CHAPITRE Vni

Application à un exemple partieulier*

48. Nous prendrons comme exemple le système traité par Gauss {Commentationes societatis Regiœ sdentiarum Gottingensis recentiores, vol. 1, 1811). Les équations sont au nombre de 12, mais se réduisent à 11 à cause de l'incertitude des observations d'où la 10"« est déduite. Les onze équations à résoudre sont :

■I- 0,79363a? f 143,6% + 0,39493^; + 0,95920ti; - 0,18856ti -1-0,173871- 183*,93 =

- 0,0265ar + 46,71y +0,02658j5 - 0,20858w + 0,15946w -|. 1 ,25782e- 6^81 = + 0,58880aj + 358,121^-1- 0,26208z - 0,85234tc -|- 0,14912tt+0,1777{k- 0%06 = -I- 0,013iac I 28,39^ - 0,013182- 0,07861to + 0,91704t«+0,54363f - 3*,09 =: + 1 ,73436aH.l 846, \ ly - 0,54603z - 2,05662ti; -0,1 8833ii - 0, 1 744Sf - 0*,02 =

- 0,12606x-227,42y-|-0,12603j8- 0,38939to+ 0,17176m- i,3o44U- «•,98 = \ 0,99384aH-1579,03y+0,064ô6j8-F l,99545w -0,06040w -0,33750t- 2^3I =

- 0,08089j; - 67,22y \ 0,08089j8 - 0,09970tc - 0,46359ti + \ ,228031 + y,47 = -I- 0,6531 la;-|^1329,09y -|-0,38994«-0,08439tr- 0,04305u +0,34268t-F 0",01 = -I- 0,69957x-Fl719,32»/ -1^0,1291 3z-l ,38787w-F 0,171 30ti-0,08360« - 317",73 =

- 0,01315a; - 43,84yf 0;01315j8f 0,02929w-|^ l,02138tt-P.27187e f 117*,97 =

Les six inconnues que nous avons représentées par x, y, z, w, u et t sont les corrections à apporter aux éléments elliptiques de Pallas, déduits des observations de 1804 à 1808 pour tenir compte des observations de 1803 à 1809 dont pouvait disposer Gauss à l'époque où il a présenté son mémoire à la société de Gottingue (25 novembre 1810).

Cet exemple a été traité par Gauss dans le mémoire cité, avec tous les développements propres à faire connaître l'algorithme ingénieux par lequel il applique la méthode des moindres carrés, et que nous avons exposé dans les n®« 37 et suivants. Il prévient en outre qu'il a fait les calculs avec soin et que les résultats sont exacts (calculo accurate absoluto^ etc.). Cependant il est facile de voir que, sans parler d'une faute de calcul évidente dans la détermination du coefficient [bbA\ et des suivants, il a cru pouvoir négliger comme insensibles dans les différents produits quelquesunes des dernières décimales. Afin de juger de l'influence de ces négligences sur la valeur des inconnues, j'ai refait le calcul entier, en conservant dans chaque produit un nombre de décimales supérieur à celui qui doit ôtre conservé et en supprhnant, seulement au résultat final, celles qui sont inutiles. J'ai obtenu ainsi par les équations (II) les valeurs suivantes en regard desquelles je place celles que Gauss indique :

Valeurs trouvées:

suivant Gauss

[ab] -1-

[ac] —

[ad] —

[ae] —

[af]--

[ak] -- —

[Oc] [bd]

[be]

[cd] [ce] [cf\

[Ck]:

[de]

[df] [dk]

[ef] [ek]

[fk] =

J'ai obtenu une vérification de ces calculs par la relation (II), en déterminant la somme des carrés des sommes des coefiicionts pour lesquelles j'avais les valeurs suivantes :

J'obtiens par le double calcul :

[S»] =9829792,208927 Les chiffres do Gauss donneraient :

Les équations à résoudre sont donc : (III)

|5,91S674.x+7203,900356.y- 0,()934S8.z- 2,28S133.w- 0,346641.u- 0,18197S.(- 371,089418 = 7203,9004. jH-I 0834257,1 8.i/-49,064264.z-3229,79229.w-198,63939.u-l 43,0S8036. (-380097,0332 = -0,0934o8.x- 40,064264.y+ 0,719188.zt l,133841.t«+ 0,058616.U'|- 0,262837.(- 1 13,339187 = - 2,28S133.x-3229,792290.y-|- l,133841.zf 12,003467.id- 0,371373.u- 0,120404.(+ 268,393358 = —0,346641.3!- 198,639388.</f 0,058616.2- 0,371373.w| 2,282129.u- 0,362610.(1 94,273755= U -0,181975.x- 143,058056.^^ 0,262837.z- 0,120404.«>- 0,362610.U'|- .5,624647.(- 31,764106 =

En écrivant au complet les équations du système (FV) destinées à faire connaître la valeur des multiplicateurs propres à produire l'élimination des différentes inconnues, nous formons le tableau suivant :

(1 ) la»] [aal+lab] [ap]+[ac] [ay]+[ad]+[a«]+[ae] [aQ^af] [aB] = 1 .g. [a*][«Pl+[a6][PP]+lac][Py]+[arf]+[p3]+[ael[|îJ:]+[«/l[P9] =

[byi][m+ii>c.my]+[bdA]mHbe.mmi>M]m=i

[a*][ay]Hab][f.y]^ac][yy]Hac[l[ySmae][yZmaf\[yQ] = (3) \b\l\ mHbcA\[yy]+[bdA][ySmbeA\[yÇ\+[bfA\ [yO] = [c'.2J[yy]+[crf.2J[y*]+|ce.2J[yq+[c/-.2J[ye] = 1

(IV) W[<xS]+lab][ii3]+[ac][yS}\-m R*]+[ae][5i;]+[a/][50] =

a) \f'*-i\[m+\bcA]iyli]+\bdA]m+[beA]m+]bfA]m = [c'.2J[y5]+[crf.2][W]+[ce.2][*Ç]+[c/'.2][5e] = ld*.3] [55]+[cfc.3] [.îî;]+[d/'.3] [M] = 1

La'] WQ+[ab] [Kmac] [yQUad] [SQ + [œ] m + [af] m =

[6M][K]+[ftc.i][yq+[M.i][5i;]+[6e.i][î;q+[6/-.i][j:6] = o (5) [c'.2][yî;]+M.2][*q+[ce.2]Kg+[c/.2][£;e] = o

[d\3]mi[de.s][>:mdf.3]m = o

[a«][ae]+[a6][P9]+[ac][y9]+[ad][*ô]+[ae]Ke]+[a/^[ee] = [b*A]m+[bcA][y()]^bdA]m-\-[beA]m+[bfA]m] = (6) [c'.2] [yG]+[crf.2J m+lce.i] Ke]+[<;A2] [86] =

[d'.3]f5ôl+[rfe.3]fj:e]+[d/.3][ee) = o

[e*.i] mm-*] m = o

11 faut maintenant calculer, au moyen des équations du système (V) n» 37. les valeurs des coefficients qui figurent dans ces

différentes relations. J'ai trouvé les valeurs suivantes en regard desquelles je place celles de Gauss, en signalant par un astérisque ceux de ces résultats dans lesquels se sont évidemment glissées des erreurs de calcul.

Valeurs trouvées : 1

If émoire de Gauss :

[bc . i]- -f

[bdA]

[beA] +

[bfA] +

le . 1]= +

[cdA]=^

[ce . 1]= +

[cf . 1]= +

[de . i]=

[dfA]=-

[ef. i]= -

Avec ces valeurs on obtient par les relations (V) (2) :

Valeurs trouvées :

le*. 2]= 4- 0,715678

l<;d.2]=-i- 1,111780 Ice . 2]= -I- 0,046121 le/'. 2]=+ 0,257495

Id» . 2]= + 11,023820 [de . 2]= — 0,456814 W.2]=— 0,173666

[e* . 2]= -f 2,237590 le/. 2]=— 0,381788

Mémoire de Gauss

Avec ces nouvelles valeurs on calcule par les formules (V) (3) n«37:

[df.3]= — 0,573675 — 0,57384

[/i.3]=: + 5,523412 -+- 5,52342 On obtient ensuite par (V) (4) :

[et. 4]=

Et enfin :

Au moyen de ces valeurs on obtient par les équations du système (IV) page 50, en remontant de proche en proche de la dernière à la première, les valeurs suivantes pour les multiplicateurs propres à effectuer l'élimination :

(eej-

fyi]= - 0,1775735

(ye]=

fa*]- + 0,0103167

ae]=

|yy)= + 1,7110353 [py] 0,000079319

fK]=

|yq=

fpp]= + 0,00000049795

fap]= - 0,00060030

\aa}= + 0,9105951

En traitant par les multiplicateurs trouvés plus haut, les six équations précédentes dans lesquelles on remplacera les termes connus par ces erreurs de la première approximation, on trouvera pour corrections :

ù la valeur de a; — 0,080697

D'où

résultent pour

ces inconnues les valeurs suivantes :

Si Ton compare ces duites, on voit qu'il en

valeurs à celles que le calcul exact a pro- 1 résulte pour les inconnues, les différences

5UlTcXlli

pour

Ces différences dépassent de beaucoup les quantités qu'on peut négliger dans un calcul de ce genre ; et cependant elles naissent de petites omissions ou de petites inexactitudes bien moindres dans ce cas spécial que celles que l'on se permet habituellement dans l'application de la méthode des moindres carrés; car c'est vraisemblablement à cette partie du calcul que s'applique la remarque de Gauss sur l'exactitude qu'il s'est imposée.

Il me semble de quelque importance d'insister sur ce point qui justifie l'observation que nous avons présentée au n° 36. La pré-

cision rend sans doute le travail plus onéreux et plus long, mais c^est la condition indispensable pour être conduit à des résultats auxquels leur exactitude donne quelque valeur.

Pour achever le calcul nous devons déterminer la somme des carrés des erreurs. Par Téquation (XI) nous trouvons au moyen des valeurs précédentes :

En faisant la substitution des valeurs des inconnues dans les

i\ équations primitives, on trouve pour erreurs restantes les nom-

bres suivants :

Ces erreurs sont beaucoup plus considérables que celles que Pon rencontre habituellement dans les applications. Celte circonstance tient à la nature de la recherche. En effet dans le mé moire d'où nous avons tiré les équations que nous venons de résoudre, Gauss a pour but de résoudre le problème purement analytique de rechercher quels sont les éléments elliptiques qui satisfont le mieux aux oppositions observées de Pallas depuis 1803 jusqu'en 1809. Il fait donc abstraction des perturbations considérables causées principalement par l'action de Jupiter, et les erreurs que le calcul signale naissent de cette cause et non des observations.

On peut obtenir une nouvelle vérification de tout le calcul en faisant la somme des carrés des erreurs que nous venons de calculer. Cette somme est égale à

La différence tout à fait iDsignifiante entre les deux calculs provient des parties négligées, et surpasse de beaucoup en exactitude ce qui est utile comme contrôle.

Il faudrait maintenant calculer Terreur probable de chaque inconnue. La circonstance que nous avons mentionnée rend cette recherche pour le problème spécial tout à fait inutile ; néanmoins nous ferons ce calcul comme application des équations (X).

Nous avons d'abord par (XII) en faisant tii= 11, n=6 :

Nous aurons en outre pour les équations (X) :

pc,v/2 = 87%99i4

Et en ayant égard aux poids des différentes déterminations dont

la valeur est donnée page 65, nous trouvons pour l'erreur probable :

= ii5',098

Nous ne donnons ces valeurs que comme exemple de calcul, car, comme nous l'avons dit, elles ne peuvent pas avoir, dans ce cas particulier, la signification habituelle, puisque la recherche est altérée par un mélange d'empirisme.