AB __DE BC ^ EF

ce qui démontre la proposition.

Angles dièdres.

241. Définitions. — On appelle angle dièdre ou tout sim plement dièdre^ la figure formée par deux plans qui se coupent et qui sont limités à leur intersection. Les deux plans et leur intersection s'appellent respectivement les faces et Varête du dièdre.

Si un dièdre est formé par les deux plans P et Q qui se coupent suivant la droite AB, on désigne ce dièdre au moyen des quatre lettres P, Q, A, B, en ayant soin de placer au milieu les lettres qui sont sur l'arête ; on dit, par conséquent, le dièdre PABQ. Toutefois, quand il n'y afpas d'ambiguïté possible, on dit tout simplement le dièdre AB.

On dit que deux dièdres sont égaux quand ils sont superposables.

On dit que deux dièdres sont adjacents quand ils ont la même arête, une face commune et que les plans des autres faces sont de part et d'autre de la face commune.

On fait la somme de deux dièdres en les plaçant de façon qu'il soient adjacents, et Ton appelle alors somme de ces deux dièdres, le dièdre formé par les faces extérieures. La définition de la somme s'étend facilement à plusieurs dièdres.

On définit un dièdre plus grand ou plus petit qu'un autre comme on a défini un angle plus grand ou plus petit qu'un autre (13).

On dit que deux dièdres sont opposés par l'arête quand les faces de l'un sont les prolongements des faces de l'autre.

On peut engendrer un dièdre PABQ en supposant qu'un plan mobile, d'abord confondu avec P, tourne autour de AB jusqu'à ce qu'il vienne coïncider avec le plan Q.

On dit qu'un plan Q est perpendiculaire au plan P lorsqu'il forme avec le plan P deux dièdres adjacents égaux PABQ,

P'ABQ. Ces angles dièdres égaux s'appellent alors des angles dièdres droits.

On dit qu'un dièdre est aigu ou obtus suivant qu'il est inférieur ou supérieur à un dièdre droit. Par un raisonnement analogue à celui qui a été fait en géométrie plane (15 et 16) on démontre d'ailleurs :

1° Que par une droite AB située dans un plan P on peut mener un plan Q perpendiculaire au plan P et on n'en peut mener qu'un ; 2° Que tons les dièdres droits sout égaux.

On dit que deux dièdres sont complémentaires ou supplémentaires quand leur somme est égalc'cà 1 ou à 2 dièdres droits.

242. Théorèmes. — 1° Tout plan qui en rencontre un autre forme avec lui deux dièdres adjacents supplémentaires, et réciproquement.

1s§La somme des dièdres formés autour d'une droite est égale à 4 dièdres droits.

3° Deux dièdres opposés par rareté sont égaux.

Les démonstrations de ces théorèmes sont analogues à celles qui ont été données en géométrie plane no» 18, 22 et 23.

243. Angle plan d'un dièdre. — Considérons un dièdre AB et, par un point C pris sur l'arête AB de ce dièdre, menons CD et C Ë perpendiculaires à AB et situées respectivement dans les plans des faces. Nous obtenons ainsi un angle plan DCE qui demeure invariable quand le point C se déplace sur l'arête AB ; en effet, ses côtés se déplacent parallèlement à eux-mêmes en conservant leurs sens respectifs. Pour cette raison, cet angle s'appelle Vangle plan ou le rectiligne correspondant au dièdre AB.

Il est clair que le plan DCE de cet angle est perpendiculaire à AB (210) ; il en résulte qu'on peut obtenir l'angle plan d'un dièdre en coupant les faces de ce dièdre par un plan quelconque perpendiculaire à l'arête.

244. Théorème. — A deux dièdres égaux correspondent des angles plans égaux y et réciproquement.

La proposition directe se démontre en superposant les

dièdres de manière à faire coïncider les sommets des deux angles plans ; alors ceux-ci coïncident eux-mêmes.

On démontre de même la réciproque en superposant les angles plans. L'arête du premier dièdre coïncide alors avec rareté du second, puisqu'elles sont toutes deux perpendiculaires au plan du rectiligne au même point.

245. Théorème. — A deux dièdres supplémentaires correspondent deux angles plans supplémentaires.

Considérons, en effet, deux dièdres adjacents supplémentaires formés par les deux plans P et Q. Coupons ces deux plans par un troisième perpendiculaire à leur intersection EF ; nous obtenons ainsi deux droites BAC et AD perpendiculaires à EF, et les angles BAD, DAC sont les angles plans correspondant respectiyement aux dièdres PEFQ, P'EFQ. Or, il est manifeste que BAD et DAC sont supplémentaires.

Si les deux dièdres adjacents sont égaux, les angles plans sont égaux, et réciproquement ; donc :

246. Corollaire. — A un dièdre droit correspond un angle plan droit, et réciproquement,

247. Théorème. — Le rapport de deux angles dièdres est égal au rapport des angles plans correspondants.

Considérons, en effet, deux dièdres PABQ, P'A'B'Q' dont

les angles plans respectifs AL P' sont PAQ et P'A'Q'. Supposons que les deux dièdres aient une commune mesure contenue, par exemple, 4 fois dans le premier et 3 fois dans le second, de sorte que Ton a PABQ ^ 4 ^ P'A'B'Q' ~ 3 ' il s'agit alors de prouver que l'on a aussi PAQ 4 FÂ^' "" 3 '

Pour cela, partageons le premier dièdre en 4 dièdres égaui par des plans passant par AB, et le second dièdre en 3 dièdres égaux par des plans passant par A'B'.

Comme à des dièdres égaux correspondent des angles plans égaux, les plans menés par AB partagent l'angle PAQ en 4 parties égales, et les plans menés par A'B' partagent l'angle P'A'Q' en 3 parties égales. Mais chaque partie de PAQ est égale à une partie de P'A'Q', parce que les dièdres partiels du premier sont égaux aux dièdres partiels du second. Il en résulte qu'un même angle plan est contenu 4 fois dans PAQ et 3 fois dans P'A'Q' ; donc

PAQ ^J P'A'Q' 3 '

donc enfin . , ^ = — 5^.

248. Corollaire. — Un angle dièdre a la même mesure que son angle plan^ pourvu que Vunité de dièdre soit le dièdre dont Vangle plan est égal à Vunité d'angle.

En effet, si dans l'égalité précédente, P'A'B'Q' et FA'Q' sont : le premier, l'unité de dièdre, et le second, Vunité d'angle, le premier rapport représente la mesure du dièdre PABQ et le second la mesure de l'angle plan correspondant, PAQ. La proposition est ainsi démontrée.

D'après cela, un angle dièdre de 28» 30' 43" sera un angle dont l'angle plan correspondant est égal à 28«30'43\

Plans perpendiculaires .

249. Théorème.— Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan P, tout plan mené par la droite est perpendiculaire au plan P.

Soient, en effet, AB la droite perpendiculaire au plan P, et Q un plan quelconque passant par AB. Par un point quelconque, A, de l'intersection CD de P et de û, menons AF perpendiculaire à CD dans le plan P.

L'angle BAF de cette perpendiculaire avec AB est alors, par définition, l'angle plan du dièdre PCDQ. Or, AB étant perpendiculaire au plan P, l'angle BAF est droit ;.donc le dièdre lui-

même est droit (246) et les deux plans P et Q sont perpendiculaires.

250. Théorème. — Si deitx plans sont perpendiculaires^ toute droite menée dans iun perpendiculairement à leur intersection est perpendiculaire à Vautre,

Soient, en effet, P et Q (même figure) deux plans perpendiculaires. Menons dans le plan Q une droite quelconque AR perpendiculaire à l'intersection CD des deux plans, puis, par le pied A de cette perpendiculaire, menons AF perpendiculaire à CD dans le plan P. L'angle BAF ainsi obtenu est Tangle plan du dièdre PCDQ ; or, ce dièdre est droit, donc Tangle BAF est droit. Mais alors AB étint perpendiculaire à CD et à AF est perpendiculaire au plan P, ce qui démontre la proposition.

251. Théorème. —Lorsque deux plans sont perpendiculaires, si d'un point de l'un on mène la perpendiculaire à l'autre, cette droite est tout entière dans le premier.

Conservons encore la même figure, et supposons que par le point B, pris sur Q, on mène la perpendiculaire au plan P perpendiculaire lui-même au plan Q par hypothèse ; puis, menons BA perpendiculaire à l'intersection CD des deux plans P et Q. Cette droite est alors perpendiculaire au plan P (250) ; mais par le point B on ne peut mener qu'une perpendiculaire au plan P ; donc BA coïncide avec cette perpendiculaire ; donc celle-ci est située dans le plan Q, ce qui démontre la proposition.