OP OP
Le problème est donc résolu.
Problème. Trouver pour des axes quelconques Ja condition de perpendicularité d'une droite et d'un plan.
Prennons à partir de l'origine et suivant certaine direction OP = i. Appelons m, ni' , ni!' les coordonnées du point P. Les équations de toute droite parallèle à OP, seront de la forme
Les quantités m, m', m" élant liées par la relation
i = m2-r- ni'2 -h m"2 ■+• 2 m /?i"cos0 -+- 2 mm" cosiï' -h 2 mm'cosO"
Cherchons de même l'équation d'un plan perpendiculaire à OP.
Il est évident que si on appelé x, y, z les coordonnées de ce plan, et que l'on projette orthogonalement surOP ces coordonnées la somme des projections devra être constante. Or on connaît, par le problème précédent, les cosinus des angles de la droite OP avec les axes. L'équation du plan sera donc.
(m -+- /w'cosO"-!- //i"cos0') x -4- (ni '-+- m cosô*-h /?i"cos0)j'
-f- ( m" -h m cos 0' -4- m' cos 0 ) z -+- p — o
Et il est remarquable que le premier membre de cetle équation exprime aussi la distance à ce plan d'un point quelconque dont les coordonnées sont.r,jK, z. Ce qui est évident puisque ce premier membre n'est autre chose que la somme des projections des coordonnées d'un point sur la droite OP, augmentée de la distance du plan à l'origine.
Cela posé, soit l'équation d'une surface du second degré rapportée à des axes obliques
Ax2 H- A' y2 -4- A" z2 -+■ 1 Byz + aB'^ + 2 B"xy
-+- iCx -f- 2 C'y -+■ iG"z-{- D — y(x,y, z) — o
Lorsqu'on cherche l'équation du plan qui divise également toutes les cordes parallèles à une droite donnée, on substitue l'équation cp (#, y, z) = o, à la place de x, y, z,
x -+- pm / + p/n z + pm
et les racines de l'équation en p qu'on obtient ainsi, expriment les distances du point (#, y, z) aux deux points où une corde parallèle
à la droite — = —,=:—- menée par le point (x, y, z) coupe la sur-
face du second degré. Ces deux distances devant être égales et de signe contraire, il suffira de faire dans l'équation en p le second terme nul pour avoir l'équation du plan diamétral. Or l'équation en o est en faisant
M = cp (m, rri ', m") MP = (Aw + BW-+- B'm")j + (A'm'+Bffw + Bm,r)/ -+- (A" m" -h B'm -+- B m') z -+- Cm H- C mf + 01' m"
de la forme
p2-h2Pp h- Q = o
Si l'on cherche l'équation d'un plan principal, il faudra de plus que le plan représenté par P = o soit perpendiculaire à la
droite — = ^L = — = et par conséquent que son équation soit de m m m r 1 i t
la forme
(m -+- m'cosiï'-h m"cos§') x 4- (m' -h m cosô"-h m"cos %)y
-+- ( m" -f- m cos 6' -h m" cos 6)2-h/> = S = o
Il faudra donc que les coefficients de MP et ceux de S soient proportionnels et que l'on ait
MP
— — = const = s
La quantité étant telle que l'on ait
(A — s) m ^-(B"—scosW')mf-+-(B,— scosW)m"=o (A'— s)m'-f-(B"— s cos 6") m -f- (B — s cos 6) m" = o ( A" — s ) m" -4- ( B' — s cos 6' ) m + ( B — s cos ô ) m' = o
On en déduit l'équation en s,
o = (A- s)(B — scosô)2-}-(A'— s)(B' — s cos 6')2 -h (A" — s)(\V — scosG")2 — (A — s) ( \' — s) (A" — s ) — 2 (B - scos6)(B'— scos0')( B" — scos0")
qui est du troisième degré parce qu'en effet il existe trois plans principaux.
Mais la quantité s et l'équation qui la détermine jouissent d'une propriété fort remarquable que personne jusqu'ici ne parait avoir observée.
Supposons que l'on transforme les coordonnées en exprimant les anciennes coordonnées d'un point en fonction des nouvelles. Si on substitue les valeurs de x,y, z en x', y', z1 dans la fonction (p(x,y, z) on obtient une fonction ^{x'.y'^z') d'une autre forme, et qui est telle que dans la fonction cp on substitue les anciennes coordonnées d'un point déterminé, et dans la fonction co' les nouvelles, les deux résultats ainsi obtenus sont égaux.
Gela posé reprennons l'expression de s, s = — , la quantité M
étant le résultat de la substitution des coordonnées du point pris sur une droite fixe à une distance = t de l'origine c'est à dire d'un point fixe, dans l'équation de la surface, ne variera quand on transformera les coordonnées.
La quantité P exprimant la demi-somme des distances d'un point (.£, y, z) à la surface distances comptées suivant une droite fixe, est aussi invariable par la transformation des coordonnées. Enfin la quantité S exprimant la distance d'un point à un plan déterminé, ne saurait non plus varier.
La quantité s est donc elle même invariable pour un même plan principal, et l'équation qui donne ses trois valeurs aura des coefficients invariables. Or en la développant, on a
( i — cos2 0 — cos 2 6' — cos2 0" -h i cos 6 cos 6' cos 0" ) s* — ^[AsinSO + A'sin^'^-A^in^^^BCcose'cosO'' — cos0)
-4- a B'(cos0 cos0ff — cos 6') -+- 9 B"(cos0 cosô'— cos 6")] 4- s ( A' A" 4- AA"h- AA'— 2 AB cos0 — 2 A' B'cosô'— «i A" B'cosÔ" — B2 — B'2 — B"2
-H2B'B''cosÔ-H2BB"cosÔ'-f-2BB'cos0'') 4- AB2 -+- A' B'2 4- A" B"2 - AA' A"— 2 BB' B" = o
Divisant tous les coefficients par le premier ou par le dernier on
aura trois fonctions des constantes qui entrent dans l'équation de la surface, invariables par la transformation des coordonnées. Si Ton suppose cos9, cosO' et cos9v nuls on aura pour tous les systèmes d'axes où cela peut être c'est à dire d'axes rectangulaires, les équations
A + A'+A"= const B2-4 B'2h-B"2 A'A"- AA"AA'= const AB*-+-A'B'2-hA"B"2 — AA'A" — 2BB'B" = const
Également si l'on suppose encore dans l'équation en s, B, B', W nuls, c'est à dire qu'on suppose la surface rapportée à des diamètres conjugués, en divisant toute l'équation par le dernier terme, on trouvera pour tous les systèmes semblables
i — cos2 6 — cos2 0' — cos2 6" -h 2 cos 0 cos G' cos 6"
