un nombre égal des inconnues à déterminer. De cette manière les équations rigoureuses disparaissent, et le problème est ramené au cas général. Comme exemple relatif à ce cas, on peut citer les conditions par lesquelles dans un réseau

géodésique, ia sonune des angles d'un polygone fermé, doit être égale à la somme des angles du polygone plan correspondant, augmentée de Texcës sphérique, ou encore la somme des angles de suite autour d'un point doit être égale à quatre angles droits.

36. Considérons maintenant les équations à résoudre (il) et désignons-les par un chiffre nouveau :

(I) A' = a'x+b'y+cfz-i- . . . + A'

Pour en déduire les équations finales (16) au moyen des relations (15), le calcul ne peut présenter d^autres difficultés que sa longueur. On peut s'aider dans ce calcul, soit des tables des carrés des nombres, soit des tables de logarithmes ; cependant lorsque les coefficients ne sont pas composés de plus de trois ou quatre chiffres , le calcul direct est peut-être plus rapide. Nous présenterons à cet égard une remarque qui nous semble importante. C'est que ce calcul doit être effectué avec plus de rigueur qu'on ne le fait communément , si Ton veut obtenir des résultats corrects. En effet, des négligences que l'on croit pouvoir se permettre sur des données qui au fond sont entachées d'erreurs, peuvent avoir sur la valeur des inconnues une influence qu'il est impossible de mesurer à l'avance ; et il nous semble incontestable que le rôle du calcul doit se borner à tirer du résultat des expériences les conséquences qui s'en déduisent, sans y ajouter de nouvelles inexactitudes. Nous appelons donc l'attention des calculateurs sur la convenance d^effectuer toutes les opérations en conservant dans chacune d'elles une ou deux décimales de plus qu'il n'en doit figurer dans le résultat final.

Dans un calcul aussi long il est absolument nécessaire d'obtenir un contrôle, et ce qui semble le plus simple et en môme temps le plus sûr, consiste à calculer outre les coefficients des équations (16) deux autres résultats, dont l'un sera d'ailleurs indispensable pour la détermination complète, savoir la somme des carrés des termes connus k, fc', fc*. . . des équations (I) et la somme des car-

rés de la somme algébrique des coefficients numériques de ces mêmes équations, c'est-à-dire:

(«*]=s»-j-st-|-s'^ en posant:

On calculera donc les quantités suivantes au nombre de (M -1-1) (n + i)

[ai] = a»-ftf'»-|-o'»-+-.... [ab] = afr-|-a'6'-H»'6"-f-...

[b*] = b* +b'*-i- 6"-!-. , . . [ac] = a<4-a'c'-|-a'c"-f . . .

(II) [(*] = c» -|-c''-i- C»-|- ... [bc] = bo^b'e +ft'c"-|- . . .

[kt\ = k*-{-k"-]-k"^-. . . . [ak\ = afc-ffl'A'-l-a'f +. . . i«»J = 4» +«'•+«'«+.... [bk] = bk^n'+m"-{-...

(cfc| = cA-|-c'fc'-K'*"+"

Ces quantités étant calculées, on obtient une preuve de l'exactitude de la détermination par l'équation identique à laquelle elles doivent satisfaire :

[,.]=:[a«]+[6«]+fc«]+...+H

(II)' + 2 { [aft]+H-Kte]+ +lak]+[bk]Mck]+ 1

Cette comparaison peut se faire soit lorsque tous les calculs sont achevés, soit sur un certain nombre de résultats à mesure qu'on les obtient, par exemple de dix en dix, ou de vingt en vingt, etc.; par ce dernier moyen on parvient à localiser les fautes de calcul qu'on a pu commettre, et par conséquent à les découvrir plus facilement pour les corriger.

37. Lorsqu'on a formé ces différents coefficients, et qu'on s'est assuré qu'aucune erreur ne s'est glissée dans leur détermination, on obtient les équations finales suivantes (n^ 14 (16) ) :

[a*]x + [ab]y + [ac]Z'{- ^[ak] =

(III) [ab]x + [b']y + lbc]z+.... +[ftp| = [ac] a? -j- [ôc] y 4- [c'I -sr + +\ck\=zO

Pour résoudre ces équations, le procédé d'élimination le plus convenable est celui des multiplicateurs indéterminés, parce quUl fournit immédiatement les éléments nécessaires à Févalnation de l'incertitude du résultat, évaluation qui constitue une partie importante de la recherche. Pour obtenir x par exemple, nous multiplierons chacune des équations (III) par des facteurs tels, qu'en faisant la somme des produits obtenus, le coefficient de x devienne l'unité et le coefficient de chacune des autres inconnues devienne nul. La détermination de y et de chacune des autres inconnues aura lieu de la môme manière par l'emploi d'autres systèmes de multiplicateurs. Convenons de représenter les multiplicateurs propres à la détermination de x respectivement par les symboles :

la seconde lettre placée dans la parenthèse marquant, par son rang dans l'alphabet grec, le rang de l'équation multipliée, et la première se rapportant à Tordre de l'inconnue x qui est la première. En adoptant cette notation, qui sera justifiée plus tard, nous désignerons les multiplicateurs relatifs à la détermination de y par :

ceux relatifs à la détermination de z par :

et ainsi de suite.

Ces multiplicateurs devront vérifier les équations suivantes :

[a«] [«a] + [ab] [«p] + [ac] [«>] + ... = !

(41) [ab] [aoc] + [ft«] [ap] + [bc] [ay] + . . . =

[ac] [a«] + [bc] [aP] + [C«] [ay] -|- • • • =

[a'] fPal + [ab] fpp] -h H [py] +....=

(42) [ab] [PaJ + fft«] [pp] -h N [M + •••• = ^ \ac] [pa| -h [bc] [pp] + [c*] [h] +.... =

[a'] [y«J + [ab] [yP] + [ac] [yy] + ....=

(43) \ab] [y«] 4- [b^] [yP] + [bc] [yy] + ....=

\ac\ [ycc] + \bc] [yp] + [6-J [yy] +.... = i

38. Gomme le nombre des multiplicateurs est, pour chacune d^elles, égal au nombre des inconnues, il semble que leur nombre total est n*. Mais il est facile de voir que ces multiplicateurs ne sont pas indépendants ; en effet, si nous multiplions le système (41) respectivement par [pa], [pp], fPy] . • • et si nous ajoutons les produits, nous aurons en vertu des équations (42) :

[«P]=-[pa]

Et une semblable démonstration aura lieu pour tous les multiplicateurs analogues, en sorte que [«>']=[>«] ; (Pyl=(y^I e^- ^^ 'ïoiïi-

bre des multiplicateurs différents est donc égal à ^' ' au lieu

de n*. Il sufiBra donc pour les déterminer de considérer une seule équation du système (41), deux du système (42), trois du suivant, et ainsi de suite jusqu'à n équations du dernier système.

Entre les deux équations du système (42) nous pourrons éliminer [pa], en retranchant de la seconde le produit de la première

par le rapport 4-4. ce qui conduira à un résultat de la forme :

f6M] m + [bcA\ [PyJ + [M.1 J [p<î] + = 1

où: [6M] = [61-'^N;l6c.l] = [6cJ-.!^{fa^J etc.

De môme en éliminant [>«] dans le système (43), en retranchant

successivement de chacune des deux autres le produit de la pre-

\ab\ , [oc] miere par ^p^, etparjr-^|, on aura:

[6M] [Py] + [6C.11 [yyj -h [MA] fy^J + . . . = [bcA] iPy] + [CM] [yy] + [cdA] \y$] + . . . = 1

en posant* de même :

Si entre ces deux dernières équations nous éliminons [^j en re-

\bc il tranchant de la seconde le produit de la première par i^— ^ nous

[b*A] obtenons :

k*.2]fy>J-|-[«fl[y^H-....-i

en posant :

En continuant de même jusqu'au dernier système et en poussant dans chacun d'eux Télimination aussi loin que possible, nous ramènerons ainsi le dernier à une équation à une inconnue, deux équations à i inconnues, etc. n équations à n inconnues. Alors ne prenant que les premières équations de chacun des systèmes principaux et de chacun des systèmes secondaires qui s'en déduisent, nous aurons pour déterminer tous nos multiplicateurs les équations suivantes :

(d) (0'|H + [061[aPl-|-[ml(ayl-f H(a*).... =-- i

[a'I l«Pj + m [P*l + \ac] (P-/J + NI m-

\b\i] m + [bcA] [Py] + [bdA] m + . • •

Kl [«yH- N[M-i- H|yyl+Mfy*l+-

(IV) (3) [6M][M+[ftc-l][vy]-H[M.ll[75l [cMl|yy]+N-2l(y*l+

|a'](«*H-H[W]+(acIly*l+(ad|(Wl+.

(6M)(P*|+l6c.ll[y*]+(6</.il[**]-|- . .

[cVSKyil + KSKWH-

Équations dont les coefficients se calculent par les relations suivantes dont la symétrie est évidente :

[6..1]=r6.]j£y[aftl [cMHc']-J||[ac] \(P.md^]-^^ad\

[bc.mbc]-^^%c] [cd.mcd\Mad] [deAHde]-^^[ae]

^^^ [M.i]=M-|^JNl {ceAHcey^0j.ae)

[beAnbey^^^[ae]

[c..2Hce.l]-M[ôe.il

fd«.31=[rf«.2]-f^j[rd.2] [éjV31=[(?«.2]-[^[c..2]

Dans la pratique on commencera par écrire un nombre de systèmes des équations (FV), égal au nombre des inconnues et composés successivement le premier de une équation (i), le second de deux équations (2), le troisième de trois équations (3), etc. On en calculera les coefficients au moyen des relations (V), et ensuite en commençant par la dernière des équations (IV), qui ne renferme qu'un seul multiplicateur inconnu, on déterminera d'abord celui-là et de proche en proche successivement tous les autres. On aura un contrôle dans ce calcul, qui permettra de s'assurer qu'on n'a pas commis d'erreur ; en effet, après la détermination de chacun des systèmes des équations (IV), on peut vérifier les valeurs trouvées pour les multiplicateurs, en recherchant si par leur moyen on parvient dans le système (III) à éliminer toutes les inconnues sauf une.

39. On peut observer d'ailleurs qu'une extrême précision n'est pas absolument nécessaire dans la détermination des multiplicateurs, même dans le cas où l'on voudrait obtenir avec une trèsgrande exactitude la valeur des inconnues des équations (III). En effet 5 une petite erreur sur la valeur de ces multiplicateurs aura pour résultat de ne pas réaliser l'élimination absolue de toutes les inconnues sauf une , en sorte que toutes les inconnues pourront encore figurer dans chaque équation finale , mais l'une d'entre elles aura dans cette équation pour coefficient un nombre trèsvoisin de l'unité, et toutes les autres un coefficient très-voisin de zéro. Alors en négligeant les termes très-petits, on obtiendra pour chaque inconnue une première valeur approchée.

Lorsqu'on aura ainsi une première détermination de toutes les inconnues , on substituera dans chaque équation aux inconnues les valeurs trouvées, augmentées d'une correction indéterminée ; par exemple à x, on substituera A-f-a?', en désignant par A la valeur approchée ; à y, B-f-j/' etc. De cette manière on formera un nouveau système auquel on pourra appliquer les mêmes multiplicateurs pour trouver la valeur des corrections af^ y' etc. et l'on aura, ainsi des valeurs très-exactes des inconnues.

Il est vrai que les multiplicateurs doivent aussi servir à évaluer le poids ou la précision des résultats définitifs, mais pour ce but spécial une extrême rigueur dans la valeur absolue n'est pas indispensable et une valeur approchée est très-suffisante. Au reste, la forme même des équations (IV) est très-propre à donner à la détermination, des chances d'exactitude, parce que le coefficient de l'inconnue à déterminer dans chacune d'elles, est habituellement supérieur et même sensiblement à tous les autres.

40. Ayant ainsi déterminé les multiplicateurs propres à opérer l'élimination, on obtiendra par leur moyen les valeurs des inconnues sous la forme :