QUATRIEME PARTIE

Des rnathcinatiques chez tes arabes.

En cultivant l'astronomie, les Arabes devaient donner une attention toute particulière aux diverses branches des mathématiques; ils firent, en effet, dans cette direction d'immenses travaux, et Ton peut dire qu'à cet égard, ils ont été nos maîtres (i). Non-seulement la géométrie, l'arithméti-

(i) En 800, Chailemagne, par les conseils d'A.lcuin, élève de Bède, avait essayé de ranimer le goût des mathématiques; mais l'ignorance du siècle prévalut, et on ne peut citer, comme une suite des efforts de Cliarlemagne, que quelques observations fuites sous Louis le Débonnaire.

De 970 à y8o, Gerbert, bénédictin , né en Auvergne, connu depuis sous le nom de Silvestre II, introduit parmi nous les connaissances mathématiques qu'il avait puisées en Espagne.

De iioo à iiao, le moine Adhelard , Anglais, voyage en Espagne et en Egypte, et traduit à son retour, d'après l'arabe, les Éléments d'Euclide. Il est le premier qui ait fait connaître en Occident cet auteur, dont le nom à peine y avait pénétré.

Platon de Tivoli, religieux, traduit de l'arabe les Sphêrigites de Théodose (traduction imprimée eu 149^, puis en i5/|8).

Rodolphe de Bruges, religieux, traduit le Planisphère de Ptolemée, d'après une version arabe commentée par Maslem.

De laSo à i3oo, Campanus de Novarre traduit de nouveau d'après l'arabe et commente les Éléments d'Euclide,

( 366 ) que et l'algèbre , mais l'opliqiie et la mécanique firent, entre leurs mains, de remarquables progrès. L,es pneumatiques et \es hydrauliques de Ctésibius et de Héron d'Alexandrie avaient été traduites ; il en était de même du livre des machines de guerre de Héron le jeune, et l'on sait que Golius apporta d'Orient une version du traité intitulé : Barulcon. Mais si les ouvrages spéciaux des Arabes sur cette partie de la science nous manquent aujourd'hui , si nous avons à regretter l'ouvrage que Hassanben-Hailliem écrivit sur la vision directe, réfléchie et rompue et sur les miroirs ardents , du moins pouvons-nous citer l'optique d'Â-Hazen, qui offre des réflexions judicieuses sur la réfraction, sur le lieu apparent de l'image dans les miroirs courbes , le foyer des miroirs caustiques, sur la gran-

Vitellion , Polonais , traduit VOptiquf d'Al-Hazen (que l'on croit avoir été calquée sur celle de Ptolémée).

Gérard de Crémone (du douzième siècle, selon la Biogrnpliie universelle, et du quatorzième, selon Weidler et Delambre), traduit \' Alinageste de Ptolémée, ce qui commence à faire connaître la véritable et solide astronomie. La première traduction , d'après le grec, de Georges de Trébizonde , ne fut faite qu'en i45o.

Le même traduit le Commentaire de Géber sur \' Almageste, et un ]>etit traité d'Al-Hazen sur les crépuscules.

uSa. Alphonse fait publier, à cette époque, les Tables al phonsines.

1400. Léonard de Pise fait connaître l'algèbre, qu'il avait apprise chez les Arabes.

( 367) deur appareille des objets et !e grossissement du soleil et de la lune vus à l'iiorizon.

L'algèbre reçut aussi d'utiles applications chez les Arabes; nous nous occuperons dans notre cinquième partie de l'origine présumée de cette science. Il nous suffit de dire ici, que dès le commencement du neuvième siècle de notre ère, Mobanuned-ben-Musa composait un traité d'algèbre que M. Rosen a traduit dans ces derniers temps en anglais, et dont il existait des versions latines, et que Tliébit-!)en-Corrah écrivait vers la même époque sur la certitude des dèinonstrations du calcul algébrique. « Ceci pouvait donner lieli « de penser, dit Montucla (i), que les Arabes eu- « rent aussi l'heureuse idée d'applitpiei' l'algèbre à « la géométrie; mais il n'v a que l'inspection du « manuscrit dont il s'agit ici , qui pourrait nous « apprendre jusqu'où ils avaient porté cette in- « vention. »

Cette conjecture s'est trouvée réalisée par la publication du fragment d'algèbre que nous avons extrait du manuscrit de la Bibliothèque royale (2), où les équations cubiques sont résolues géométriquement.

(i) MontucIà, Eist. des mathématiques, t. I, p. 383. (2) Ms. arabe n" i lo/l, fol. a8. — Chasles, Aperçu hist. des méthodes en géométrie, p. 49» ; voy. plus haut, p. 123.

L'auteur de cet ouvrage ne se nomme point ; mais comme il le dédie h un grand juge, ^-^Ls yi!,[is ^\ .x^! j.U'^! sLaï]!, il ne serait pas tout à fait impossible, d'après cette circonstance, d'avoir la date approchée de sa composition.

L'auteur y définit l'algèbre îbLiUlj^sr'l un ai't savant qui traite des nombres absolus et des grandeurs d'une manière telle, que les quantités inconnues, étant jointes à une chose connue, peuvent être déterminées, la chose connue étant une quantité ou un rapport.

Il remarque ensuite que, dans leur art, les algébristes ont coutume de nommer chose *, (la cosa des Italiens) l'inconnue à déterminer; produit ou carre JL (ce/iso), la cosa multipliée par

elle-même; cuLe , *»$' (cufjo), le produit du ce/iso

par la cosa; le carré-carre' Jl^ JU(/7 censo dicenso), le produit du censo par lui-même; le carré-cube ^o>^ JL» [il censo di cubo), le produit du censo par le cubo ; le cube-cube ^-xS' '-^y^ {il cubo di cubc)), le produit du a/^o par lui-même, etc., ou en d'autres termes :

i" puissance — chose.

i'^ — carré.

3' — cube.

4' — carré-carré.

5' — carré-cube.

6* — cube-cube.

Ceci, comme on le voit, est en tous points contraire à l'opinion de Wallis, qui prétend que les Arabes ont adopté, dans la dénomination des puissances wO!^, un système différent de celui de Diophante (i).

L'auteur prévient ensuite qu'on ne peut entendre son ouvrage lJ'__^ qu'autant qu'on connaît les Éléments dEuclide et son traité des Data ^VXxi\ J 4jU^^, J^o^!! J ^-j-vJLi! ^l-â\ et les deux (premiers) livres des Coniques d'Apollonius

vO'Jsj^^t ^ ,^Jil)\ , ,j^ .j ^^JUL^j, parce que

tout ce qu'il dira est fondé sur les principes énoncés dans ces trois ouvrages ; et après avoir fait observer qu'il ne considère que quatre ordres de quantités : les nombres absolus ^jii , les côtés ou lacines jj^, les carrés et les cubes, et qu'on ne peut concevoir en dimensions de carré-carré, il dit qu'on ne trouve dans les livres des algébristes qui l'ont précédé, que la solution des équations Oj"^jljdl des trois premiers ordres, savoir en nombres absolus, en côtés et en carrés ; mais que, quant à lui, il donnera des règles pour déduire l'inconnue dans chacun des quatre ordres, et qu'il se servira des piopriétés du cercle jjtjJI ol^àrf exposées dans les Eléments et les Data, et, à leur

(i) Voy. Montucla, Hist. des mathémaliques, t. I , p. 382.

( 370) défaut, des propiiélés des sections coniques LJsjy^l p^lsaJI jjaUsr;' cxposécs dans les deux premiers livres d'Apollonius.

Il divise en deux espèces les équations entre les quantités des quatre ordres, les équations simples cLjIjiJIj Cj'^jLjy» et les équations composées «j^LiyU, et passe à leur énumération.

Selon lui , les équations simples ou binaires sont au nombre de six (nous les donnerons avec nos signes pour simplifier) :

i'^ X — n =0 2"^ a;'^ n z=zo 3'^ ar' — n =o &^ af — mx ■= o 5" x^ — mx^-= o 6* x^ — mx = o.

La quatrième et la cinquième se réduisant , comme il le fait observer, à la première; la sixième à la seconde ; et la troisième ne pouvant être résolue en nombres que par Vistikra ^ Liiw'^b J^l>.i,^^=i. (i), et par la géométrie, qu'au moyen

(i) Istikra signifie le cas où l'on ne peut prouver la vérité (l'une proposition générale qu'en parcourant tous les cas particuliers auxquels elle est applicable ; l'auteur se sert de cette exjiression dans le sens de déduction ou ejctraction. — La définition du mot I Ji»'^! se trouve dans l'extrait que Silvestrc de Sacy a donné du w»i-i) jcJI v^bi ou Livre des définitions . Voy, Notices et extraits des manuscrits, t. X, p. 4*-

( 37. ) des sections coniques c-JaiOb iLwjj^I .^. . -^ ^^j

Il continue : les équations composées sont de deux sortes, les ternaires ou les quaternaires (ou, si l'on veut, trinômes et quadrinomes) olJyUl l-/»lj 3Lclj. L^3 V"*^ '-v~*^-

Il y a douze espèces de ternaires :

i"^ a:'-+- mx — n=.o{i) 2* x' — mx + n^n 3'' si' — mx —'n:=.o

Celles-ci sont traitées dans lés livres d'algèbre,

et expliquées par des constructions géométriques,

mais non pas arithmétiquement. Les trois suivantes,

qui sont regardées comme leurs homogènes, sont :

4^ j^+ mx^ — ' nx = o 5'^ x^ — mx^-\- nx = o 6' x' — mx^ — nx=zo

Les six autres sont :

7® x^+ mx — ra = o

8^ x^ — mx + n^:^o

9* x^ — mx — n=zo lo* 3^+mx' — nz=o X 1* af+ mx'-h n = o i a* x^ — /nx' — n^=o

La forme seule de ces six dernières équations est exposée dans les livres des algébristes; mais nous les démontreions par des constructions géo-

(i) Carré et racine égalent nombre , etc.

métriques, ne le faisant pas arithmétiquement.

Les quaternaires, qui sont au nombre de sept,

se divisent en deux classes : la première comprend

les (quatre) cas où il y a trois ordres de quantités

égaux à un seul (i), savoir:

i'''^ .r^-f- mx^+ nx — a-=zo (2) 2'^ x^-\- mx^ — nx -\- a=^o 3'^ x^ — mx^-\- nx ~\- a-^o 4' x^ — mx^ — nx — a^zuo

La seconde classe comprend les (trois) cas où

deux ordres sont égaux à deux autres :

5' 3^-\- rnx' — 7ix — a=.o (3) 6'^ x^ — mx'-{- nx — a:=zo 7' x^ — mx' — nx + « = o

Telles sont les sept quaternaires pour lesquelles nous n'avons pu trouver la chose »,, la cosa , (pie par des moyens géométriques.

L'auteur passe ensuite à la solution de chacune des vingt-cinq équations rapportées ci-dessus.

ÉQUATIONS BINAIRES. l'*^ ÉQUATION.

X — n-^0 mcine égale nombre.

(i) On lit dans le manuscrit : i s aS-^,. '^ Jj^' **j

Ï.J.2>.iy' i)jLx-j C'U-' vJ^Jj . Il faut lire, comme nous le faisons, w^lw».

(2) Cube, carré et racine égalent nombre.

(3) Cube et carré égalent racine et nombre , etc.

( 373) Dans ce cas, la racine est nécessairement connue , et la règle est la même pour le nombre et pour l'étendue o^La.L-4!.

Il* ÉQUATION.

jt' — n = o carré égale nombre ; arithméliquement ^jjJt i^ ^, par extraction Lii-'^L) ; géométriquement L.jj^l 'L^ ^, prenez une ligne AB supposée égale au nombre donné, et que AC soit l'unilé, et perpendiculaire à AB, terminez le rectangle AD, il est évident ^^j^a que l'étendue de sa suiface sera exprimée par le nombre donné; faites un carré E égal en surface au rectangle AD, comme l'a expliqué Euclide dans la i4* proposition du second livre de son Traité des éléments , le carré E sera égal au nombre donné, et comme il est connu, son côté le sera aussi d'après la démonstration d'Euclide, ce qui est la chose demandée.

m* ÉQUATION.

arithmétiquement , par extraction; géométriquement, prenez un carré AD, etc. La fin de la solution est renvoyée à l'un des articles suivants, à cause de l'emploi des sections coniques.

IV*^, V* I:T Vi'^ EQUATIONS.

af — mx :^ o oc^ — in.c^ r= o x^ — 7nx:=^ o arithmétiquement et géométriquement.