SS

45. Si Ton multiplie les équations (46) respectivement par {\ p' p». . . et si l'on ajoute les produits on trouve :

+ fayljcp + Cp' + C"p'+...}

ou bien en vertu des équations (50) :

(IX) «p+a'p' + aT-h... = (apj

Par des calculs analogues on trouverait la valeur de tous les autres multiplicateurs et l'on reconnaîtrait qu'ils sont composés à l'égard de a, a, ar.,.^ p, p', p'. . ., y, y\ y". . . conformément à la notation admise aux n°» 14 et 36,

46. Il résulte de cette analyse que , en désignant par ^y ^', A^ les erreurs des différentes observations, Ton a :

a? = A 4- oA + a A' -^ «"A* H

(VII) y = R -4- fiA 4- p'A' 4- p-A" 4-

j = C + yA 4- /A' + /A* 4- . . . .

Et d'après le n« 32 les valeurs les plus plausibles des inconnues

sont:

x = Al poids — erreur probable p£«v^2v^[aa]

[cm]

(X) y = B » — r » P«tV^2v/rpp]

LPP!

^ = C » — -- » pesN/îv'lrr]

En attribuant à chacune des observations primitives Tonité de poids, et en nommant e. Terreur moyenne à craindre dans chacune d'elles, ou la racine carrée de la moyenne des carrés des erreurs.

47. Il nous reste maintenante déterminer £2. On pourrait dans ce but substituer dans les équations (I) les valeurs trouvées pour les inconnues et après avoir ainsi mis en évidence la valeur des erreurs définitives, calculer directement la valeur (ej)* de la moyenne de leurs carrés. Mais les quantités auxiliaires qui nous ont servi dans les calculs du chapitre VI , peuvent considérablement abréger ce travail.

Considérons en effet les équations (I) u? 36 ; élevona chacune d'elles au carré et ajoutons les résultats en posant :

nous aurons :

Q = [a*]x^ + [b*]y* + [c^]z' + + [fc«|

'i'2\[ab]xy + [ac]xz + [bc]yz + }

+ 2 { [aA;] a? + [bk] y + [ck]z + }

Ou bien en écrivant les termes dans un ordre différent :

Q = x{[a*]x + [ab]y + [ac]z + . . . . + [ak]\

+ y \[ab]x+ [b*]y + [bc]z + . . . . -|- [bk]} + z[[ac]x+ [k] y + [c*l z + . . . . + [ck]]

+ m + X [ak] + y [bk\ + z [ck] 4-

Mais en vertu des équations (III), les premiers termes s'annulent lorsqu'on remplace x, y, z. ., par leurs valeurs et le second membre se réduit à la dernière ligne, en sorte que :

(Xi) Q = [k*] + X [ak] + y [bk] + z [vk] +

Connaissant par là, la valeur de la somme des carrés des erreurs, on trouve c^ par l'équation :