QUATRIÈME PARTIE

Des mathématiques chez les Arabes,

En cultivant Tastronomie, les Arabes devaient donner une attention toute particulière aux diverses branches des mathématiques; ils firent, en effet , dans cette direction d'immenses travaux, et l'on peut dire qu'à cet égard, ils ont été nos maîtres (i). INon-seulement la géométrie, l'arithméti-

(i) En 800, Chailemagne, par les conseils d'ALlcuin, élève de Bède, avait essayé de ranimer le goût des mathématiques; mais l'ignorance du siècle prévalut, et on ne peut citer, comme une suite des efforts de Charlemagne, que quelques observations faites sous Louis le Débonnaire.

De 970 à 980, Gerbert, bénédictin , né en Auvergne, connu depuis sous le nom de Silvestre II, introduit parmi nous les connaissances mathématiques qu'il avait puisées en Espagne.

De II 00 à 1120, le moine Adhelard, Anglais, voyage en Espagne et en Egypte, et traduit à son retour, d'après l'arabe, les Éléments d'Euclide. Il est le premier qui ait fait connaître en Occident cet auteur, dont le nom à peine y avait pénétré.

Platon de Tivoli, religieux, traduit de l'arabe les Sphéri' cjues de Théodose (traduction imprimée en 149^, puis en i5/|8).

Rodolphe de Bruges, religieux, traduit le Planisphère de Ptolémée, d'après une version arabe commentée par Maslem.

De laSo à i3oo, Campanus de Novarre traduit de nqpVeau d'après l'arabe et commente les Éléments d'Euclide.

( 366 ) que et l'algèbre , mais l'optique et la mécanique firent, entre leurs mains, de remarquables progrès. Les pneumatiques et les hydrauliques de Ctésibius et de Héron d'Alexandrie avaient été traduites; il en était de même du livre des machines de guerre de Héron le jeune, et Ton sait que Golius apporta d'Orient une version du traité intitulé : Barulcon. Mais si les ouvrages spéciaux des Arabes sur cette partie de la science nous manquent aujourd'liui , si nous avons à regretter l'ouvrage que Hassanben-Haithem écrivit sur la vision directe, réfléchie et rompue et sur les miroirs ardents , du moins pouvons-nous citer l'optique d'A-Hazen, qui offre des réflexions judicieuses sur la réfraction, sur le lieu apparent de l'iaiage dans les miroirs courbes, le foyer des miroirs caustiques, sur la gran-

Vitellion , Polonais , traduit ^Optique d'Al-Hazen (que l'on croit avoir été calquée sur celle de Ptolémée).

Gérard de Crémone (du douzième siècle , selon la Biographie universelle, et du quatorzième, selon Weidler et Delambre), traduit VAlmageste de Ptolémée, ce qui commence à faire connaître la véritable et solide astronomie. La première traduction, d'après le grec, de Georges de Trébizonde, ne fut faite qu'en i45o.

Le même traduit le Commentaire de Géber sur V Almageste, et un petit traité d'Al-Hazen sur les crépuscules.

i25a. Alphonse fait publier, à cette époque, les Tables al phonsines.

rjpo. Léonard de Pise fait connaître l'algèbre, qu'il avait apprise chea les Arabes.

( 367 ) deur apparente des objets et le grossissement du soleil et de la lune vus à l'horizon.

L'algèbre reçut aussi d'utiles applications cViez les Arabes; nous nous occuperons dans notre cinquième partie de l'origine présumée de cette science. Il nous suffit de dire ici, que dès le commencement du neuvième siècle de notre ère, Mohammed-ben-Musa composait un traité d'algèbre que M. Rosen a traduit dans ces derniers temps en anglais, et dont il existait des versions latines, et que Thébit-ben-Corrah écrivait vers la même époque sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique. « Ceci pouvait donner lieu « de penser, dit Montucla (i), que les Arabes eu- « rent aussi l'heureuse idée d'appliquer l'algèbre à « la géométrie; mais il n'y a que l'inspection du « manuscrit dont il s'agit ici, qui pourrait nous « apprendre jusqu'où ils avaient porté cette in- « vention. »

Cette conjecture s'est trouvée réalisée par la publication du fragment d'algèbre que nous avons extrait du manuscrit de la Bibliothèque royale (a), où les équations cubiques sont résolues géométriquement.

(i) Montucla, Hist. des mathématiques, t. I, p. 383. (2) Ms. arabe n° i lo/j, fol. 28. — Chasles, Aperçu h\st, des méthodes en géométrie, p. 49» J voy. plus haut, p. 12 3,

L'auteur de cet ouvrage ne se nomme point ; mais comme il le dédie à un grand juge, ^Li yfiLL ^\ jwwJt ^L»*^! ïLaiiJt, il ne serait pas tout à fait impossible, d'après cette circonstance, d'avoir la date approchée de sa composition.

L'auteur y définit l'algèbre dAlll^^sr^! un art savant qui traite des nombres absolus et des grandeurs d'une manière telle, que les quantités inconnues, étant jointes à une chose connue, peuvent être déterminées, la chose connue étant une quantité ou un rapport.

Il remarque ensuite que, dans leur art, les algébristes ont coutume de nommer chose *, {^^ m cosa des Italiens) l'inconnue à déterminer; produit ou carré JU (censo\ la cosa multipliée par elle-même; cube ,^^ (cubo), le produit du censo par la cosa; le carré-carré ^}l^ JU (// censo cli censo), le produit du censo par lui-même ; le carré-cube t*-^^ JU {il censo di cubo), le produit du censo par le cubo ; le cube-cube ^.^^^ ^^^xi Ul cubo di cubo)j le produit du cw^c? par lui-même, etc., ou en d'autres termes :

1^^ puissance — chose.

2*^ — carré.

3^ — cube.

4^ — • carré-carré,

5® — i carré-cube.

6* — cube-cube.

Ceci, comme on le voit, est en tous points contraire à l'opinion de Wallis, qui prétend que les Arabes ont adopté, dans la dénomination des puissances ^^JL^, un système différent de celui de Diophanle (i).

L'auteur prévient ensuite qu'on ne peut entendre son ouvrage ïJL^. qu'autant qu'on connaît les Éléments d'Euclide et son traité des Data vol-Ja*4î J, ^iL"S j J^^^'iît J, jv^-vJlJt ^l'J^\ et les deux (premiers) livres des Coniques d'Apollonius vJl^LLj^^î ^j rr'j^}^^,^ ^l^ ^^^ ^^U«^j, parce que tout ce qu'il dira est fondé sur les principes énoncés dans ces trois ouvrages ; et après avoir fait observer qu'il ne considère que quatre ordres de quantités : les norttbres absolus ^j^ , les côtés ou racines jj^, les carrés et les cubes, et qu'on ne peut concevoir en dimensions de carré-carré , il dit qu'on ne trouve dans les livres des algébristes qui l'ont précédé, que la solution des équations -O'^jiLxit des trois premiers ordres, savoir en nombres absolus, en côtés et en carrés ; mais que, quant à lui, il donnera des règles pour déduire l'inconnue dans chacun des quatre ordres, et qu'il se servira des propriétés du cercle 'iy\^\ ■^\ysr^. exposées dans les Eléments et les Data, et, à leur

(i) Voy. Montucla, Hist. des mathématiques, 1. 1, p. 382.

(370) défaut, des propriétés des sections coniques 'L1>jj=s:^\ ^iisi\ ^\js:^ cxposécs daus Ics dcux premiers livres d'Apollonius.

Il divise en deux espèces les équations entre les quantités des quatre ordres , les équations simples ob Jl* yji>^ùlxfi et les équations composées oUiJU , et passe à leur énumération.

Selon lui , les équations simples ou binaires sont au nombre de six (nous les donnerons avec nos signes pour simplifier ) :

3e ^3 — ,j ::^o 4^ o(^ — mx = o

6® x^ — . mx = o,

La quatrième et la cinquième se réduisant , comme il le fait observer, à la première; la sixième à la seconde; et la troisième ne pouvant être résolue en nombres que par Visdkra ^ \y::iSiVi ^JjJtv,^^^ (i)» et par la géométrie, qu'au moyen

(i) Istikra signifie le cas où l'on ne peut prouver la vérité d'une proposition générale qu'en parcourant tous les cas particuliers auxquels elle est applicable; l'auteur se sert de cette expression dans le sens de déduction ou extraction, — La définition du mot )ji::*u^l se trouve dans l'extrait que Silvestre de Sacy a donné du y^\ki ^\ v^^bT ou Livre des définitions. Voy. Notices et extraits des manuscrits , t. X, p. l^%.

(371 ) des sections coniques c^iiJb ILwjjL^t yj.^, ;^ rx ^^

Il continue : les équations composées sont de deux sortes, les tertiaires ou les quaternaires (ou, si l'on veut, trinômes et quadrinomes) olJ^I Utj IscUj L^j V"^ L^^.

Il y a douze espèces de ternaires :

lï-e ^| ;;2jî; 72 = O (l)

3^ ^ — mx —^n-=:o

Celles-ci sont traitées dans les livres d'algèbre ,

et expliquées par des constructions géométriques,

mais non pas arithmétiquement. Les trois suivantes,

qui sont regardées comme leurs homogènes, sont :

4^ a^+ma^ — nxz=zo 5® x^ — mx^-\- nx-==Lo 6* x^ — mx^-^nx^zo

Les six autres sont :

7® 0!^-\- mx — n:=:o

9® X^ 772^ — •n=zo

lO** ^'-4-772:r* 71 = 0

1 1® x^-i- mx^-h n-=zo 12^ x^ — 7720;^ — n-=.o

La forme seule de ces six dernières équations est exposée dans les livres des algébristes; mais nous les démontrerons par des constructions géo-

(i) Carré et racine égalent nombre , etc.

( 37^* ) métriques, ne le faisant pas arithîtiétiquement. Les quaternaires, qui sont au nombre de sept, se divisent en deux classes : la première comprend les (quatre) cas où il y a trois ordres de quantités égaux à un seul (i), savoir:

i^e ^3^ mx^-+- nx — a = 0 (2) 2« ^3| ^^2 — nx-\- a:=.o

3^ x^ — mx^-{- nx -\-a=:o ^e ^3 — ^j,2 — ^^ — a=:o

La seconde classe comprend les (trois) cas où deux ordres sont égaux à deux autres :

5® X^~h Jn^^ — fi^ — a=:o (3) gc ^3 — mx^-{- nx — a=zo ^e ^3 — ^^^^2 — nx-{- a=.o

Telles sont les sept quaternaires pour lesquelles nous n'avons pu trouver la chose *,, la cosa , que par des moyens géométriques.

L'auteur passe ensuite à la solution de chacune des vingt-cinq équations rapportées ci-dessus.