QUATRIEME PARTIE

Des tnathématiques chez les Arabes.

En cultivant Tastronomie , les Arabes devaient donner une attention toute particulière aux diverses branches des mathématiques; ils firent ^ en effet , dans cette direction d'immenses travaux^ et l'on peut dire qu'à cet égard , ils ont été nos maîtres (i). Non-seulement la géométrie , l'arithméti-

(i) En 800, Charlemagne, par les conseils d'AilcuiD , élève de Bède, avait essayé de ranimer le goût des mathématiques; mais rîgnorance du siècle prévalut , et on ne peut citer, comme une suite des efîorts de CliarlemagnCy que quelques observations faites sous Louis le Débonnaire.

De 970 à 980, Gerbert, bénédictin , né en Auvergne, connu depuis sous le nom de Silvestre II, introduit parmi nous les connaissances mathématiques qu'il avait puisées en Espagne.

De iioo à iiao, le moine Adhelard, Anglais, voyage en Espagne et en Egypte, et traduit à son retour, d'après l'arabe, les Éléments d'Euclide. Il est le premier qui ait fait connaître en Occident cet auteur, dont le nom à peine y avait pénétré.

Platon de Tivoli , religieux , traduit de l'arabe les Sphérigués deTbéodose (traduction imprimée en 1493, puis en i5/|8).

Rodolphe de Bruges, religieux, traduit le Planisphère de Ptolémée, d'après une version arabe commentée par Maslem.

De laSo à i3oo, Gampanus de Novarre traduit dé nouveau d'après l'arabe et commente les Éléments d'Euclide.

( 366 ) que et l'algèbre j mais l'optique et la mécanique firent, entre leurs mains, de remarquables progrès. Les pneumatiques et les hydrauliques de Ctésibius et de Héron d'Alexandrie avaient été traduites ; il en était de même du livre des machines de guerre de Héron le jeune, et l'on sait queGolius apporta d'Orient une version du traité intitulé : Barulcon. Mais si les ouvrages spéciaux des Arabes sur cette parlîe de la science nous manquent aujourd'hui, si nous avons à regretter l'ouvrage que Hassanben-Haithem écrivit sur la vision directe^ réfléchie et rompue et sur les miroirs ardents , du moins pouvons-nous citer l'optique d'A-Hazen , qui offre des réflexions judicieuses sur la réfraction, sur le lieu apparent de Timage datis les miroirs courbes, le foyer des miroirs caustiques, sur la gran-

Vitellion , Polonais , traduit ^Optique d'Al-Hazen (que l'on croit avoir été calquée ixxv celle de ttolémée).

Gérard de Crémone (du douzième siècle , selon la Biographie universelle , et du quatorzième , selon Weidler et Delatnhre), traduit VAlmageste de Ptolémée, ce qiii cortitnence à faire connaître la véritable et solide astronomie. La ptemièl'e traductioti , d'après le grec, de Georges de Ti*ébi2onde , ne fat faite qu'en i45o.

Le même traduit le Commentaire de Gébér stir Y Jintageste, et un petit traité d'Al-Hazen sur les crépuscules.

laSa. Alphonse fait publier, à cette époque, les Ihblesalphonsines,

1400. Léônàtd de Pise fait côntiaftt^ l'algèbre , qu'il shrait apprise tlieï lé^ Jli^âbés,

(367) deùr stpparente des objets et le grossissement du, soleil et de la lune vus à l'horizon.

L'algèbre reçut aussi d'utiles applicadôîts ctiesE les Arabes; nous nous occuperons dans notre cinquième partie de l'origine présumée de cette science. Il nous suffit de dire ici, que dès le commencement du neuvième siècle de notre ère, Mohammed-ben-Musa composait un traité d'algèbre que M. Rosen a traduit dans ces derniers temps en anglais , et dont il existait des versions latines , et que Thébit-ben-Gorrah écrivait vers la même époque sur la certitude des démonstrations du calcul algébrique. « Ceci pouvait donner lîeu a de penser, dit Montucla (i), que les Arabes eu- « rent aussi l'heureuse idée d'appliquer l'algèbre à « la géométrie; mais il n'y a que l'inspection du « manuscrit dont il s'agit ici, qui pourrait nods « apprendre jusqu'où ils avaient porté cette in- « vention. »

Cette conjecture s'est trouvée réalisée par la publication du fragment d'algèbre que nous avons extrait du manuscrit de la Bibliothèque royale (a), où les équations cubiques soqt résolues géométriquement.

(i) Montucla > Uisu des mathématiques ^ t. I, p. 383. (a) Ms. arabe n® 1104, fol. 28. — Chasles, Aperçu hist. des méthodes en géométrie, p. 49a ; voy. plus haut, p, ia3.

L'auteur de cet ouvrage ne se nomme point ; mais comme il le dëdic à un grand juge, ^Li diU^^^t J^t ÀAi\ SLûaSI, il ne serait pas tout à fait impossible y d'après cette circonstance, d'avoir la date approchée de sa composition.

L'auteur y dëHnit l'algèbre îLLiUl^^^t un art savant qui traite des nombres absolus et des grandeurs d'une manière telle, que les quantités inconnues, étant jointes à une chose connue, peuvent être déterminées , la chose connue étant une quantité ou un rapport.

Il remarque ensuite que, dans leur art, les algébristes ont coutume de nommer chose *. (la cosa des Italiens) l'inconnue à déterminer; produit ou carré JL (censo), la cosa multipliée par elle-même; cube wotS' {cubo)^ le produit du censo par la cosa ; le carré-carré JL. JL» {il censo di censo)j le produit du censo par lui-même ; le carré-cube v-^ JL» {il censo di cubo)^ le produit du censo par le cubo; le cube-cube w*»^' woiS' («7 cubo di cubo)j le produit du cubopRv lui-même, etc., ou en d'autres termes :

i^ puissance — chose.

2* — carré.

3* — cube.

4* — carré-carré.

5* —carré-cube.

6* — cube-cube.

Ceci, comme on le voit, est en tous points contraire à l'opinion de Wallis, qui prétend que les Arabes ont adopté, dans la dénomination des puissances wô*)^, un système difFérent de celui deDiophante (i).

L'auteur prévient ensuite qu'on ne peut entendre son ouvrage îil^j qu'autant qu'on connaît les Eléments d'Euclide et son traité des Data

0LL4I J ^^-^j J^--^"^' J uTi^tJ^' ^^b:^\ et les deux (premiers) livres des Coniques d'Apollonius yS^UojjsA] J, (^^^' ^^ ^ {jr^^^^jy parce que tout ce qu'il dira est fondé sur les principes énoncés dans ces trois ouvrages; et après avoir fait observer qu'il ne considère que quatre ordres de quantités : les nombres absolus ^Ad j les côtés ou racines jifiw, les carrés et les cubes, et qu'on ne peut concevoir en dimensions de carré-carré , il dit qu'on ne trouve dans les livres des algébristes qui l'ont précédé, que la solution des équations O'^^ljtlt des trois premiers ordres, savoir en nombres absolus , en côtés et en carrés ; mais que, quant à lui, il donnera des règles pour déduire l'inconnue dans chacun des quatre ordres, et qu'il se servira des propriétés du cercle «^J'^t jj^'^àr? exposées dans les Éléments et les Data, et , à leur

(1) Voy. Montucla, Hist, des mathématiqtieSf 1. 1, p. 38a.

(370) défaut y des propriélés des sections coniques îJbjyi^) ^^i:iSi\ ^ja\j3:^ cxposées dans les deux premiers livres d'Apollonius.

Il divise en deux espèces les équations entre les quantités des quatre ordres , les équations simples ob JL» vJ^/^^Ljc» et les équations composées OliyU y et passe à leur énumération.

Selon lui , les équations simples ou binaires sont au nombre de six (nous les donnerons avec nos signes pour simplifier) :

^=zo

-mx

• mx^ — o

-^mx

La quatrième et la cinquième se réduisant , comtne il le fait observer, à la première; la sixième à la seconde; et la troisième ne pouvant être résolue en nombres que par Vistikra ^ \j:^\j ^jjJl^i^MO. (i)» et par la géométrie, qu'au moyen

(i) Istikra signifie le cas où Ton ne peut prouver la vérité d'une proposition générale qu'en parcourant tous les cas particuliers auxquels elle est applicable ; l'auteur se sert de cette expression dans le sens de déduction ou extniction. — La définition du mot LiiXw'^l se trouve dans l'extrait que Silvestrede Sacy a donné du sJL>Lij;ycJI v^bS^ ou Lwre des définitions, Voy. Notices et extraits des manuscrits, t. X, p. 42.

(37i ) des sections coniques f^^b L^jjl^I vi.^«««^ ^j

11 continue : les équations composées sont de deux sortes, les ternaires ou les quaternaires (ou, si Ton veut, trinômes et quadrinomes) oLi^l Ulj 2L&bj l-^j V"^ L^^.

Il y a douze espèces de ternaires :

i" :r*+ mi: — n = o (i) a« j?* — mx + n-=:o

Celles-ci sont traitées dans les livres d'algèbre , et expliquées par des constructions géométriques, mais non pas arithmétiquement. Les trois suivantes, qui sont regardées comme leurs homogènes, sont :

5e ^ — mx^+nx=zo Les six autres sont :

a^+ mx — « =

a;^— mx + n =:

x'-^ /wo; — . 71 =

io«

ii«

ar'+war'H-wz:

ia«

j;^ — mx^ — n =

La forme seule de ces six dernières équations est exposée dans les livres des algébristes; mais nous les démontrerons par des constructions géo-

(i) Carré et racine égalent nombre , etc.

(37») métriques y ue le faisant pas arithmétiquement. Les quaternaires y qui sont au nombre de sept, se divisent en deux classes : la première comprend les (quatre) cas où il y a trois ordres de quantités égaux à un seul (i), savoir.:

2* ar'H- mj;" — nx+az=zo

4* a^ — mj^ — nx — a=o

La seconde classe comprend les (trois) cas où

deux ordres sont égaux à deux autres :

5* ^r'+iwo;"— nx~«=:o(3) 6* a? — mx^+nx — o = o 7* x^ — tnx^ — /îx + a = o

Telles sont les sept quaternaires pour lesquelles nous n'avons pu trouver la chose -à,, la cosa^ que par des moyens géométriques.

L'auteur passe ensuite à la solution de chacune des vingt-cinq équations rapportées ci-dessus.

ÉQUATIONS BirrAlAES. l'* ÉQUATIOW.

X — n =: o racine égale nombre.

(i) On lit dans le manuscrit : A-*-i jJ^j5uj L^ Jj*^! ^^

Ij^lyl SJ^Lju* sI^L« v.iJL>. Il faat lire, comme nous le fai-

••I sons, w^)^.

(a) Cube , carré et racine égalent nombre.

(3) Cube et carré égalent racine et nombre , etc.

(373) Dans ce cas, la racine est nécessairement connue , et la règle est la même pour le nombre et pour l'étendue oU.L4t.

Il* ÉQUATION.

a^ — » == o carré égale nombre ; arithmétiquement ^ji)| ï^ ^, par extraction lyiw^b ; géométriquement iLwjcL^I i^ ^, prenez une ligne ÂB supposée égale au nombre donné, et que AC soit l'unité, et perpendiculaire à AB , terminez le rectangle AD, il est évident >^1ju» que l'étendue de sa surface sera exprimée par le nombre donné; faites un carré £ égal en surface au rectangle AD, comme l'a expliqué Ëuclide dans la \l\ proposition du second livre de son Traité des éléments, le carré £ sera égal au nombre donné, et comme il est connu, son côté le sera aussi d'après la démonstration d'£uclide , ce qui est la cbose demandée.