A'S'= AST
d'où
TS' = ST S' = T~l ST
Sur l'autre face du même fragment, on lit :
Si l'on représente les n lettres par n indices
toute permutation pourra être représentée
cp i cp 2 cp 3 ... cp n
cp étant une fonction convenablement choisie la substitution par laquelle on passe de la première perm. à l'autre sera (k, cp/r), À- désignant un indice quelconque.
Au lieu de représenter les lettres par des nombres on pourrait représenter les places par des nombres.
équations (1). Nous nous contenterons donc d'avoir exposé les définitions indispensables pour l'intelligence de la suite et nous allons montrer la liaison qui existe entre les deux théories.
§ 2. Comment la théorie des Equations dépend de celle des Permutations .
6. Considérons une équation à coefficients quelconques et regardons comme rationnelle toute quantité qui s'exprime rationnellement au moyen des coefficients de l'équation, et même an moven d'un certain nombre d'autres quantités irrationnelles adjointes que l'on peut supposer connues à priori.
Lorsqu'une fonction des racines ne change pas de valeur numériques par une certaine substitution opérée entre les racines, elle est dite invariable par cette substitution. On voit qu'une fonction peut très bien être invariable par telle ou telle substitution entre les racines, sans que sa forme l'indique. Ainsi, si F(#) = o est l'équation proposée, la fonction cp[F(a), F(è), F(c), . . .], (cp étant une fonction quelconque, et a, ô, c . . les racines) sera une fonction de ces racines invariable par toute substitution entre les racines, sans que sa forme l'indique généralement.
Or c'est une Question dont il ne paraît pas qu'on ait encore la solution, de savoir si, étant donnée une fonction de plusieurs
(l) Ce fragment comporte trois feuilles du format 2oxi5, du même papier que le fragment M; la troisième feuille, dont il est question dans une noie ultérieure, est intacte; les deux autres sont déchirées, -à droite, de haut en bas; il manque quelques lettres et, parfois, des mots entiers; d'où les crochets que l'on trouvera dans le texte imprimé. La déchirure a pu se faire en détachant les trois feuilles d'un cahier pareil à celui qui porte le titre « Notes de mathématiques » et dont j'ai parlé plus haut.
Cet essai est sans doute antérieur à la rédaction du Mémoire sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux, et de la feuille relative à la proposition I de ce Mémoire, dont j'ai parlé précédemment (p. n); les deux rédactions sont interrompues; pour l'une et l'autre, la fin de la page reste blanche; l'essai n'a pas été achevé.
quantités numériques, on peut trouver un groupe qui contienne toutes les substitutions par lesquelles cette fonction est invariable, et qui n'en contienne pas d'autres.
Il est certain que cela a lieu pour des quantités littérales, puisqu'une fonction de plusieurs lettres invariables par deux substitutions est invariable par leur produit. Mais rien n'annonce que la même chose ait toujours lieu quand aux lettres on substitue des nombres.
On ne peut donc point traiter toutes les équations comme les équations littérales. Il faut avoir recours à des considérations fondées sur les propriétés particulières de chaque équation numérique. C'est ce que je vais tacher de faire Des cas particuliers des équations (1)
7 Remarquons que tout ce qu'une équation numérique peut avoir de particulier, doit provenir de certaines] relations entre les racines. Ces relations seront ratio[nnelles] dans le sens que nous l'avons entendu, c'est à dir[e] qu'elles ne contiendront d'irrationnelles que les coefficients] de l'équation et les quantités adjointes. De plus [ces] relations ne devront pas être invariables par to[ute] substitution opérée sur les racines, sans quoi on [n'aurait] rien de plus que dans les équations littérales.
Ce qu'il importe donc de connaître, c'est par quelles substitutions peuvent être invariables] des relations entre les racines, ou ce qui revient a[u même,] des fonctions des racines dont la valeur numéri[que] est déterminable rationnellement.
A ce sujet, nous allons démontrer un théorème de la dernière importance dans cette matière et dont l'énoncé suit : <c Etant donnée une équation avec un certain nombre de quantités adjointes, il existe toujours un certain groupe de permutations dont les substitutions sont telles (2) que toute fonction des ra-
C1) Ces mots sont mis en marge.
(-) La page se termine au mot « telles », le reste se continue sur deux feuilles distinctes; l'une de ces deux feuilles est écrite sur le recto et le verso, c'est celle dont le texte est imprimé ci-dessus ; l'autre feuille n'est écrite que sur le recto, jusqu'au milieu de la page : le verso contient quelques calculs relatifs à la résolution algébrique de l'équation du troisième degré. Les deux feuilles contiennent le même texte jusqu'à la (in de l'alinéa «... sont seules connues ». A partir de ces mots, on lit dans la seconde feuille :
Mais, avant de développer la démonstration complète de cette proposition,
cines invariable par ces substitutions est rationnelle ment connue, et telle réciproquement qu'une fonction ne peut être rationnellement dêtermi/table, à moins d'être invariable par ces substitutions que nous nommerons substitutions de l'équation. » (Dans le cas des équations littérales, ce groupe n'est autre chose que l'ensemble de toutes Jes permutations des racines, puisque les fonctions symmétriques sont seules connues).
Pour plus de simplicité, nous supposerons dans la démonstration de notre théorème, qu'il ait été reconnu pour toutes les équations de degrés inférieurs; ce qu'on peut toujours admettre puisqu'il est évident pour les équations du second degré.
Admettons donc la chose pour tous les degrés inférieurs à m ; pour la démontrer dans le mieme, nous distinguerons quatre cas :
ier Cas. L'équation se décomposant en deux ou en un plus grand nombre de facteurs.
Soit U = o l'équation, U = VT, V et ï étant des fonctions dont les coefficients se déterminent rationnellement au moyen des coefficients de la proposée et des quantités adjointes.
Je vais (aire voir que, dans l'hypothèse, on pourra trouver un groupe qui satisfasse à la condition énoncée.
Remarquons ici que dans ces sortes de questions, comme il ne s'agit que des substitutions par les quelles des fondions sont invariables, si un groupe satisfait à la condition, tout groupe qui aurait les mêmes substitutions y satisfera aussi. Il convient donc de partir toujours d'une permutation arbitraire, mais fixe, afin de déterminer les groupes que l'on aura à considérer. De celte manière, on évitera toute ambiguïté.
Cela posé, dans le cas actuel, il est clair que si l'on adjoignait à l'équation U — o, toules les racines de l'équation V = o, l'équation U = o se décomposerait en facteurs dont l'un serait T = o, et les autres seraient les facteurs simples de V.
Soit H le groupe que l'on obtient en opérant [sur] une permu-
nous ferons voir qu'il suffit de la donner dans le cas où l'équation proposée ne se décompose pas en facteurs dont les coefficients se déduisent rationnellement de ses coefficients et des quantités qui lui sont adjointes, plus brièvement, dans le cas où l'équation n'a pas de diviseurs rationnels. Admettons en effet que la chose ait été démontrée dans ce cas, et supposons qu'une équation se décompose en deux facteurs qui n'aient eux-mêmes aucun diviseur rationnel.
tation arbitraire A des racines de l'équati[on] U = o, toutes les substitutions qui sont relatives à l'équation T = o quand on [lui] adjoint les racines de V = o.
Soit K. le groupe que l'obtient en opérant sur [toutes] les substitutions qui sont relatives à V = o q[uand on] ne lui adjoint que les quantités [adjoin]tes primitivement à Ja proposée.
Combinez en tous sens toutes les substitutions du groupe H avec [celles] du groupe K. Vous obtiendrez un groupe réductible [que] je dis jouir de la condition exigée relativement [à la] question proposée.
En effet toute fonction invariable par les substitutions] du groupe (' )
(*) Uu fragment qui semble un morceau déchiré (hauteur, 9cm) d'une feuille de papier du même format contient le texte suivant, d'un côté :
Soit G un groupe correspondant à l'équation ty = o et A, B, G les permutations du groupe G. Pour obtenir un pareil groupe, il faut opérer sur une permutation A toutes les substitutions de l'équation ty. Nous supposons que la permutation A contienne toutes [les] racines de F(a?) = o.
Prennons une fonction <I>(A£) invariable par les substitutions 2 relatives aux racines de <?,
et de l'autre côté :
qui correspondent aux substitutions indiquées quand aux racines de l'équation cp on substitue leurs expressions en fonction de celles de ty. Je dis qu'il viendra un groupe de Permutations qui relativement à la proposée F(a?) =o satisfera à la condition exigée. En effet, toute fonction des racines invariable par les substitutions de ce groupe pourra d'abord s'exprimer en fonction des seules racines de l'équation <{/. De plus, comme cette fonction transformée sera encore invariable par les substitutions de l'équation ^ on voit que sa valeur numérique
Soit donc ©(H) une certaine fonction invariable par les substitutions du groupe H et non par celles du groupe G. On aura donc
la fonction f ne contenant dans son expression que les quantités antérieurement connues.
Eliminons algébriquement r entre les équations
rP=A f(r) = z
On aura une équation irréductible du plème degré en z. (Si non z serait fonction de rP : ce qui est contre l'hypothèse). Maintenant soit S une des substitutions du groupe G qui ne lui soient pas communes à H. On voit que ©(FIS) sera encore racine de l'équation ci-dessus en z, puisque les coefficients de cette équation sont invariables par la substitution S.
On aura donc
o(HS)=/(ar)
a étant une des racines de l'unité.
Ces deux équations
o(H) =/(r) cp(HS)=/(ar)
Donneront par l'élimination de r une relation entre
cp(H) 9(HS) et a
indépendante de r, et la même relation aura par conséquent lieu entre
<u(H) et cp(HS2) Donc : comme
<p(HS) =/(ar) on en déduit
?(HS»)=/(a*r)
(!) Feuille déchirée (18 X17), écrite sur les deux faces.
et ainsi de suite, jusqu'à
?(HS/') =/(/•) = ?(H)
Ainsi la connaissance de la seule quantité r, donne à la fois toutes les fonctions correspondantes aux groupes
H, HS, HS2,
la somme de ces groupes est évidemment G, puisque toute
Etant donnée (*) une équation avec tant de quantités adjointes que l'on voudra, on peut toujours trouver quelque fonction des racines qui soit numériquement invariable par toutes les substitutions d'un groupe donné et ne le soit pas par d'autres substitua tions.
Si le groupe d'une équation se décompose en n groupes semblables H, HS, HS (2), et qu'une fonction cp(H) soit invariable par toutes les substitutions du groupe H par aucune autre substitution du groupe G, cette fonction est racine d'une équation irréductible du nième degré dont les autres racines sont cp(HS), ....
(!) Cet énoncé est écrit sur un morceau de papier (10 x 18) ; l'écriture, parfois malaisée à déchiffrer en raison des ratures et des surcharges, trahit une certaine nervosité; au-dessous, Galois a mis son nom, écrit à main posée, avec une certaine complaisance.
(2) Il n'est guère utile de dire qu'il faut lire HS2: ce passage est à demi effacé.
Note (*).
On appelé équations non-primitives les équations qui, étant, par exe m p le du degré mn se décomposent en m facteurs du degré n au moyen dune seule équation du degré m. Ce sont les Equalions de Mr Gauss. Les équations primitives sont celles qui ne jouissent pas d'une pareille simplification. Je suis, à l'égard des Equations primitives, parvenu aux résultats suivants :
i° Pour qu'une équation primitive de degré m soit résoluble par radicaux, il faut que m =Jpv, p étant un nombre premier
2° Si l'on excepte le cas de m = g et m ~pP, l'équation devra être telle que deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s'en déduisent rationnellement.
3° Dans le cas de m=pP, deux des racines étant connues, les autres doivent s'en déduire du moins par un seul radical du degré p.
4° Enfin dans le cas de m = 9, l'équation doit être du genre de celles qui déterminent la trisection des fonctions Elliptiques.
La démonstration de ces propositions est fondée sur la théorie des permutations.
(*) Une seule page de format 20 x i5. Ce fragment et le suivant doivent être rapprochés de V Analyse d'un Mémoire sur la résolution algébrique des équations, qui a été publiée dans le Bulletin de Férussac (Œuvres, p. 11), et dont les premières lignes sont identiques à celles du fragment M.
Addition au mémoire sur la résolution des équations.
Lemme L Soit un groupe G de mt.n permutations, qui se décompose en n groupes semblables à H. Supposons que le groupe H se décompose en t groupes de m permutations, et semblables à rv.
Si, parmi toutes les substitutions du groupe G, celles du groupe H sont les seules qui puissent transformer l'une dans l'autre quelques substitutions du groupe K., on aura n = i (mod. rn) ou tn^t (mod. rn).
Lemme IL Si fi. est un nombre premier, et p un entier quelconque on aura
(x—p) O — p*) (x — p*). . .(ar — pi*-!) = ^"f (^mod. P^~' '
Ces deux lemmes permettent de voir dans quel cas un groupe primitif de degré pv (où p est premier) peut appartenir à une équation résoluble par radicaux.
En effet, appelons G un groupe qui contient toutes les substitutions linéaires possibles par les lettres. (Voyez le mémoire
cité.) Soit, s'il est possible, L un groupe qui divise G et qui se partage lui-même en p groupes semblables à K, K ne comprennant pas deux permutations où une lettre occupe la même place. On peut prouver i° que s'il y a dans le groupe G et liors du groupe L, quelque substitution S qui transforme l'une dans l'autre quelques substitutions du groupe K, cette substitution sera de r termes, r étant un diviseur de p — i .
D'après cela, comme le nombre de permutations du groupe G est
£=I . (^v-^v-i) (/,v pv-«). . . .(Pv-Pr} {pv-p)
d'après le lemme I, on devra avoir (2)
(pv — pv-i) (pv — pv-2) (pv —p*) (pv —p) ==p& r /mod. fLl
(') Une feuille (18 x i5), écrite des deux côtés.
(2) Relativement au premier membre de la congruence qui suit, je dois signaler
D'où L'on voit que v doit être un nombre premier (l). (Lerame II)
/?/•== v ( mod
On en déduit quand v ^> 2 pr = p, savoir/? = v, puisque p et jji sont premiers.
Ainsi, le théorème que j'avais énoncé dans mon mémoire sera vrai dans tout autre cas que dans celui où p serait élevé à la puissance/?.
Toujours devra-t-on avoir /' = i , et L = H. Ainsi même dans
le pPime degré le groupe de l'équation réduite du degré devra
être de — - — p permutations. La règle est donc encore fort simple
dans ce cas.
il faut comme on voit i° que v = 1 ; 20 que le groupe de la réduite soit de p permutations
l'énoncé que voici, écrit sur la première page d'une feuille double (22x18) :
Le produit
n'admet point de facteur premier > -rf- -, à étant le plus grand commun
diviseur entre v etjo -1, à moins que v = 2.
Cet énoncé est placé au milieu de calculs dont quelques-uns concernent la transformation des fonctions elliptiques. Sur les autres pages, d'autres formules se
. . y M. *• du d2u . . , .'
rapportent à 1 équation -— — -— - , aux fonctions trigonometriques, a la résolution des équations binômes, à la décomposition des fonctions trigonometriques en produits ou en fractions simples, etc.
(*) Dans la ligne qui suit et, un peu plus loin, dans l'égalité p = v, la lettre v a été mise en surcharge sur la lettre jx; ensuite, la correction n'a pas été faite. Au reste, la lecture de ce fragment est, par endroits, assez difficile.
Dans un mémoire sur la ihéorie des Equations, j'ai fait voir comment on peut résoudre une équation algébrique de degré premier m, dont les racines sont x(), x^ x2, . . . ., xm K, quand on suppose connue la valeur d'une fonction des racines qui ne demeure invariable que par les substitutions de la forme (x/ç, xak+b)> Or il arrive, par un hasard que nous n'avions pas prévu, que la Méthode proposée dans ce mémoire s'applique avec succès à la division d'une fonction elliptique de première classe en un nombre premier de parties égales. Nous pourrions, à la rigueur, nous contenter de donner cette division, et le problème de la section des fonctions de première classe pourrait être considéré comme résolu.
Mais, afin de rendre celte solution plus générale, nous nous proposerons de diviser une fonction elliptique de première classe en m parties égales, m étant = pn et p premier.
Pour cela nous étendons d'abord la méthode exposée dans le mémoire cité, au cas où le degré de l'équation serait une puissance de nombre premier. Nous supposerons toujours que les racines soient x0, x{, x2, .... ocm K^ et que l'on connaisse la valeur d'une fonction de ces racines qui ne demeure invariable que pour des substitutions de la forme (A*, ak + b).
Dans cette expression, k et ak -f- b signifieront les restes minima de ces quantités par rapport à m. Parmi les substitutions de celle forme, que, pour abréger, nous appelerons substitutions linéaires, il est clair que l'on ne peut admettre que celles où a est premier avec //z, sans quoi une même ak -+- b remplacerait à la fois plusieurs k.
Cela posé, passons à la resolution de la classe d'équations indiquée.
§ 1. Résolution de l'équation algébrique de degré pn en y supposant connue la valeur d'une fonction qui n'est invariable que par des substitutions linéaires.
La congruence k = ak -f- b n'étant pas soluble pour plus d'une (l) Trois feuilles (20 xi5) écrites sur les deux faces.
seule valeur, on voit clairement que la fonction qu'on suppose connue n'est invariable par aucune substitution dans laquelle deux lettres garderaient un même rang.
Si donc, mutatis mutandis, on applique à ce cas les raisonnements employés dans le mémoire cité, on vérifiera l'énoncé de la proposition qui suit :
<( Etant supposée connue la valeur de la fonction en question, une racine s'exprimera toujours au moyen de deux autres, et l'égalité qu'on obtiendra ainsi sera invariable par les substitutions telles que (k, ak -f- b). »
Soit donc #o =/'(#,, #0), on en déduira en général,
équation qui, appliquée de toutes manières, donnera l'expression d'une quelconque des racines de deux autres quelconques, si l'on a soin d'y substituer successivement les expressions des racines qui entrent dans cette équation.
Cela posé, prennons une fonction sym métrique <I> des racines #0) ^ pi &ipi ^zpi • • • • i %{pn~i—\)p j Jl vient
*(.r0, xp, x2p, ) = <ï>o
<S>{xu xp+t, x2p+u . . .) = 4>!
<ï>(>2, Xp+2, X2p+2, . . .) = *2 *(a7p,, Xtp-U ) = *;;!
et supposons qu'en général <&k+p = <£*. Toute fonction des quantités <I>, qui sera invariable par les substitutions linéaires de ces quantités, sera évidemment une fonction invariable parles substitutions linéaires de #0, xK, x2, . . . ., xm K. Ainsi l'on connaîtra à priori toute fonction des quantités, <I>0, <ï><, ..., Qp„\, invariable par les substitutions linéaires de ces quantités. On pourra donc i° former l'équation dont ces quantités sont racines (puisque toute fonction symmétrique est à plus forte raison invariable par les substitutions); 2" résoudre cette équation.
Il suit de là, qu'on pourra toujours, au moyen d'une équation de degré /?, algébriquement soluble, diviser l'équation proposée
en facteurs dont les racines seront respectivement
XX Xp+y X2p+l XZp+U
(domine dans chaque lac, leur on aura l'expression d'une racine au moyen de deux autres, par exemple, dans le premier,
J \& p-j ïïq ) = X<ip
et que cette expression sera invariable par toute substitution linéaire, on voit que chaque facteur pourra se traiter comme l'équation donnée, et que le problème, s'abaissant successivement, sera enfin résolu.
On peut en conséquence regarder comme solublesles équations dans les quelles on connaîtrait la valeur d'une fonction des racines qui ne serait invariable que par des substitutions linéaires, quand le degré de l'équation est une puissance dénombre premier.
Nous pouvons donc passer à la solution du problème général de la section des transcendantes de première classe, puisque, toute fraction étant la somme de fractions dont les dénominateurs sont des puissances de nombres premiers, il suffit d'apprendre à diviser ces transcendantes en pn parties égales.
§ 2. Division des transcendantes de première espèce en m = pn parties égales.
Nous déterminerons chaque transcendante par le sinus de son amplitude. On pourrait de la même manière prendre le cosinus ou la tangente, et il n'y aurait rien à changer à ce que nous allons dire.
Nous désignerons par (x, y) le sinus de la transcendante somme des transcendantes dont les sinus sont x ely. Si x est le sinus d'une transcendante, (x)k désignera celui d'une transcendante k fois plus grande.
Il est clair que (#, — y) sera le sinus de la différence des transcendantes qui ont pour sinus, d'après la notation indiquée pour les sommes.
Cela posé, nous commencerons par une remarque sur la nature des quantités qui satisfont à l'équation (x)m = o.
Si l'on désigne par p l'une de ses racines, il est clair que (p)k en sera une autre. L'on aura donc une suite de racines exprimée
par/?, (/^)2, (p)*-) ? {p)m~*- ^e nombre des racines étant >> m,
soit q une des racines qui ne sont pas comprises dans cette suite, (q)1 sera une autre racine différente de q et des premières. Car, si l'on avait (p)k=(qY on en déduirait q = (p)&* g étant un nombre entier.
Prennant donc les deux suites p, (/?)2, ... et q, (y)2, ... on trouvera pourla formule générale des racines de l'équation (#)"* = o, cette expression
((p)k\ (qY)
Cela posé, supposons que l'on donne à résoudre l'équation (x)m = sin A, in étant impair et toujours de la forme pn. Si x est une des racines, il est clair que toutes les autres seront
(x, (p)*, (qY)
Posons donc en général
(x, (p)*, (qY) =xkJ en faisant x = x00, nous en déduirons généralement
\&2a-\-b.'ic-\-di — ^a-hb.c-hd) — {^a-hb-c+di — ^b.d)
d'où
{xla-\-b.ïc+d) — \\x a-±-b.c\-dY i — xb.d)
Or il est aisé de tirer de cette égalité une expression rationnelle de Xïd+b.zc+d en fonction de xa+b.c+d et de Xb.d- Car si cp est l'arc correspondant à l'un quelconque des sinus qui satisfont à l'équation (.r)m= sin A pour avoir coso en fonction de sincp, il suffit de chercher le plus grand commun diviseur entre les équations x--\-y-=\ et y'(jr) = cosA, f(y) étant le cosinus de la transcendante m fois plus grande que celle dont le cosinus est y. On trouverait de même Acp en fonction rationnelle de sincp. On pourra donc, par les formules connues, exprimer
^Za-hb.îc-hd = f\&a-*-b.c-\-di xb.d)
en fonction rationnelle de xa+b.c+d et de Xb.d*
Ce principe posé, démontrons la proposition suivante :
« Toute fonclion rationnelle de #0.o %\.o &o.\ «... invariable par les substitutions de la forme (##./, Xah+b.d+d) est immédiatement connue. »
En effet, on pourra d'abord rendre cette fonction fonction de #0.05 Kq.ki x\.o seuls, par l'élimination des autres racines. Cette fonction ne changerait pas de valeur si à la place de #0.0, #o.i? #K0 on mettait #0.o> -^o.n xh.h k n'étant pas nul.
Or, comme toute racine de la forme #0./ s'exprime en fonction rationnelle de #0.o et #o.i> il s'ensuit que toute fonction sjm métrique des racines dans les quelles le premier indice n'est pas nul. sera connue en fonction rationnelle et entière de #0.0 et de #0.*- Donc la fonction que nous considérions tout à l'heure ne variant pas quand on met pour #K0 l'une quelconque des racines dont le premier indice n'est pas nul, cette fonction sera une fonction de #0.0 et de #0.i seuls. On éliminera encore #0.i de celte fonction qui deviendra fonction de #0.0 et enfin une quantité connue.
Le principe est donc démontré.
Cela posé soit F une fonction symmétrique de certaines racines de l'équation proposée. Posons
F (-2*0.0, #0.1» #0.2, • • • ) = JKo
F (#i.o, ^i.i, #i. 2, •••) =Ji
F (#2.0, #2.1, #2.2, • • • ) = JK2
Prennons une fonction de y0 yi y2 . . . invariable par les substitutions linéaires de ces quantités. Il est clair que cette fonction sera une fonction des racines x invariable par toute substitution telle que (') (xk.i^ak+b.ck+d)- Cette fonction sera donc connue. On pourra donc, par la méthode que j'ai indiquée, trouver les valeurs de v() yK y* ... et par conséquent décomposer l'équation proposée en facteurs dont l'un ait pour racines #0#0 #o.i «^0.2 • • • On trouverait de même un facteurdela même équation dont les racines seraient #0.0 #,.0 #2.0 .... On pourra donc en cherchant le plus grand commun diviseur de ces deux facteurs avoir #0.o °im est l'une des solutions cherchées. Il en serait de même des autres racines.
(') Il faut lire sans doute
Note 1.
sur l'intégration des équations linéaires.
Soit l'équation linéaire à coefficients variables
dxtl dxn~l ^ dxn~2 dx J
Pour l'intégrer supposons que nous connaissions n solutions
y—uu = W2, = M3, , = un
de cette équation privée de second membre. La solution complète
/ = ^ tti + a8 a2 + «3 ^3 + . . • . + a» w»
qui convient à l'équation privée de second membre, satisfera encore quand on supposera ce second membre, si au lieu de regarder a< a2 a3 .... a„ comme constantes, on les considère
. , . , , , • • da^ dz2 d^n
comme détermines par les équations suivantes en -=— -y-. • • —j—
1 *■ dx dx dx
! di\ dz.* dis dv.n
dx dx dx dx
dii\ d%i du2 d%2 du3 drJ.% dun dzn
dx dx dx dx dx dx • • • • • ^x c(x
(i) ' d'2 ux doL[ d^iu dz2 d'lUz cfa3 dlun din.
dx- dx dx'1 dx dx- dx ' ' ' dx'1 dx
dlllU\ da.v dn~lu2 da.2 dn~1u:i doc;i d"~l un dan
( dxn~l dx dxtl~l dx dx"-1 dx ' ' ' dxn~l dx ~~
II importe d'abord de reconnaître si le dénominateur commun aux valeurs tirées de ces équations peut ou non être nul.
Pour cela j'observe que ce dénominateur est le même que celui
(l) Deux pnges et demie d'une feuille double (23 x 18).
des n équations suivantes résolues par rapport à P Q .... S T
d»u{ dn-iiii dn-tiii du,
dx"> dxn~l ^ dx'l~l dx
d" u, T, d"-1 u2 ^ d"~2 u% 0 du, m
-7 — " H- F — : r -+- Q ~7 r -h + S -^ -4- Tu, = o
(a) { d"u, d»-tu2 d"-*u3 . rfw3 ,
— : h F — -h Q — -+-.... -t- b — h iz/3 = o
dx" dx'1-1 dx'1'- dx
dflUn d»-lu„ ^d'i-^Un , dlln
—, h I —7 : h Q —7 "+- S —j h 1 Un — O
dx" dx'1-1 x <af^«-2 dx
Or ces équations doivent être parfaitement déterminées, puisque la forme d'une équation différentielle dépend uniquement de celle de l'équation intégrale.
Donc le dénominateur en question n'est jamais nul.
Mais on peut de plus le calculer d'avance. Soit D le dénominateur. Il est aisé de voir que l'on aura
D< étant ce que devient D quand on y substitue partout -7-^- à la
. , d'l~ * u place de -, ; >
D] • . t\ 1 . dn~lu ,. , d'l~2u n-\ ce que devient D quand on v met -= au lieu de -; et
1 ^ J dxn-1 dx'1-'1
ainsi de suite
enfin D1 ce que devient D par la substitution de -,- à la place
de u
Et comme toutes les parties sont nulles excepté D/?, il reste
dx ~ Dfl Mais on a d'ailleurs
Puisque — D„ est le numérateur de l'expression de P tirée de (2).
Donc D = e J * valeur cherchée du dénominal eur.
On pourrait de cette dernière formule déduire celle que nous avons trouvée plus haut, en considérant une équation linéaire de
l'ordre n, comme remplaçant n équations simultanées seulement du premier ordre. Quanta la détermination des numérateurs des quantités inconnues, et à l'examen du cas où l'on n'aurait qu'une partie des solutions de la question, nous n'entrerons pas dans ces détails aux quels le lecteur suppléera au moyen des principes émis plus haut.
RECHERCHE SUR LES SURFACES DU 2d DEGRÉ (* ).
Problème (2). Étant données dans un parallélépipède les trois arêtes m, m', m", et les angles 9, 9', G", que font entre elles respectivement m' et iri' , m et m" ', /n et m', trouver l'expression des angles de la diagonale avec les arêtes.
Soitm = OM, /n'=OM', /w"=OM". Si l'on cherche PanglePOM que la diagonale OP forme avec OM, on aura dans le triangle OPM
T./MI/T //l2-hOP2~PM2
COSPOM = 7rT:
i m. OP Mais on a par la géométrie
OP = m2 M- m'2 -h /ji"2 -+- i m' m" cos 0 -+- -i mm" cos 0' -4- 2 m/n' cos 0" |> M = m'2 -+- m"2 -4- 'x m m" cos 0
d'où l'on lire
m2 -4- OP — PM = 2 /?i ( /?i -4- />i" cos 0' -f- m'cos 0")
(l) Malgré son caractère élémentaire, j'ai cru devoir publier cette note, qui n'est pas sans intérêt pour l'histoire de la Géométrie analytique et de la théorie des invariants. En raison de son contenu, on peut supposer qu'elle remonte au temps où Galois était élève de M. Richard, dans la classe de Mathématiques spéciales, ou au moment où il sortait de cette classe pour entrer à l'École Normale. Toutefois, la première supposition semble devoir être écartée : s'il en avait eu connaissance, M. Richard aurait sans doute fait pénétrer dans son enseignement les idées de son élève, qui se seraient diffusées immédiatement. Quoi qu'il en soit, cette note a, comme le morceau précédent, l'aspect d'une copie d'écolier, avec la signature en haut et à gauche; elle ressemble tout à fait à quelques-unes des copies de Galois, que M. Richard avait conservées et données à Hermile. M. Emile Picard a retrouvé ces copies de Galois dans les papiers d'Hermite; il a bien voulu me les remettre pour qu'elles soient jointes au précieux trésor que Mme de Blignières donne à l'Académie des Sciences. L'une de ces copies contient un petit travail, que Galois a sans doute fait librement et remis à son maître, et où son esprit philosophique se manifeste déjà; j'en extrais cette curieuse réflexion :
Un auteur me dit : « l'arithmétique est la base de toutes les parties des Mathématiques, puisque c'est toujours aux nombres qu'il faut ramener les résultats des calculs. » D'après la dernière phrase de l'auteur, il serait plus naturel de croire que l'arithmétique est le terme et le complément de l'Analyse; et c'est ce qui a lieu.
Toutes ces copies, comme la présente note, sont sur du papier de format 2 3 x 18.
(2) Il y a une figure en marge, dans le texte de Galois.
et enfin
v^»/r m -4- />i"cos0'-H m' cos 6" cosPOM ==
OF
On trouvera de même pour les cosinus des angles M'OP el M"OP
ni' -+- m" cos 0 -+- ni cos 6" wi" -+- /«' cos 0 -h ni cos 0'
et
