ÉQUATIONS TERNAIRES ET QUATERNAIRES

Les six premières sont résolues aritlimétiquement et géométriquement; après quoi, l'auteur fait observer que les solutions géométriques des six autres exigent l'emploi des sections coniques, comme la troisième des binaires, et qu'il en est de même des sept quaternaires. Mais, avant de passer à la solution de ces quatorze équations , il donne celle des trois questions suivantes :

i" Insérer deux moyennes proportionnelles entre deux lignes données ^-j ^j^^ J^^ .1 a-j .J

1° Construire sur un rectangle donné un parallélipipède rectangle égal à un solide donné -jLâ ^^*J] ^j'^ L-i-s-" fi ï^sls ^ J.**j .) ^)y % ^' a>. v^ t *"«==^ LijL..^ Ljt«yi.

3° Construire un solide dont la base soit un carré, et la hauteur égale à une ligne donnée, et qui soit en même temps égal à un solide donné

Is V J^t» icUjj! j aJy iJ^^ls l^-^^^ J**) .1 J!jJ

11 reprend alors la troisième des binaires, à laquelle il applique la solution des deux moyennes proportionnelles par deux paral)oles, et passe aux treize autres équations, lescpielles, ainsi que la précédente, sont du troisième degré, et qu'il ne

( 375 ) se propose de résoudre que géométriquement.

La première, qui est la septième des ternaires, est de la forme

ar^+ nix — n:=io.

L'auteur la résout par une construction oîi il emploie le cercle et la parabole.

C'est à la fin de cette solution que la copie se trouve interrompue , n'ayant pas été achevée par le copiste , qui a même omis les figures des trois dernières constructions.

Quoi qu'il en soit , ce petit traité montre d'une manière incontestable que les Arabes ont connu les équations cubiques, et l'art d'exprimer graphiquement les formules , art si beau et si précieux que Reppler regrettait de ne pas savoir (i).

On a prétendu que nous avions attribué aux Arabes la résolution algébrique des équations du troisième degré, et notre réponse ne s'est point fait attendre (2); nous n'avons rien eu à retirer de ce que nous avions avancé, et le savant géomètre, M. Chasles , dans son appréciation de notre travail, n'y a point vu les assertions qu'on nous prêtait :« Montucla , dit-il, pensait que les Arabes « pouvaient bien avoir traité des équations du

(i) Voy. plus haut, p. 124.

(2) Comptes rendus des séances Je l'Jcadémie des sciences, a3 avril et i3 mai i838.

( 376) « troisième degré; il se fondait sur le titre Jl- « gebra cubica seu de problcmatum solidorum reso- « lutione d'un manuscrit de la bibliothèque de « Leyde, attribué à Omar-ben-lbrabim (le même, «peut-être, qu'Omar- Âlkbeiami) ; le fragment « trouvé par M. Sédillot confirme encore à cet « égard la conjecture de Montucla, et en fait l'un « des points les plus importants et l'un des mo- <f numents les plus précieux de l'histoire scienti- « fique des Arabes. »

On voit que les documents originaux que nous possédons sur celte branche des mathématiques se réduisent à bien peu de chose, si l'on considère combien les savants de l'école de Bagdad nous ont laissé de traités J! algèbre ( i ). 11 en est de même de l'arithmétique, qu'ils nous ont transmise avec nos chiffres modernes, et dont ils ont développé les éléments dans un nombre infini d'ouvrages spéciaux que personne n'a pris la [)eine de traduire. M. Chasles,qui a répandu dans ces derniers temps une si vive lumière sur l'origine de notre système de numération (2), a plusieurs fois exprimé le regret de n'avoir pu trouver une version authentique d'un seul traite d'arit/imétiqiic arabe.

(1) Voy. notre Introduction aux tables d'Oloug-Bi'g, p. 54, 56 , 62 , elr.

(a) Voy. i)ltis loin notre V*" partie.

Kn géométrie, nous sommes un peu plus au courant des travaux de nos devanciers. Dès le règne d'Almamoun , Euclide, Tliéodose, Apollonius, Hypsiclèset Menelaus avaient été traduits; le traité d'Archimède de sphœrd et. cylindro, et probablement ses autres ouvrages, étaient commentés, et les productions multipliées des géomètres arabes prouvent que, pendant plusieurs siècles, ils s'occupèrent des questions les plus ardues de la science; l'intérêt qu'ils attacbaicnt aux discussions scientifiques, se révèle surtout dans leur correspondance indtliématiqiie, dont nous avons recueilli des fragments. L'auteur de la solution de ce pioblème : tiviiver sur un miroir sphérique le point de réflexion, le lieu de l'objet et celui de l'œil étant donnés, était évidemment un esprit d'un ordre supérieui'.

On est bien obligé de reconnaître que les Arabes ne se sont pas bornés à traduire les traités des Grecs; et si nous leur devons de la reconnaissance pour nous avoir conservé plusieurs livres d'Apollonius, d'Archimède, de Tliéodose, etc., la forme (ju'ils ont donnée à la trigonométrie sphériipie ne leur fait pas moins d'honneur. Ils substituèrent aux méthodes anciennes des résolutions plus simples, en proposant trois ou quatre théorèmes qui sont le fondement de notre trigo-

( 378 ) nométrie moderne. Ils employèrent, au neuvième siècle, les sinus des arcs au lieu des cordes des arcs doubles, et, comme nous l'avons déjà rappelé, ils simplifièrent, un peu plus tard, par l'introduction des tangentes, l'expression des rapports circulaires , d'abord si longue et si embarrassée (i).

Le petit traité de géométrie spéculative de Hassan-ben-Haithem (2), que nous avons fait connaître, donne une idée assez juste des considérations métaphysiques que les géomètres arabes ont répandues dans leurs écrits. On nous a reproché d'y avoir vu les principes d'une géométrie qu'on a nommée dans ces derniers temps géométrie de position; mais nous n'avons fait qu'émettre lâhè idée partagée par nos plus habiles mathématiciens, et nous devons dire que, sur ce point encore, M. Chasles , analysant notre travail, n'en a fait l'objet d'aucune critique (3).

Hassan-ben-Haithem florissait vers l'an 4oo de l'hégire ( 1009 après J. C), et mourut au Caire en 43o ( io38 après J. C).

(i) Delambre, Hisl. de l'astronomie au moyen âge, p. i5i et i5a : Analyse des travaux de mon père; Chasles, Aperçu des méthodes, etc., p. 494; L't /19') , et plus haut, p. 27.

(2) Ms. ar. n° 11 04, fol. 11 j — Des connues gcomélrtques , par Abou-Ali-al-Hassau-ben-al-Hassan-ben-al-Haithem.

(3) Journal asiatique, i834; M. Chasles, /oc. c/f. , Comptes rendus de l'Académie des sciences, aH avril et i3 mai i838.

Il a composé aussi un recueil d'observations astronomiques, un commentaire de l'Almageste, et un autre sur les définitions qui sont en tête des Eléments d'Euclide (i).

La copie du traité des connues, qui se trouve dans le manuscrit i io4 de la Bibliothèque royale, est de l'an S'ig, le 9 de dzoulhiggeh(3 juin 1 144)-

Hassan-ben-Haitliem était un astronome distingué, et l'attention qu'il accorde à des questions élémentaires de géométrie nous fait voir l'importance qu'il attachait aux principes de la science; ce qui caractérise l'esprit des érudits de son temps, et montre aussi qu'ils cultivaient les sciences pour elles-mêmes, et qu'ils cherchaient à découvrir tous les points de vue sous lesquels elles peuvent être considérées.

Les préliminaires du traité d'Hassan-ben-Haithem permettent d'apprécier assez exactement la philosophie mathématique des Arabes ; quant à

(i) Le catalogue de la Bibliothèque bodleyenne porte, art. 908 : « Codex Bombyciuus anao hegir. 987, Christ. iSyg, « exaratus, ubi reperiuiitur, 1° Ibn-al-Haithami georaetrae ce- 0 leberrimi, in definitioues quae elementis Euclidis prsemit- » tuntur, commentarius , 71 fol. conslans ; mortuus autor « Cairi anno hegir. 43o, Ciirist. io38. >- — On trouve dans l'ouvrage d'Abou-0^saib;ili la liste de quatre-vingt-huit de ses ouvrages; voyez le Mémoire que nous avous inséré dans le t. XIII des Notices et extraits des manuscrits^ publiés par l'Académie des inscriptions et belles-lettres, p. 128.

l'ouvrage même, il est divisé en deux livres; l'auteur fait remarquer que « le premier comprend « des choses tout à fait neuves et dont le genre « même n'a pas été connu des anciens géomè- « très (i), et que le second contient une suite de « propositions anologues à celles qui ont été trai- « tées dans le livre des Data , mais qui ne se trou- « vent pas dans cet ouvrage d'Euclide. » Au reste, si Hassan-ben-Hailliem marche sur les traces d'Euclide, il ne se montre pas inférieur à son modèle. 11 commence ainsi : Prolciioniciies : (léfinilion des CONNUES, c^LojM! l^urs divisions et siibdh'isions.

(i) Pappus d'Alexandrie a indiqué, dans le vu* livre de ses Collections mothénialiqiies , tout ce que ses devanciers avaient écrit de locis; en supposant que Hassan-ben-Hailhem ait emprunté aux Grecs l'idée première de son travail, on doit toutefois reconnaître que par ses applications il est devenu auteur original. Voici ce que dit Pappus de ceux ipii l'avaient précédé ; « Librorum qui ad resnlutum locuni pcrlinenl ordo ■I talis est : Eucmdis datorum liber unus. Apollonii ^oyou n àiT0TOur,i;, hoc est de proportionis sectione libri duo; yopi'ou « aTtoTOULYii; , hoc est de spatii sectione duo; èitacpwv , hoc est (c tactionumduo. Euc.Linis porismatum très. Apollonii veuiewv, « hoc est incliiiationum duo. Ejusdem tottoiv i-Kmiooy/, hoc est <• planorum locorum duo; conicorum octo. Abist.ei tÔttwv « ^epeiov, hoc est locorum solidorum quinque. Euclidis tÔttojv '1 Ttoô; ÈTtii/âviav, lioc est locorum ad superficieni duo. Erac. TOSTHENis de medietatibus duo. Ilaque omnes libri sunt nu- >i mero triginta et unus. » — Voy. Papp. , Collect. matkeni. à CommancUno in lat. conv. In-fol. Bononiae, 1660.

La connaissance (i) JUI, scientia, se compose A\)pinioiis immuables, ►-i^.'^ i-r^^'' ^^ ^o" entend ^Ar opinion, ^, iiu jugement, ^Liil, porté sur une chose quelconque, mais un jugement immuable, tel que le jugement exprimé par cette proposition : le tout est plus grand que sa partie.

Or, il ne peut y avoir de jugement , sans qu'il y ait une personne qui juge et une chose jugée; et il ne peut y avoir de jugement imnmable qu'autant que la chose jugée est elle-même immuable.

La connaissance est donc le jugement d'une chose immuable; le connu est cette chose immuable en tant qu'elle est jugée; elle connaissant, celui qui juge une cliose immuable, ~-x^

Quant au jugement porté sur une chose muable ou sujette au changement , il ne peut être

(i) Le mot de science ou de connaissance renferme nécessairement deux choses : l'une est la vérité, et l'autre l'évidence. En effet, ce qui n'est pas la vérité ne peut être connu. Qu'un homme nous dise tant qu'il voudra qu'il connaît trèsbieu une chose; si ce qu'il dit se trouve faux par la suite, il sera forcé d'avouer qu'il n'avait pas une connaissance , mais une opinion. Pareillement si une vérité n'est pas évidente, la connaissance de l'homme qui la soutient, ne sera pas plus sûre que celle de ceux qui soutiennent le contraire , car si la vérité suffisait pour constituer la connaissance ou la science, toute vérité serait connue , ce qui n'est pas. Hobbes, De la nature humaine, ch. vi.

( 382 ) regardé comme connaissance, parce que la chose muable n'existe pas constamment sous la même forme; tel est le jugement que nous exprimons par cette proposition , Zéid est debout ; car il se peut que Zéid ne soit pas debout à l'instant du jugement, mais qu'il y soit dans tout autre temps. Néanmoins ce qui dépend du temps, comme l'objet de ce jugement, Zéid est debout, ou a été debout , peut donner lieu à un jugement vrai; et si l'on est assuré qu'il est vrai , il pourra être nommé connaissance , quoique par extension et parce qu'il ressemble à la connaissance, en ce que c'est un jugement vrai, car, dans le sens propre et rigoureux du mot connaissance , la connaissance ne doit varier dans aucun temps JLjJ! LoU

Observons encore que la connaissance étant un jugement, et un jugement ne pouvant avoir lieu sans une personne qui juge, il ne peut y avoir de connaissance sans qu'il y ait une personne qui connaisse {aliquis noscens).

Le jugement porté sur une chose immuable est de deux espèces, selon que celui qui juge cette chose immuable sait ou ne sait pas qu'elle est telle; car autre est le jugement d'une chose immuable, autre le jugement de son immuabilité.

De là, celui qui juge une chose immuable et qui sait que son jugement porte sur une chose telle, est savant iion-seulemenl en celte chose, mais par la connaissance de son immuabilité il sait encore qu'il la connait de science certaine, et c'est ce qui constitue le vrai connaissant (vere noscens).

Au contraire, celui qui juge une chose immuable sans savoir qu'elle est telle, peut bien être regardé comme savant en cette chose; mais comme il ne sait pas s'il la connaît de science certaine, parcequ'il ignore si elle est muable ou immuable, et qu'il juge sans l'évidence et non d'une manière absolue , mais par voie d'admission ou de confiance dans la bonté d'une opinion , ou seulement par convenance, il ne peut être appelé connaissant que relativement à la chose et non relativement à son immuabilité, ce qui, réuni, constitue la vraie connaissance.

La connaissance est aussi de deux espèces, connaissance de fait et connaissance virtuelle JLaJI

La connaissance de fait est celle qui résulte du jugement de quelqu'un qui juge, et la connaissance virtuelle est celle qui aurait lieu si le jugement était porté.

Et puisque la connaissance est un jugement, et qu'un jugement ne peut avoir lieu sans une per-

sonne qui juge et sans une chose jugée qui est le connu {notum), et qu'en outre la connaissance est de deux espèces, connaissance de fait et connaissance virtuelle, le connu sera aussi de deux espèces : connu de fait et connu virtuellement

Le connu de fait {realiter notum) est celui qui est connu à celui qui peut juger, et le connu virtuellement {yirtualilcr notum) est celui qui peut lui devenir connu.

Nous avons dit que le connu doit être une cliose ininuiable ; ainsi les choses immuables peuvent être considérées sous deux rapports, selon ([u'elles sont ou peuvent être l'objet du jugement de celui qui juge.

D'après tout ce qui précède, le connu sera nécessairement une chose immuable, que cette chose soit ou ne soit pas encore jugée par celui qui

juge- Les connus se subdivisent encore en tant qu'ils

ont ou n'ont pas pour objet la quantité , L^^îvÎ! ;

nous ne nous occuperons ici que de ceux qui sont

relatifs à la quantité.

Or il y a deux espèces de quantité : la quantité

discrète ou disjointe et la quantité continue L*-5ol

U.oZlt L.4AJl j Al<<aà.:„n.

La quantité discrète est de deux sortes; lelles

( 385 ) sont pour la première les lettres r/ui composent les mots, et pour la seconde, les nombres; v^j/sr^'

Laquantité continue estde cinq sortes: savoir /« ligne, la surface, le solide, le poids et le temps ou la durée, etc. ,L)M j JiJlj .--.s^! j Ji»^}! , ii^l.

Suivent des considérations très-étendues sur les divisions, subdivisions et propriétés de ces sortes de quantités.

L'auteur termine ces prolégomènes par la définition Aes rapports , '^> ; il explicpie ce que Ton entend par lignes connues de grandeur et de jwsi- ?/ci«^JjJt 5 a^yJl L.y*^ Li., et passe aux propositions géométriques qui forment le corps de l'ou vrage, divisé, comme nous l'avons dit, en deux livres.

Enoncés des propositions. — i.iviik premier. — Prop. i'^. Lorsque d'un point connu de position on tire une droite de grandeur connue, l'extrémité de celte droite est sur la circonférence d'un cercle connu de position (i) 'La^a iLïJ ^ ^j^ \h\

^J\ (Fig. 23.)

Prrjp. 2. Lorsque du centre, j.fy ^^, d'un cer-

(i) Les pliinclios jointes à ce volume rectifieront suffisamment ce qu'il y a d'iuconii)let dans celle proposition cl dans quelques autres.

( 386 ) de connu de griuuieur et de position, on mène une ligne droite à la circonférence et qu'ensuite on l'incline sous un angle connu, ^J^ ■wS^"' i*^, 'ifji^ hj\j et que le rapport de la première ligne à la seconde est connu, J,i Jj"^t ii^l L*«j o-^jl^ L'^jj' J^i l'extrémité de la seconde ligne est sur une circonférence de cercle connue. (Fig. 24.)

Proj}. 3. Lorsque d'un, point connu de position dans un cercle connu de grandeur et déposition, le point connu étant autre que le centre du cercle, on mène une ligne droite à la circonférence et qu'on prolonge cette droite direcleraent, si le rapport de la première ligne à la seconde est connu, l'extrémité de cette seconde ligne sera sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 20 et 26.)

Pro/). 4- Lorsque d'un point connu de position, dans un cercle connu de grandeur et déposition, le point étant autre rjue le centre, on mène une droite à la circonférence , et qu'ensuite on incline cette droite sous un angle connu, si le rapport de la première ligne à la seconde est connu , l'extrémité de celte seconde ligne sera sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 27 et 28. )

Pro/). 5. Lorsque d'un point coniui de position on mène à une droite connue de position une au-^

tl

( 387 ) tre ligne droite, et qu'ensuite on l'incline sous un angle connu, si le rapport de la première ligne à la seconde est connu, l'extrémité de celte seconde ligne sera une ligue connue de position.

Pro/). 6. Lorsque de deux points connus de po>sition on mène deux lignes droites qui se coupent en un point où elles forment un angle ' connu , *Jj'):' ikïJI oXLj J-'-s LLLs-Ij ikij ^^ LiL;JI j i»J*-. ce point sera sur une circonférence de cercle connue de grandeur et de position. (Tig. 3o.) Pio/K 7. Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites qui se coupent en un point où elles forment un angle connu , et qu'ensuite on prolonge directement une des deux lignes, si le rapport de cette ligne à son prolongement est connu, son extrémité seia sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 3i.)

Prop. 8. Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites qui se rencontrent en un point et qui sont égales entre elles, le point est une ligne droite connue de position, (fig- 3a.)

Prup. f). Lorsque dedeux points connus de position on mène deux lignes droites (pii se rencontrent en un point, et que le rapport de ces deux

( 388 ) lignes, savoii-, celui de la plus grande à la plus petite, est connu, le point de rencontre est sur une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 33.)

Prop. 10. Lorsque de deux points connus de position on mène deux lignes droites (jui se rencontrent en un point, si Ton joint ce point aux deux antres , et ceux-ci entre eux , par des lignes droites, et que le triangle qui en résulte soit connu de grandeur, le point de rencontre sera sur une quatrième ligne droite connue de position. (Fig. 34.)

Prop. 1 1. Si entre deux cercles égaux on mène une droite parallèle à la ligne qui joint les deux centres, et que les deux extrémités de la première ligne soient semblablement placées à l'égard des deux cercles, cette ligne sera égale à celle qui joint les deux centres. (Fig. 35.)

Prop. 12. Lorsque entre deux cercles égaux, connus de grandeur et de position, on mène une ligne droite parallèle à la ligne qui joint les deux centres, et qu'on prolonge directement la droite par l'une de ses extrémités, si le rapport de cette droite à son prolongement est connu, l'extrémité de ce prolongement sera sur une circonférence de cercle connue de grandeur et de position. (Fig. 36.) /'/(y^ i3. Lorsque d'un point connu de |)osi-

(389) lion on mène à une ligne droite connue de gran deur et de position , une ligne droite coupant la piemièie et piolongée directement ,j^ tJ~^ (^ ï>Lï;:„) ^ si le lapport de celte ligne à son prolongement est égal au rapport des deux parties de la ligne connue de grandeur et de position, l'extrémité du prolongement est sur une ligne droile connue de position. (Fig. Sy.)

P/v/}. 14. Lorsque d'un point connu on mène à une ligne droite connue de grandeur et de position une autre droite qui la coupe, et qu'on prolonge cette droite directement, si le produit de celte droite par son prolongement est égal au produit des deux parties de la ligne ^S)^ ^j^~sjL-o à

connue de grandeur et de position , l'extrémité du prolongement de la seconde ligne droite se trouve sui- une circonférence de cercle connue de position. (Fig. 38.)

Prop. i5. Lorsque de deux points connus on mène à un cercle connu de grandeur et de position deux lignes qui se coupent dans l'intérieur du cercle, et que l'on prolonge ensuite jusqu'à la circonférence, si le produit des deux parties de l'une des deux lignes est égal au produit des deux parties de la seconde ligne , et que l'on joigne par une ligne droite les deux premiers points

( 390 ) de rencontre des deux lignes avec le cercle, celte droite sera parallèle à celle qui joint les deux points donnés. (Fig. 39.)

Pivj). iG. Lorsque de deux points connus on mène à un cercle connu deux lignes droites qui se coupent dans l'intérieur du cercle; si, prolongées jusqu'à la circonférence, elles sont divisées par le point de rencontre en même rapport , les deux premieis points de rencontre des deux lignes avec le cercle sont sur une circonférence de cercle qui passe par les deux points connus. (Fig. 4o.)

Prop. 17. Lorsque de deux points connus de position on mène à un cercle connu de grandeur et de position deux droites qui se coupent sur la circonférence du cercle, et que l'on prolonge jus- (pi'à ce (ju'elles rencontrent de nouveau la circonférence, si ces deux lignes sont divisées en njéme rapport à leur point de rencontre , le rapport du produit de l'une d'elles par sa partie comprise dans le cercle, au produit de la seconde aussi par sa partie comprise dans le cercle, est un rapport connu (Fig. 4')

Prop. 18. Lorsque deux cercles connus de grandeur et de position sont tangents, et que l'un est dans l'intérieur de l'autre , si l'on mène une droite qui coupe les deux cercles d'une manière quelconque, et que l'on joigne par une ligne droite

(391 ) l'un (les points d'intersection du petit cercle avec le point de tangence, le rapport du produit des deux parties de la ligne qui coupe les deux cercles au carré de la droite qui joint le point de tani{(Mice au point d'interseclion du petit ceicle, est un rapport connu. (Fig. l\i.)

Prop. ig. Lorsque deux cercles connus sont tangents et que l'un est dans l'intérieur de l'autre J^!^ ^ ^.wL^-^, si l'on mène au petit ceicle une tangente dont l'extrémilé (autre que le point de langence) soit terminée à la circonférence du grand cercle, et qu'on joigne par une ligne droite cette extrémité au point de langence des deux cercles, le rapport de cette dernière ligne à la tangente est un ra[)port connu. (Fig. /|3.)

Prop. 20. Les mêmes cercles étant donnés, si l'on prolonge la tangente des deux côtés du point de langence jusqu'à la grande circonférence , la ligne menée du point de tangence des deux cercles au point de tangence du petit cercle et de la tangente coupera en deux parties égales l'arc de la grande circonférence sous-tendu par la tangente au petit cercle. (Fig. 440

Prop. 21. Lorsque deux cercles connus sont tangents et que l'un des deux est dans l'intérieur de l'autre, si l'on mène du point de tangence un diamètre commun aux deux cercles, et que par

( 390 le point où ce diamètre coupe le petit on mène une droite qui coupe le petit cercle en un second point, cette droite sera divisée, en ce point, en deux parties telles (|ue le rapport du produit de ces deux parties plus un carré, et du carré de la partie comprise dans le petit cercle, est un rapport connu. (Fig. 45.)

Prop. aa. Lorsque dans un cercle connu de grandeur el de position, on mène un diamètre connu de position et que sur ce diamètre on prend deux points également éloignés du centre; si de ces deux points on mène deux lignes qui se rencontrent en un point de la circonférence du cercle , les carrés de ces deux lignes seront connus, el enseml)le égaux aux carrés des deux parlies du diamètre (à partir d'un des deux points donnés). (Fig. 46.)

Prop. 2 3. Lorsque de deux points connus on mène deux lignes qui se rencontrent en un point où elles forment un angle aigu, et que la somme de leurs carrés est connue, le point de rencontre est sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur el de position. (Fig. 47-)

Prop. 24. Lorsque dans un cercle connu de grandeur et de position on mène mie corde, j--'j (|ui'lcon{|ue, et (|u'mi la divise en deux parties, si le produit de ces deux pnriies est connu, le point

(393 ) (le division Ia^\ 'iL'iJ est sur une circonférence de cercle connue de grandeur et de position. (Fig. 48.)

Livre second. — Prap. i. Lorsque d'un point connu on mène à ui\ cercle connu de grandeur et de position une droite qui coupe le cercle; si le point donné est hors du cercle et si le rapport de la partie extérieure de la ligne à la partie qui est dans le cercle est un rapport connu, la ligne sera connue de position. (Fig. 49)

Prop. 1. Lorsque d'un point connu on mène à un cercle connu de position une ligne droite qui sépare du cercle un segment connu, celte droite sera connue de position. (Fig. 5o.)

Prop. 3. Lorsque d'un point connu on mène à une ligne droite connue de grandeur et de position une autre ligne droite dont le lapport à une des parties de la première est connu, la seconde droite est connue de position. (Fig. 5i.)

Prop. 4. Loisque d'un point connu on mène à deux lignes parallèles connues de grandeur et de position une ligne droite qui sépare des deux autres lignes deux parties quelconques, si le lapport de ces deux parties est connu, la ligne menée sera connue de position. (Fig. Sa.)

Prop. 5. Lors([ue d'un point connu on mène à une ligne droite connue de grandeur et de position une autre ligne droite; si la somme de celle

( 394) ligne et de l'une des deux parties de la première est connue, la ligne menée sera connue de position. (Fig. 53.)

Prop. 6. Lorsque de deux points connus de position on mène à une droite connue de position deux lignes qui, se rencontrant sur cette droite, forment un angle connu, ces deux lignes sont connues de giandeur et de position. (Fig. 540

Prop. j. Lorsque de deux points connus on mène à une droite coiniue de position deux droites qui s'y rencontrent, si le rapport de ces deux droites entre elles est connu , ces deux droites sont connues de position. (Fig. 55.)

Prop. y. Lorsque deux ligues droites parallèles sont connues de position , et que, prenant sur l'une d'elles deux points , on mène par ces deux points deux lignes droites qui se rencontrent sur la seconde parallèle, si le produit des deux lignes menées l'une par l'autre est connu, ces deux lignes sont connues de grandeur et de position. (Fig. 56.)

Prop. g. Lorscpi'on a deux lignes droites parallèles connues de position , et qu'on prend sur l'une d'elles deux points quelconques, par lesquels on mène deux lignes qui coupent la seconde parallèle et se rencontrent ensuite; si le triangle formé (par ces deux lignes et la partie interceptée

( 395) (le la première parallèle) est connu de grandeur, la partie interceptée de la seconde sera aussi connue de grandeur. (Fig. S'y.)

Pro/i. lo. Lorsque des deux extrémités d'une ligne droite connue de grandeur et de position on mène deux droites sous des angles connus et qui .se rencontrent, ïlïj , jx Uu)!. , ^lx/> , ►-•.), t; , h -.,ces deux droites sont connues de grandeur et de position. (Fig. 58.)

Pwp.i I. Lorsqu'on prolonge l'un des côtés d'un triangle dont les côtés sont connus de grandeur et de position , et qu'on prend sur le prolongement un point connu par lequel on mène une droite qui coupe le triangle et sépare de ses deux côtés vers la base deux parties quelconques, si le rapport de ces deux parties est connu , la ligne menée sera connue de position. (Fig. 5c).

Pivp. la. Avant un cercle connu de grandeur et de position et une droite connue de position, lorsqu'on mène une tangente au cercle, qui se termine à la ligne connue de position, si cette tangente est connue de grandeur, elle le sera aussi de position. (Fig. 60.)

Prop. i3. Ayant un cercle connu de grandeur et de position et une ligne droite connue de position , lorsqu'on mène du cercle à la ligne une droite qui l'ait avec celle-ci un angle connu, si la

(396 ) droite menée est connue de grandeur, elle sera aussi connue de position. (Fig. 6i.)

Prop. \[\. Etant donné entre deux lignes parallèles, ^\\c.=' , connues de position, un point par lequel ou mène une droite qui coupe les deux parallèles, si le produit des deux parties de celle droite (à partir du point donné) est connu, la droite sera connue de position. (Fig. Ca.)

Prnp. i5. Lorscpi'on a un triangle dont les côlés et les angles sont connus, et qu'on mène une ligne du sommet à (un point quelconque de) la base, si le rapport du carré de la ligne au rectangle formé sur les deux segments de la base est un rapport connu, la ligne menée sera connue de position. (Fig. 63.)

Prop. iG. Lorsque deux lignes droites qui se rencontrent sont connues de position, et (pie, prenant un point entre ces deux lignes, on mène par ce point une droite (pii coupe les deux ligues connues de position, si le i apport des deux parties de la droite est un rapport connu, cette droite sera connue de grandeur et de position. (Fig. G4.)

Prop. 17. Lorsque deux lignes droites qui se rencontrent sont connues de position, et cpie, prenant un point entre ces deux lignes, on mène par ce point une droite cpii coupe les deux lignes connues de position, si le produit des deux pai-

( ^97 ) lies de la droite est connu, celte droite sera connue de grandeur el déposition. (Fig. 65.)

Prop. i8. Lorsque dans un cercle connu de grandeur et de position on mène une corde qui sépare du cercle un segment connu , et qu'ensuite on prend sur l'un des deux arcs un point autie que le niédial, et que de ce point on mène une dioite à l'autre segment (jusqu'à la circonférence), puis que des deux extrémités de la corde on tire à ce point deux lignes droites, si le rapport de la somme de ces deux ligues à la première est un rapport connu, cette première ligne sera connue de grandeur et de position. (Fig. 66.)

Prop. 19. Lorsqu'un des angles d'un triangle est connu, et que du sommet de cet angle on mène une droite qui le divise en deux parties connues, si le rapport des deux segments de la base est égal au rapport de l'un des côtés de l'angle à la ligne, le rapport de cette ligne à l'autre côté sera connu. (Fig. 67.)

Prop. 20. Lorsque les trois angles d'un triangle sont connus, si de l'un des angles on mène une droite qui divise la base ï^cii ;„»JLà (ou côté opposé, en deux parties qui soient) dans un rapport connu, la droite sera connue de position. (Fig. 68.)

Prup. 11. Lors(jue sur la circonférence d'un

( 398) cercle connu de grandeur et de position on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent en un autre point de cette circonférence et qu'on joint aussi par une droite les deux points donnés, si le triangle formé est connu de grandeur, les deux lignes menées des deux points seront chacune connues de grandeur et de position. (Fig. 69.)

Proj). 11. Lorsque sur la circonférence d'un cercle connu de grandeur et de position on prend deux points par lesquels on mène deux droites qui se rencontrent eu un autre point de cette circonférence, si le produit des deux droites est connu , chacune de ces droites sera connue de grandeur et de position. (Fig. 70.)

Prop. 23. Lorsqu'on a un cercle connu de grandeur et de position, et une droite connue de position, et qu'on mène une autre droite qui coupe le cercle et aboutit à la ligne connue de position, si la droite menée est coupée parla circonférence en un rapport connu (celui de la partie comprise dans le cercle à la partie comprise entre la circonférence et la ligne), et que l'angle formé par celte droite et la ligne soit connu, la droite sera connue de grandeur et de position. (Fig. ^i.)

Prop. 24 e/a5. Lorsqu'on a deux cercles connus de grandeur et de position , et qu'on mène une

( 399 ) dioile tangente aux deux cercles, cette droite est connue de grandeur et de position.

Premier cas oit prop. 24. Si les deux points de tangence sont dun même côté de la ligne qui joint les centres. ( l-ig. 72.)

Deuxiènic. cas ou prop. 25. Si les deux points de tangence ne sont pas d'un même côté de la ligne qui joint les centres. ( Fig. ^S.)

Telles sont, dit en terminant Hassan-hen-Haithem , les choses que nous avions à dire ; elles sont d'une utilité majeure pour la résolution des questions géométriques, et n'ont été dites^ par aucun des anciens géomètres, et, comme ce que nous en donnons suffit à notre dessein, nous finirons ici cet opuscule.

La proposition suivante se trouve placée à la suite de l'ouvrage :

« Etant donné un quadrilatère incliné, recon- « naitre si on peut y circonscrire un cercle ou non. »

Marquez les angles par les lettres ABCD, prolongez CD directement vers G, vous aurez l'angle GCA ; prenez sur CG la quantité CH et sur CA la quantité CT, puis sur BD prenez BK = CH, et sur Bà, BI ^ CT ; mesurez la distance de H à T, et si cette distance est égale à celle de 1 à k , on pourra inscrire le quadrilatère dans un cercle ;

( 4oo) mais si elle est plus petite ou plus grande, on ne le ])ourra pas.

En effet, dans tout quadrilatère incliné, si deux angles opposés sont égaux à deux droits (comme ACD et ABD valent deux angles droits), les deux angles DCA et ACG valent aussi deux droits; or, l'angle ACD étant adjacent, il reste ACG égal à ABD. Ajoutez: un cercle qui passera par trois des angles passera aussi par le quatrième.

En faisant suivre l'analyse que nous venons de donner du Trailc des connues géomctriques, an celle de quelques fragments compris dans le manuscrit arabe n° iio4, et intéressants à différents litres, nous montrerons que souvent les matliématiciens arabes ont émis les idées les plus ingénieuses. Trois sont du géomètre Al-Sindjiari (i), Abmed-ben- Mohammed-ben-Abd-al-Gélil, que Monluclacite(u) sous le nom d'yJssi/igiftri ou' Jl-Sindi^iar, comme l'auteur d'un Tndir sur les sections coniques (?>), et

(i) D'Herbelot parle sans doute de cet auteur, lorsqu'il rapporte que Sandjinri est le surnom d'Abou-Said-Ahniedben-Abd-al-Gélil-iWo/((/m/«fr/, auteur du livie intitulé ; Ahkain alaschar mcn hetah alnnginum, et d'un autre qui porte le titre A'Ekluiaral ; ce sont, dit-il, doux manuscrits astrologiques. «. Biblioth. orient., p. 757.

[2) Monlucla, Hist. des inathv raliques, t. I, p. 37/1.

(3) La bibliothèque de Leydc possède le tiaité de Ahmcd- Len-Gélil sur les icctinns coruipics ; il est intitulé : Ï-'l-».

d'un manuscrit intitulé : Ri'spoiisa malhciiuil'ua. Dans l'un de ces trois opuscules , Rèi^lcs geoinctriqius iwjj^!! wjt jï3t J^^s-J' , Al Sindjiari renvoie à deux ouvrages de sa composition , le premier intitulé : iSotes ou corollaires géo/nétriques ^^i^LiLl»!»'

4 ,^^ (i), le second, Des propriétés de l'ellipse

^LJ! «.LiiJ! i>='>à- ^j, '---'L^ ; les deux derniers sont : un Traité des lignes menées d'un ou de plusieurs points donnés (i des cercles donnés; 1° une Réponse ci des questions qui lui sont proposées sur le livre des Lemmes d' Archiniède (2).

'L^^jS^S JsUll »wj J, ^__,s— J! JJ^ j^fj A.,^^, Ah-

med-ben-Ghalil-Sugiureiis, De conicarum sectionum descriptione , n" 1098 du catalogue de 1716.

(i) Le sens du mot v j1-rJL*j ou jSJljJ est explimié dans les notes sur Abd-Allatif ; il signifie proprement des notes mises par écrit à la hâte ; voyez Silvestre de Sacy, Relation de l'Egypte, p. 485. D'HeiLelot dit {£ibl. orient., p. 848) qu'il y a plusieurs Tdlikat, qui sont connue des suites et dépendances des matières déjà traitées par d'autres auteius. Al-Sindjiari

renvoie souvent à ses ÏL-,.\^ iOLlLo' pour les démonstrations, et nous avions cru devoir traduire ces deux mots par: Corollaires géométriques.

(2) On ne peut guère douter anjounlluii que le livre des Lemmes ne soit d'Archimède; MM. Greaves et Foster le firent connaître les premiers en 1659, sous le titre de Lemmata Archiinedis, en le traduisant de l'arabe; et Alphonse Borelli le publia de nouveau en 1661 , également d'après l'arabe et avec les notes de deux de ses commentateurs, l'un nommé Al- Mochtasso-Aboul-Hassan, et l'autre Abou-Salial-al-Cuhi. Voy. Moniucla, t. T, p. 23;. L'article suivant de la Bibliothèque

Vient ensuite un Vhapilrc de l'Epitoine de l'imam Muzhaffer-al-lsferledi, sur les éléments d'Euclide, puis un Fragment qu'on peut supposer d'Averroè's (Aboul-Walid-Mohammed) sur la liigonométrie spbérique, assez important, en ce qu'il peut donner l'époque de l'introduction des propositions qui y sont présentées. Averrocs vivait en l'an 1180 de J. C. (576 de l'hégire).

Réponse de Al-Simljiari <iax demamles qui lui ont été faites sur la solution de propositions tirées du livre des Lemmes d'Archiniède y j,»^.! ïJU.

Cet opuscule commence ainsi : « J'ai reçu votre lettre qui contient des ([uestions sur des propositions dont vous me demandez la solution ; j'aurais beaucoup de plaisir à vous les expliquer, mais j'ai

orieiiuile de D'Herbelot conCniie cette dernière indication . a Ketab maaiilioudhat fi ossoul al-hendassnli li Arschemides : n titre d'un livre de géométrie d'Arcliiniède, traduit du grec " en arabe par ïhabelh-ben-Corrah, avec un conuncnlaire « d'Abou-Hassan-Ali-ben-Ahmed-ai-Tsessoui, avec i5 figures n qui ont été dressées par Nassir-eddin-ai-Tliousi. Il y a aussi « un discours sur le même ouvrage, de Suhaïl-al-Caouui , in- " titulé : Teziin ketab Arschemides Jtl-maahhoudhat. » D'Herbelot, p. 977.

Thébit-ben-Corrah vivait an troisième siècle de l'hégire (a2i-a88 de l'hégire, 835-9oo ap. J. C), et Nassir-eddin- Thousi au septième (597-672 de l'hégire, 1200-1273 après J. C).

reconnu qu'elles sont tirées du livre d Arcliiniècie intitulé: Des Lemmcs , et que leurs'démoiistialions sont dans ce livre telles que les a données son auteur. Je puis cependant vous être à ce sujet de quelque utilité ; car je me suis spécialement occupé de plusieurs propositions qu'àrcliimède n'a pas traitées complètement; mais, pour toutes celles qu'il a développées, je vous renvoie à son livre, n'ayant rien de mieux à dire, etc.»

Voici l'énoncé des propositions : Prop. \^^. Étant donnés deux arcs de cercle tangents et deux lignes parallèles menées des deux centres à l'une des extrémités de chaque arc, les deux lignes menées du point de tangence à ces extrémités auront la même direction. ( Fig. 75.)

Prop. 1. Étant donné un cercle ABD, si on mène le diamètre AB, la tangente BC, la ligne ADC, et la tangente DE, je dis que EB = EC. (Fig. 76.)

Prop. 3. Etant donné l'arc S'SG , sur la corde S'G, je prends S'KS, que je divise en deux parties égales en K ; je mène S'K , KS, SG ; je prends Kâ = KS', et je dis, comme l'auteur, AG= SG.

Prop. 4- Si dans un demi-cercle on construit deux deini-cercles tangents, on a la figure nommée salianous ^yJL- , laquelle est égale au cercle qui

a pour diamèlie .]aj la perpeiidiculaiie menée du point detani;;ence (des deux demi-cercles inscrits) à la circonférence extérieure. (Fig. 78.)

Prop. 5. Étant donné un demi-cercle G S', je marque sur le diamètre un point quelconque K , et je trace sur le diamètre les deux demi-cercles GR, KS' ; cela étant, si l'on mène KK' perpendiculaire au diamètre, et que l'on construise de chaque côté de cette ligne un cercle correspondant, les deux cercles ainsi décrits seront égaux.

Prop. 6. Soit un demi-cercle GS', et soil marqué sur son diamètre un point K , lel que R S' = '^ J= o,^J^ ,i^ j iy O/j j!(j;sur les deux lignes GK et KS', décrivez deux demi-cercles, et dans l'espace compris entre les trois circonférences, faites un cercle tangent à toutes trois, et mené/, le diamèlie K'A parallèle à GS' : on demande le l'apport de K'A à GS'. (Fig. 80.)

Prop. y. Si dans un cercle donné on inscrit un cairé et dans ce carré un autre cercle, le premier sera double du second. (Fig. 81.)

Prop. 8. Sur la trisection de l'angle. (Fig. 82.)

Prop. g. Étant données deux cordes qui se coupent à angle droit dans un cercle, les sommes des arcs oppo.sés sont égales. (Fig. 83.)

Prop. ro. Étant donné un cercle GAK', je mène

(4o5 ) les tangentes S'G , S'K et la sécante S'K , je mène R'A parallèle à S'K., je joins AG et je mène SH perpendiculaire sur AK', et je dis que AH = HR'. (Fig. 84.)

Prop. I I. Lorsque deux cordes se coupent en un cercle dans un point autre que le centre, la sonniie des carrés des quatre segments est égale au carré du diamètre. (Fig. 85.)

Proi). 19.. Etant donné un demi-cercle, sur son diamètre GK je mène du point S' deux tangentes au cercle S'K', S'A ; je joins K'K et AG qui se coupent au point B, et je mène S'BS, laquelle est perpendiculaire à KG. (Fig. 86 et 87.)

Prop. 1 3. Si dans un cercle on mène le diamètre AB et la corde EG, et qu'on abaisse sur la corde les deux perpendiculaires AH et BT, les deux lignes EH et TG seront égales. (Fig. 88.)

Prop. \[\. Etant donné un cercle ABC, menez les deux diamètres AC, BD qui se coupent à angle droit, décrivez autour du centre E le de mi- cercle GHT; sur BG le demi-cercle BKG, et sur DT le demi-cercle DLT. .Te dis que le cercle décrit sur CH ( comme diamètre ) sera égal à la surface ABKGHTLDA, qu'on nomme salinoune .^;~^\.

(Fig.Sg.)

Prop. i5. Celte proposition est la dernière du

Traité; Al-Sindjiari nous apprend qu'il l'a résolue

( 4o6 ) sui- la demande de quelques géomètres du Khorasan ,L,'jà. ,j.i^ o^*''-

Étant donné un cercle DKS', je mène KG côté du pentagone inscrit -.^ly^ et KV côté du décagone inscrit JuxJly'j ; je prolonge RV et S'G jusqu'à ce qu'ils se rencontrent en A , et je mène VS' et SH perpendiculaire sur AS; je dis que AH est égale au rayon ^laâJl ^^^j. (Fig. 90. )

Quelques règles géométriques par Al-Sindjiari.

Ce petit traité comprend onze propositions. Prop. \^^. Étant donnée une ligne AB et décrits sur cette ligne un demi-cercle et deux arcs opposés (à deux angles dont l'un soit obtus et l'autre aigu), savoir ÂCB, ADB et AEB; les deux arcs étant tels que les deux angles opposés soient ensemble égaux à deux droits;

Prolongez le diamèlie des deux côtés, de manière que AG^BH, et prenez aussi AT = BK; puis menez par les points GATKBH , à la demicirconférence ÂCB, les lignes GC, AC, TC, KC, BC, HC; prolongez HC vers E et menez AE, AD; je dis que la sonune des deux carrés ^.f ^^j*^ de AC et de BC sera égale au carré de AB , et (jue la somme des deux carrés de TC et KC sera égale

( 4ô7 ) à la somme de deux lignes quelconques menées des deux poinis T et K à la demi-circonférence ACB, et que la somme des deux carrés de GC et HC sera é£;ale à la somme des carrés de deux autres lignes quelcon(|ues menées des points G et H à la demi-circonférence ACB; que la somme des carrés de AD et DB sera égale au carré de AB , moins le produit de BD par DE ; et que la somme des carrés de AE et BE sera égale au carré de AB , plus le produit de BE par DE. Dânonstration : Quant à l'égalité du carré de AB aux deux carrés de AC et BC , cela provient de ce que l'angle ACB est droit; quant à l'égalité des carrés des deux lignes TC et CK et de GC et CH aux carrés de deux autres lignes menées des points T et K , et G et H à la demi-circonférence, nous l'avons démontrée dans nos lYotcs ou corollaires géumélriques UuiLjLf ^

4 ,3.^ voLïJl»j' ^3(1); nous y avons aussi démontré

que le carré de AB surjjasse les deux carrés de An,DB du produit de BD par DE, et que ce même carré de AB est moindre que la somme des carrés de AE et BE du produit de BE par ED. (Fig. 91.)

(i) Voy. ci-dessus, p. .'|0i, note i" — On reconnaît par là, et par les autres démonstrations que l'auteur renvoie à plusieurs de ses ouvrages, que ce traité est vraiment, comme celui c[ui précède, une lettre adressée à quelques personnes qui lui demandaient la solution de ces diverses questions.

Prop. 2. Proportions remarquables qui résultent de la construction suivante :

Du point F, comme centre, décrivez les trois cercles ATB , EOG, CND, et le diamètre du plus grand cercle, AB; je dis que si les lignes menées de A et B àla circonférence du cercle ATB coupent la circonférence EOG , et si les lignes menées de D et C coupent la circonférence CND, comme par exemple si l'on mène BT, BH et DR, DL, on aura BO X OT— BS X SH et DL x LN=DK x KM. ( F. 92.)

•^ J^^= ^ ô'-'-l e;- J J^ if-d^. d-^.. ^'' d^

Prop. 3. Étant donnés sur la circonférence d'un cercle deux poiivis A et B, joignez ces deux points par une droite ; par le point A menez AC tangente au cercle et AD, de manière que l'angle BAD égale l'angle BAC; toute ligne menée de B sur AD sera coupée par l'arc AB, et le produit de la ligne entière par sa partie intérieure donnera toujours le même résultat et sera égal au carré de AB.(Fig. g3.)

Pi'o]). [\. Le point A étant 1° hors du cercle» 2° dans le cercle :

1° Les deux sécantes seront réciproquement proportionnelles à leur partie extérieure;

2° Les deux cordes se couperont en parties réciproquement |)ioportionnelles. (Fig. 94 et 95.)

Prop. 5.. Si deux cercles sont langenls en un point A et que par ce point on mène deux lignes

(4o9) dans les deux cercles, les parties de chaque ligne comprises dansces deux cercles seront directement proportionnelles. (Fig. 96 et 97.)

Prop. 6. Si par un point donné hors d'un cercle on mène deux tangentes à ce cercle et qu'on joigne les deux points de tangence par une droite, toute ligne AD menée du point \ donnera la proportion AD : AG : : DE : EG. (Fig. 98.)

Prop. 7. Si l'on divise le grand axe de l'ellipse ^Ul ^ïjI JJa! »J23 en trois parties telles que le produit de deux de ces parties contiguès par la troisième placée à l'extrémité du diamètre soit égal au carié du petit axe^;»^^' *j^ ^-J^^ai P^y^ l'i somme des deux lignes menées de chaque point de division à un point quelconque de l'ellipse sera égale au grand axe. (Fig. 99.)

Pro/). 8. Soit .ACB une ellipse et un cercle dont le grand axe est AB et le petit axe CD; si l'on prend AB : CD : : CD : BE, qu'on mène BE perpendiculaire à AB et qu'on joigne AE, toute perpendiculaire comme HT menée d'un point de la circonférence de l'ellipse ou du cei'cle sur le diamètre et prolongée jusqu'à la ligne AE en G, donnera TG X TB, et on aura TH : CL : : TG X TB : LM X LB. Ceci se fonde sur les propriétés élémentaires de l'ellipse, et l'auteur ajoute qu'il en a

(4io)

donné la démonstration dans la 72' proposition de son traité des propriétés de l'ellipse Lj > j 5j

^jûsU! oJsiJl (Fig. 100 et loi.)

Pro/>. g. Trouver la circonférence d'un cercle lorsqu'on a deux droites menées de deux points donnés à un point quelconque de cette circonférence, et que le rapport de ces deux droites est connu (Fig. 102.)

Prop. 10. Étant donnés le cercle ÂCBD et les deux points A et B sur sa circonférence ; si l'on divise l'arc ADB en deux parties au point D, qu'on joigne AB et qu'on mène AC, BC, DC, le rapport de AC à BC sera égal au rappoit de AE à BE. Cette proposition est incomplètement traitée dans Euclide. (Fig. io3.)

Pro/j. II. Étant menées à un cercle donné deux tangentes parallèles et deux autres lignes des points de tangence à la circonférence du cercle , prolongées jusqu'à ce qu'elles rencontrent les deux tangentes, le diamètre sera moyen proportionnel entre les deux parties interceptées des tangentes; et si par un point quelconque d'une des tangentes on mène une autre tangente au cercle prolongée jus(|u'à la seconde tangente parallèle, le rayon sera moyen proportionnel entre

les deux parties inlerceplées des tangentes parallèles et le diamètre.

L'auteur fait observer qu'il a démontré ces propositions dans ses ï ,.Us c^LjlLu' (i).

Opuscule il'Al-SiiKljiari suf les Haines menées dans des cercles donnés par des points donnés.

Ce petit traité contient treize questions. Prop. I. Étant donné un cercle dont le centre est connu et dans ce cercle un point, mener par ce point une droite terminée par les deux extrémités à la circonférence, et divisée au point donné en deux parties qui soient entre elles comme deux lignes données. (Fig. io5.)

Prop. 2. Par un point donné dans un cercle, faire passer une corde divisée en ce point, de manière que la somme des cariés de ses deux parties soit égale à une surface rectangulaire donnée. (Fig. io6.j

Prop. 3. Par un point donné dans un cercle, mener une corde égale à une ligne donnée plus petite que le diamètre. (Fig. 107.)

Prop. 4. Par un point donné dans un cercle,

(i) Voy. ci-dessus, p. 401, note 1".

faire passer une droite telle que le rapport du carré de l'une de ses parties au carré de l'autre partie soit égal au rapport de deux lignes données. (Fig. io8.)

Prop. 5. Par un point donné hors d'un cercle, mener une droite divisée par la circonférence, de manière que le rapport de la partie extérieure à la partie intérieure soit égal à celui de deux lignes données. (Fig. 109.)

Prop. 6. Par un point donné hors d'un cercle, mener à ce cercle une droite telle que le carré de la ligne entière et le carié de la partie extérieure égalent une surface donnée. (Fig. 1 10.)

Prop. 7. Par un point donné hors d'un cercle, mener à ce cercle une droite qui soit divisée par la circonférence en deux paities telles que Tune de ces parties soit égale à une ligne donnée. (Fig. ,.r.)

Prop. 8. Par un point donné hors d'un cercle, mener une droite divisée par la circonférence en deux parties telles que leur produit w-'j-^ soit égal à une surface donnée. (^Fig. 1 12.)

Prop. 9. Par' les deux extrémités du diamètre d'un cercle donné, menei' deux cordes qui se coupent respectivement selon deux rapports donnés (Fig. f 1 3.1

Prop. 10. 1 !ant donnés deux points sui' la cir-

( 4.3 ) conléieiue d'un cercle et deux rapports, mener par les deux points donnés deux lignes qui se rencontrent et soient coupées par la circonférence de ce cercle, suivant les deux rapports donnes.

Soit le cercle ABC, les deux points .4 et C sur la' circonférence, les deux rapjjorls DU : HZ et HT : Ï'K', etc. (Fig. ii4et ii5.)

Pi op. II. Mener de deux points donnés A et B sur la circonférence d'un cercle deux lignes qui se rencontrent en un point, et dont le rapport soit égal à un rapport donné ; puis diviser la droite qui joint ces deux points en deux parties qui soient entre elles dans le méuie rapport. (Fig. II 6.)

Pro/j. 12. Mener de deux points donnés sur la circonférence d'un cercle deux lignes qui se renconlient en un point de celte circonférence, et qui soient telles que leur produit soit égal à une surface donnée. (Fig. 117.)

Prop. i3. Mener par deux points donnés sur la circonférence d'un cercle deux lignes qui se rencontrent en un point de cette circonférence, et qui soient telles que la somme de leurs carrés soil égale à une surface donnée ( 1 ). (Fig. 1 1 8 et 1 1 9.)

(i) Le manuscrit porte que ces opuscules d'Ali-Sindjiari ont été achevés au mois de Schawal de l'aiiiuo 5^9 de l'hegire (1144 de J. G.). C'est sans doute la date de la copie.

Quatorzième li'çre de CEpitome de. riman Mazha/fer-al-Isferlcdi sur les Eléments d'Euclide.

Ce Mekalnt comprend onze propositions el répond au \[f livre des Éléments d'Enclide, qui n'en contient que sept. Prop. i. Étant donné un cercle ABC, dont le centre est en D, ADG le diamètre, GB la corde du lo^, BC la corde du 5*"; je dis que la perpendiculaire DE est la moitié de la somme de DG-i-GB. (Fig. 120.)

Prop. 2. Les mêmes choses étant données, et de plus AB la corde d'un angle intérieur du pentagone fj^^^''' :, je dis que la somme des carrés de ÂB et BC égale cinq fois le carré de DG (du rayon). (Fig. 121.)

Prop. 3. Soit AB le diamètre d'une sphère y^ 'iS; la base du dodécaèdre inscrit jjl ^__CJ ïjxU ÏAcLayLe. le pentagone CDEGH; et la base de l'icosaèdre inscrit ïjii La ^Ju*!! ^i ïj^L^, le triangle TK.L; si l'on inscrit ces deux bases en deux cercles dont l'un ait pour denii-diamèire IC et l'autre pour demi-diamètre OL, je dis que les deux cercles sont égaux. (Fig. 122, i23.)

Prop. 4- Le pentagone ÂBCDE, l'une des bases (^Jaces) du dodécaèdre étant inscrit en un cercle

dont le centre yy est eu G, et GT étant perpendiculaire sur CD; je dis cjue GT, multiplié par 3o fois CD ^y ^Jr^ -^^ J>^j, est égal à la surface du dodécaèdre. (Fig. 124.)

Prop. 5. Le triangle ABC, l'une des faces de l'icosaèdre, étant inscrit à un cercledont le centre est en D, et DE étant perpendiculaire sur BC ; je dis que DE nuillipiié pai- 3o fois BC est égal à la surface de l'icosaèdre. (Fig. ii5.)

Proj). 6. Le rapport de la surface du dodécaèdre à celle de l'icosaèdre est égal au rapport du côté cube s.v*.Ci! fX^, au côté de l'icosaèdre, lorsqu'ils sont tous inscrits à la même sphère '-i' ïj^tj'ï/ JL^''^::^!^. (pig. 126.)

Proj). 7. Le pentagone régulier ABCDE étant inscrit à un cercle dont le centre est en L et dont le diamètre est ATG, je mène EB corde d'un angle intérieur du pentagone et EL (rayon). Soit de plus LH moitié de AL et TK. égale à deux fois RB. Je dis que AH, qui est égale aux 3/4 du diamètre , multipliée pu- EK qui est égale aux 5/6 de EB, corde de l'angle du pentagone , est égale à la surface du pentagone. (Fig. 127.)

Prop. 8. Le pentagone ABCDE et le triangle ATG étant inscrits à un même cercle dont le diamètre est ALK, et étant les deux faces des deux solides inscrits à la même sphère ; je dis que le

( /i"C ) rapport du pentagone ABCDE , pris douze fois, au triangle ATG pris vingt fois, est égal au rapport lie la ligne BE? qui est le côté du cube, à la ligne TG, qui est le côté de l'icosaèdre. ^Fig. 128.)

Prop. 9. AB étant divisée en G en moyenne et extrême raison, G et T comprenant virtuellement ,0^^. ^^ 1 -^^ ' J6 tlis que le rapport de G à T est comme le rapport du côté du cube au côté de l'icosaèdre inscrit à la même sphère. (Fig. lag.)

Prop. 10. Le l'apport du dodécaèdre à l'icosaèdre est comme le lapport de la surface du dodécaèdre à celle de l'icosaèdre, lorsqu'ils sont inscrits à une même sphère.

Prop. I 1. AB étant divisé en G en moyenne et extrême raison , et KL en F, et la plus grande des deux parties étant AC et KF; soit CE (|ui comprend virtuellement AE, AC; CH qui comprend BH, BC; FN qui comprend KN, RF; et FS qui comprend LS , LF , je dis que CE : CH : : FN : FS. (Fig. i3o— i3i.)

Opuscule relatif à la trigonométrie sphérique attribué à Ahoul-Walid. Nous sonunes porté à croire que cet Aboul-Walid «x-^Jl v' .J^^ est le même (pi'Avenoës , qui se nommait Aboul- Walid Moliammed-Ben-Roschd, et(|ui a composé un commentaire sur l'Almageste.

L'auteur commence ainsi : Ces propositions sont celles que j'ai ajoutées aux sphériques U »S'^ pour l'intelligence parfaite de l'Almageste; elles ont pour objet des triangles formés par des arcs dont chacun est plus petit que le demicercle, et qui appartiennent à de grands cercles qui se coupent sur la surface de la sphère, en quoi nous différons de Ptolémée, qui a considéré ces triangles comme s'ils étaient formés par des lignes droites, ainsi qu'il lui a plu de le faire.

Énoncé des propositions :

Prop. i". Lorsque des cercles se coupent sur la sphère et qu'il en résulte trois arcs, chacun plus petit qu'un demi-grand cercle, si deux de ces arcs sont égaux, les deux angles adjacents à la base (le troisième côté) sont égaux. (Fig. i32.)

Prop. 1. Étant donnés deux triangles sphériques formés par des arcs de grand cercle, ^^ -Lks y3\^i ^ -~i dont chacun est plus petit que le demi-grand cercle, si deux côtés de l'un de ces triangles sont égaux aux deux correspondants de l'autre, chacun à chacun, et que l'angle compris entre les côtés égaux soit le même dans chaque triangle, les bases sont égales et les triangles égaux; de plus, les deux autres angles sont aussi égaux, chacun à chacun, dans les deux triangles. (Fig. i33.)

Prop. 3. Étant donné un triangle v^k» dont deux côtés sont égaux, les deux angles adjacents à la base is^LiJ! ^y seront égaux; et si l'on prolonge les deux côtés égaux au-dessous de la base, les angles formés au-dessous seront aussi égaux. (Fig. .34.)

Prop. 4. Lorsqu'un triangle a deux angles égaux, les côtés opposés à ces angles sont égaux entre eux. (Fig. i35.

Prop. 5. Lorsque des extrémités d'un arc plus petit qu'un demi-grand cercle on a mené deux arcs, chacun plus petit qu'un demi-grand cercle et qui se rencontrent en un point; je dis qu'on ne peut des mêmes points de départ mener du même côté deux arcs égaux aux deux premiers , chacun à chacun. (Fig. i36.)

Prop. G. Lorsque deux triangles sphériques ont les trois côtés égaux chacun à chacun, les angles opposés aux côtés égaux sont égaux entre eux. (Fig. 137.)

Prop. 7. Étant donné un arc plus petit que le demi-grand cercle , et sur cet arc un point quelconque, mener par ce point un arc perpendiculaire à l'arc donné. (Fig. i38.)

Prop. 8. Tout arc élevé sur un autre arc ^oy ^jT le fSi (orme ou deux angles droits ou deux nngles égaux à deux droits. (Fig. 139.)

( /|'9 ^ Pio/>. 9. Lorsque deux arcs se coupent, les angles opposés au sommet sont égaux. (Fig. i/|0.)

Nous pourrions faire suivre cette partie de notre travail d'ime nomenclature des géomètres arabes dont les manuscrits n'ont point encore été l'objet d'une étude sérieuse, mais, comme le dit fort bien Montucla (i) : » T/histoire des sciences chez « un peuple consiste moins à accumuler des noms « d'écrivains et des titres d'ouvrages qu'à déve- '< lopper les progrès qu'elles y ont faits; ■■> nous nous contenterons donc de remarquer que le peu que nous connaissons des mathématiciens arabes doit nous donner de leurs travaux une opinion très-favorable; si l'on ne s'est pas encore occupé des traités qu'ils ont composés sur l'arithmétique, on ne peut douter que nous ne leur devions notre système de numération décimale. L'examen d'un assez grand nombre de manuscrits nous a montré que la forme des chiffres usités en Orient s'était altérée en Afrique et en Espagne, pour devenir insensiblement identique à celle de nos chiffres modernes, et l'explication de ces modifications successives pourrait être l'objet d'un curieux mémoire.

(s) Montucla, Hiit. des Scic/ica niathétiiatiqucs , tome V^ , p. 375. — Voy. aussi nos Pivlt'gnmèncs il'Oloug-Eeg, iiitrod.. p. L\xin cl paisim.

On a vu qu'en géométrie, les Arabes avaient porté leur attention sur des questions de l'ordre le plus élevé, et qu'ils avaient fait faire à la science de notables progrès; la substitution des sinus aux cordes, l'introduction des tangentes dans les calculs trigonométriques, l'application de l'algèbre à la géométrie, la recherche de la solution des équations cubiques, des idées justes sur la catoptrique, e^c, prouvent que les savants de l'école de Bagdad se livraient aux spéculations les plus abstraites, et si l'on songe qu'ils ont cultivé les diverses branches de mathématiques avec une égale persévérance, on reconnaîtra que, bien loin de mériter la qualification (ïembclecadores falsnrius Y chimcristds , ils ont été véritablement doués du génie d'invention, et que, sous ce rapport, l'opinion des historiens de la science doit être réformée.

FIN ou TOME PKEMIKR.

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Date Due

N1AR081988 l:LB25

FFB2.31«W NDV *) 9 Î988