ABRÉVIATIONS

BB., Bulletià-de l'Académie royal* de Belgique.

CR. 9 Comptes. rendus de l'Académie des sciences de Paris.

NAM., Nouvelles Annales de, Mathématiques (depuis 1^42).

CGQ., Correspondance physique et mathématique, fondée en 1825 par Garnibr et Quetelet, continuée dm Qubtelet.

NOM., Nouvelle Coirespondance Mathématique (^874 T JL§80) .

JME., (ou JJ£S.), .Journal de Mathématiques élémentaires (ou Journal de Mathématiques spéciales), fondé en 1877 par Bourgét, continué d'abord par G. de Longohamps, ensuite par G. ariaud.

IM», Intermédiaire des Mathématiciens, fondé en 1891 par MM. Laisant et Lemoinb.

AF., Association française pour l'avancement des sciences*

Crelle, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par Crbllb en 1826,

continué successivement par Borch ardt , Kbonbckbr et Wkibrstrass ,

par Kronkcker et par Fuohs (en allemand surtout). Liouville, Journal de Mathématiques pures et appliquées, fondé par Liouville

en 1836, continué d'abord par Besal, puis par Jordan. (2), III, 327-888 signifie : Deuxième série, tome troisième, pages 827

MATHES1S

REMARQUES SUR CERTAINES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE INTRINSÈQUE; par M. Ernest Cesàro.

1. Dans mainte question de Géométrie intrinsèque, on est conduit à exprimer qu'une droite d, dont on connaît la position par rapport au trièdre fondamental d'une courbe (M), occupe certaines positions remarquables (tangente, bi normale, normale principale, axe central, etc.) dans le trièdre de quelque autre courbe inconnue (Mi). La droite étant définie, par rapport au trièdre de (M), par ses cosinus directeurs a, j3, y, et par ses autres coordonnées, g, n, Ç (liées aux cosinus par la relation a£ + (3>) + yÇ = 0), il faut savoir f), avant tout, que les variations absolues de ces coordonnées, dans l'espace, divisées par Tare élémentaire MM' = ds de la courbe fondamentale, ont les expressions que voici:

ds p r ds r ' dt 1 p 1 r

v d\ Ç • rfyj Ç . <Ç, * i 1 " i a 1

, y] = - yi Ç — — H •

dt p ds t ds 1 p 1 r 1

Dans ces formules *, p, r représentent Parc et les rayons de courbure de (M). Il convient de leur adjoindre les formules, qui font connaître les variations des coordonnées d'an point quelconque :

dx % • dy z dz . x. y

x*=- |- 1 1 y = -f » ^tH (2)

ds p 1 9 ds r ds 1 p 1 r

%. Il est aisé de démontrer que la distance entre les droites detd', qui correspondent aux points M et M\ infiniment voisins sur la courbe fondamentale, est

. *ï+'fa + yi J ± y as,

rk' + fr + f

Afin que la droite reste tangente à une courbe/il faut donc, et il suffit, que l'on ait

'4 + fa + fi-0- W

(*) Qeomctria intrinseca, p. 125.

Par exemple, si la droite est invariablement liée au trièdre de (M), on trouve, en substituant les râleurs (1) dans l'égalité (3),

Pu an+ft «g «0 fr + y»

p* pr #•« p r u

Nous ayons discuté, ailleurs (*), cette relation. Nous nous bornons, ici, à signaler le cas (exceptionnel) des courbes caractérisées par l'équation intrinsèque

p 1 1 pr r

Pour que la relation (4) soit vérifiée par des valeurs confiantes de a, P, (> il faut et il suffit que l'on ait

Sans tenir compte des parallèles à la tangente (a = 1), situées dans le plan rectifiant (£ = >) = 0), on voit qu'on doit avoir

« = 0, Ç>n = a, — PS = », (?) et qu'il n'y a pas d'autre moyen de satisfaire aux conditions (6) tant que a ^ 0. Les équations (7) définissent une infinité de parallèles au plan normal, s'appuyant sur la droite qui joint M au point (a, b) du plan rectifiant^ et constituant ainsi un conoïde du troisième degré. Les projections de ces droites sur le plan normal enveloppent une parabole, dont le foyer est M, et dont le sommet se trouve sur la normale principale, à la distance b de M. En particulier, pour i = 0, on voit que les courbes, dont la torsion est proportionnelle au carré de la fleaion, sont caractérisées par V existence d'un conoïde droit {du troisième degré), invariablement lié à leur trièdre fondamental, et dont chaque génératrice engendre une surface développable. Lorsqu'on fait tendre a vers zéro, l'équation (5) tend à représenter un cercle gauche, et le conoïde (7) s'aplatit indéfiniment sur le plan normal : il s'y réduit au système des tangentes à une parabole; mais en même temps, pour a = 0, une seconde parabole apparaît dans le plan osculateur, parcequ'on peut alors satisfaire aux conditions (6) en prenant, au lieu de (7),

P = 0, £ = 0, —ari = b 7 \ (*) Geomeêria intrinseea, p. 149.

8. Demandons-nom, maintenant, quelle est la condition nécessaire et suffisante pour que d soit la binormàlb de quelque courbe (Mi). Soient p et q les distances de M au plan rectifiant et au plan osculateur de (Mi), au point M ( qui correspond à M sur la courbe inconnue. Lorsqu'on fixe le trièdre de (Mi), la variation absolue de q dans l'espace, évidemment mesurée par la projection ad$ de MM' sur d 9 est égale kdq — pdo, où da est l'angle de torsion de (M,), qu'on peut calculer par la formule

Cela résulte de la seconde formule (2), appliquée au point M (x. y = g, z = p) dans le trièdre de (Mi). On a donc

Telle est la condition cherchée, dans laquelle il nous reste à exprimer p et q en fonction des coordonnées de d 9 et de leurs variations. Soient x,y,§ les coordonnées du point inconnu M{,par rapport au trièdre de (M). La tangente à (Mi), dont les cosinus dirècteùrs sont proportionnels à

x. y, z 9 doit être perpendiculaire à d et à d\ de sorte que

ai + (3y + ys==0, ai + (3y + yi==0. (10)

Or, on a

(3£ — yy] = (3 ((fo — ay) + y (yx — *z) = X + ag ; etc.

Donc

x = % -yr\ — ag f y = yl — rt — fiq, * = — & -yq; (11) puis

| x = {& — y*) + ($> — y») — *q—'aqi ,

jy = (yi-*t) + (yl-k)-fa-fo (™)

Dans ces formules, 'ftfo représente la variation absolue de q, dans l'espace, lorsqu'on fixe le trièdre de (M). Cette variation est d'ailleurs égale à pd<r en vertu de la seconde formule (2), appliquée au point M

(considéré comme fixe) dans le trièdre de (Mi). Cela posé, il suffit de remplacer x 9 y, * par leurs valeurs (12) dans les égalités (10) pour obtenir

4. Les coordonnées (11) appartiennent» pour g arbitraire, à un point quelconque de d 9 et les formules (12) font connaître la direction de la tangente au lieu décrit par ce point; mais qdi n'y représente plusyi*; car c'est précisément l'égalité entre ces deux quantités, qui caractérise d comme binormale. Il est d'ailleurs facile de se convaincre que cette égalité ne diffère pas de la condition (9). En effet, si Ton applique les formules (2) aux coordonnées (11), en tenant compte des formules (1) et (12), on trouve

• dq

Cette relation, presque évidente, subsiste toujours; mais elle ne se réduit à la condition (9) que pour qds=p<k.

6. Proposons-nous, maintenant, de déterminer les coordonnées de la droite (îi, commune perpendiculaire à detd'. Les cosinus directeurs doivent satisfaire aux conditions

et, par suite, leurs valeurs sont

Pour calculer les autres coordonnées, écrivons les conditions de rencontre de di avec d et S :

Zog. Z«E Jz(Py-yfi)5~-lS

2 «S, 1*1 £2<#-7ftÉ-ffJ.

Nous avons, maintenant, le système

' «5i+i3yîi-fyÇi = — p,

| iÇi+P>ï. + î^« = ?^' *i£i+|3ir)i+yiÇi=0,

qui nous donne

Dans ces formules, p et 4 sont définis par les égalités (13). Noos devons toutefois remarquer que p représente toujours la distance de M au plan Mi f parceque les cosinus directeurs de la perpendiculaire à ce plan sont proportionnels à k 9 (3, y, et Ton a bien, indépendamment de q,

p— = — 2'ouc = — 2i(j3Ç — y>3) =

De même la valeur de g est précisément celle qu'on doit substituer dans les égalités (11) pour obtenir les coordonnées du point central de d, parceque la seconde relation (10) ne cesse pas (comme la première) d'être vérifiée, et, par suite, la substitution des valeurs (12) dans cette relation conduit toujours à la valeur (13) de q. Il n'en est pas ainsi àep; car on trouve) par le même procédé, en tenant compte de la relation (14),

ce qui réduit Tune à l'autre la condition (9) et la première relation (10).

Les formules du paragraphe précédent nous mettent à même de voir quel est le lien qui existe entre les deux questions que nous avons traitées dans les §§ 2, 3, et comment il est possible de ramener la seconde à la première. Pour que d soit la binormale d'une courbe, il faut et il suffit que d t soit tangente à une autre courbe. Or, on déduit des formules (15) et (16), par un calcul facile,

«it + (3*. + y& - (« +p d £ - g) *£ï ((3y - y{3)«.

La condition (3), appliquée à la droite d Xf nous reconduit donc à la condition (9); car on ne peut avoir identiquement

sans que la droite d reste parallèle à un plan, ce qui est impossible pour la binormale d'une courbe gauche.

9. On peut faire une application simple de la formule (9) dans le cas où la droite d est invariablement liée au trièdre de (M). Les coordonnées a, |3,..., Ç sont alors constantes, et la substitution des valeurs (1) dans les formules (8) et (13) donne

. * , ~p»*tV Vp r) ' P ds' =m r p

-^ = p+vp-pJv~p^ ~)'

puis Tégalité (9) devient une relation, à coefficients constants, entre les courbures et leurs dérivées. Si Ton veut que cette relation ait lieu entre les courbures, indépendamment de 1 arc, on doit prendre

* A = 0, a = constante.

Donc, si (M) n'est pas une courbe de Bertrand, il faut que a, g, y\ soient nuls, et, par suite, qu'il en soit de même de yÇ. L'hypothèse y = nous donne les parallèles à la binormale, situées dans le plan rectifiant. En laissant de côté ces droites, il nous reste à supposer Ç = 0. Dans cette hypothèse, d est une des normales de (M) ; mais cette courbe n'est pas quelconque, puisque la condition g == constante exige qu'il y ait entre les courbures une relation telle que celle-ci :

La droite qui joint M au point ([/a(b — a), a) dû plan normal est la binormale de la courbe décrite par ce point. En particulier, pour a = t 9 la droite en question n'est autre que la normale principale de (M), d'où il suit que les conrbe* caractérisées far V équation pr 1 = a (p 2 + r») ont

pour normales principales les Hnormales d'une autre courbé. Ce résultat est d'ailleurs évident. En effet, la dernière équation exprime que l'axe central se trouve à une distance constante de la 'droite rectifiante, et par suite, qu'il engendre une surfaee parallèle à la surface rectifiante. Donc la normale principale (commune perpendiculaire à deux axes infiniment voisins) ne cesse pas d'être la binormale de la courbe enveloppée par Taxe central. (A continuer).

SUR TROIS HYPERBOLES ASSOCIÉES A DN TRIANGLE ; par M. A. Droz-Farny.

M. J. Neuberg a publié dans YBiucational Times, sous le numéro 13955 le joli théorème suivant, qui constitue un intéressant exercice de géométrie projective :

On construit sur les côtés d'un triangle ABC, trois triangles isosciles variables A'BC y B'CA, C'AB. Les droites BA', BC coupent AC en B„ Bi; les droites OB', CA' coupent BA en C, C 2 ; enfin les droites AC, AB' coupent CB en Ai, A,. Cela posé, les droites B,C 2 , Ci As» AiB a enveloppent trois hyperboles gui touchent deux des côtés du triangle ABC et ont pour asymptote le troisième côté; ces courbes ont pour tangente commune, la droite de Zemoine du triangle ABC.

Voici la solution que j'ai publiée dans le numéro de janvier 1899. Soit A le milieu de BC; le lieu géométrique du sommet A' est la médiatrice correspondant au côté BC;' elle rencontre AC et AB respectivement en et y.

Les rayons BA' et CA' décrivent déux faisceaux perspectifs, donc les ponctuelles B ( et C 2 sont homographiques; la droite BiCi enveloppe une conique tangente aux côtés AC et AB.

En faisant coïncider A' avec J3 ou y, on constate qu'au point (3 dé la série B,, ou qu'à y de la série C 2 correspond chaque fois dans l'autre série le point A. La conique touche donc les côtés AC et AB aux points où ils sont rencontrés par la médiatrice du troisième côté ; (3y est donc la polaire de A.

Si A' coïncide avec A 9 , Bi, tombe en C et C 3 en B; la conique est tangente aux trois côtés du triangle, et, d'après un théorème connu, le conjugué harmonique de A , intersection de BC avec la polaire de A, par rapport à B et C, c'est-à-dire ici le point à l'infini de BC, sera le

point de contact sur cette droite. La conique est une hyperbole dont BC est une des asymptotes.

On pourrait encore démontrer ce dernier fait en s'appuyant sur le théorème suivant, conséquence du théorème de Brianchon : Dans toute conique inscrite dans un triangle, les trois droites qui joignent un sommet au point de contact sur le côté opposé se coupent en un morne point. Or ici, Bj3 et Cy se croisent en P, et comme le triangle yBC est isoscèle, ÂP est parallèle à BC et rencontre par conséquent cette droite en son point à l'infini.

Le segment compris entre les asymptotes, d'une tangente quelconque à une hyperbole, étant divisé en parties égales par son point de contact, il est facile de voir, que la seconde asymptote de notre courbe correspond au point à l'infini de la médiatrice.

Soit As le point d'intersection des deux asymptotes, ou le centre de l'hyperbole; comme BBi et CC 2 sont alors remplacées par les droites B/3',(y perpendiculaires à BC et que B$'=a tangC et C/= atangB, on a

AsB tang C( ») AjC^tangB

(♦) Dans le trapèze Bp'y'C, la diagonale AA 8 est divisée harmoniquement par B£', C/, donc le côté BC est divisé harmoniquement par A 8 et la hauteur AA'" (de ABC issue de A). On en conclut que les centres des trois hyperboles |ont les points de rencontre des côtés homologues du triangle ABC et du triangle orthique A"'B'"C" (J. N.)

En faisant coïncider A' avec le pôle A" de BC par rapport au cercle circonscrit ABC, la tangente B1C2 devient évidemment la droite de Lemoine du triangle.

Lee trois hyperboles correspondant aux trois médiatrices du triangle, sont donc inscrites dans un quadrilatère ayant pour côtés les trois côtés du triangle ABC et la droite de Lemoine de ce triangle. En vertu du théorème de Newton, leurs trois centres sont donc en ligne droite, la ligne de jonction des milieux des trois diagonales du quadrilatère. Par conséquent, si les tangentes au cercle ABC, menées aux sommets A, B. C rencontrent BC, CA, AB en A 4 , B«, C 4 , les points A S ,B S , C s et les milieux des droites AA 4 , BB«. CC 4 sont sur une même droite.

"NOTES MATHÉMATIQUES

X I. Sur une réussite. Dans n urnes numérotées de 1 à », sont placées au hasard n boules numérotées de 1 à n. De l'urne 1, on tire la boule qui s'y trouve et qui porte par exemple le numéro a; on la substitue à la boule occupant l'urne correspondante a ; cette boule portait par. exemple le numéro, J; on recommence avec la boule 5 çompe avec la boule a, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on rencontre la boule 1 que l'on place, dans l'urne 1. Cette opération terminée, le jeu eatfct réussi ai toutes les boules sont alors dans les urnes correspondantes.

Cherchons la probabilité de la réussite.

Etablissons d'abord qu'il y a des chances égales d'amener, la boule 1 au premier, au second tirage, ou à un tirage quelconque. 1 # ) Il y a une

probabilité i d'amener la boule au premier tirage. 2°) L'amener au

second tirage est un événement qui peut arriver de n — 1 manières également jwssibies, car, au premier coup, on a des chances égales d'amener un des numéros 2, 3,.... n et, de chacune de ces manières, la probabilité

d'amener 1 au second coup est - - ; on a donc, pour l'arrivée de la

boule 1 au deuxième tirage, la probabilité

3°) on démontre sans peine, de proche en proche, le lemme énoncé, lequel

ait d'ailleurs pour ainsi dire intuitif. Il est possible d'en donner d'autres démonstrations.

A présent, si Ton amène la boule 1 au n*"" tirage, on a passé par tontes les urnes et, dans ce cas, la réussite est certaine.

Il en est de même si le numéro 1 arrive au (* — l)*" coup, car une seule urne n'aura pas été visitée, et celle-là contient à coup sûr la boule correspondante.

Si 1 est amené au (» — A)"" coup, 1 urnes n'auront pas été visitées et, pour que ces urnes contiennent leurs numéros correspondants, il n'y a qu'une chance favorable sur un nombre de cas égal au nombre de permutations simples de k objets.

La probabilité totale de notre réussite est donc

La parenthèse contient les * premiers termes du développement de e. On vérifie immédiatement que la réussite est probable pour * < 6.

En pratique, on réalise les conditions de l'énoncé en alignant sur la table des cartes ou des dominos, retournés de façon à être cachés; on leur assigne mentalement un ordre dans lequel ces objets doivent se ranger, ce qui remplace le numérotage des urnes. On peut employer un jeu complet de dominos ou de cartes ou une partie déterminée (les 8 cœurs par exemple).

Le lecteur peut s'exercer à traiter la question plus complexe que voici : on tire les boules des urnes 1 et 2; on opère avec la première comme il est dit plus haut et, l'opération étant terminée, on recommence avec la boule tirée de l'urne 2. La probabilité de la réussite est alors augmentée. (M. Stuyvabrt).

*9. Substitutions monocycliques. Voici une autre solution du problème traité dans la note précédente. Convenons de désigner par le symbole

un état quelconque des urnes : les nombres de la seconde ligne sont les numéros des urnes; les nombres supérieurs, ceux des boules déposées respectivement dans ces urnes, de sorte que l'urne t contient la boule a<. Remarquons immédiatement que le nombre des états possibles des urnes

est celai des permutations des nombres 1, 2, ...» et que les colonnes du sjmbole (1) peuvent être interverties arbitrairement.

Gela posé, au lieu de déplacer les boules comme l'indique l'énoncé, il revient au même de disposer les urnes dans l'ordre suivant. L'urne 1 continue à occuper le premier rang à gauche ; si elle contient la boule b% (pour plus de facilité, nous écrivons h au lieu de ai), l'urne h sera placée au deuxième rang, si elle contient le boule b» f l'urne bt sera placée au troisième rang» et ainsi de suite jusqu'à ce que nous arrivions à une urne b P qui contient la boule 1. On aura une réussite si les urnes suivantes renferment chacune la boule ayant le numéro de l'urne ; nous convenons de placer ces urnes dans un ordre quelconque à la suite de l'urne b P .

Une réussite est donc figurée par le sjmbole

/iiia ••• b P 1 Jp+i — *»-»\ \1 ii ••• b p \bpbp+i ••• bn-i/ 9

qui représente une subsitution monocyclique; le cycle est bibi . . b P -ib P , c'est un arrangement quelconque des n — * 1 nombres 2, 3, ... n pris;» à p. Le nombre total de réussites est donc égal à celui des arrangements de n—1 nombres pris à 1 à 1, 2 à 2, ... n — 1 à n — 1 5 toutefois il faut y comprendre la substitution identique

ou la réussite sans déplacement de boule (ou d'urne), qu'on peut faire correspondre au symbole A«i,o = 1. La probabilité cherchée est donc

An l, "f" An-|,l -j- A«i,2 + ••• -t-A^l f n-l

ce qui s'accorde avec le résultat trouvé par M. Stuyvaert.

(J. Nbubbrg).

X S. Formules combinat oir es. On a, par les formules connues du calcul des différences,

A sin x = sin (0 + A) — sin = 2 sin | cos ^0 + 1^ 1 A* sin 0=» 2 sin | Acos^0+|^ = — 4 sin' | sin (0 + A), A 5 sin = — 2 8 sin 5 ^cos ^0 + y)'

en général,

A 4 sin x = 2 4 sin 4 ^ sin {x + 2*);

A tn sin a? = (— 1)»2«» sin*» - sin (0 + nh) f

A*»+' sina? = (— 1)«2»«+' sin^+^cos + Or on a, d'autre çart,

A ,n sina?=sina?— C 2 n,i sin(a-{-A)+Cii.,2 sin(0+2A) |-sin(fl?+2»A),

A ,n +' sin x = ~ sin x + C 2n+ «,i sin (x + A) — Ci»+i,s sin (a? + 2*) + ... + sin[a? + (2»+.l)A].

D'où les formules

sin x — C 2w ,i sin (s + A) + C 2 » f2 sin (a? + 2*) — ... + An(n-\-2nh) = (— l)"2 ïw sin*"|sin (x -f- nh)

êinx— C 2 »+!,i sin(a?+A)+C 2 «ai, 2 sin(aH-2A) sinl^C^^" 1 )*]

— (— l)"+»2««+' sin«»+'|cos ^+ (2<l + 1) * j.

Faisons h = 2n : les deux formules donnent, en remplaçant 2» ou 2» + 1 P** w >

sin x — Cm.i sin a? -J- C m ,2 sin a? — C m ,5 sin x -}-••• =fc sin x » 0, d'où la relation connue

1 — C m ,, + Cm,, — C m , 5 + ...±1 = 0. En faisant A = n et divisant par sin a?, on obtient

Par la substitution de ir + A à A, les formules (A) deviennent

sin tf+.Cm.i sin(a?+A)+C m<2 sin(a?+2A)+—+sin(û?+mA)

= 2 m sin m ^sin(

(•) On trouve assez facilement ces formules et beaucoup d'autres relatives aux sinus et aux cosinus, en calcul des différences, en se servant des identités

2iBinw = e xi — e~ x< > 2 cosa?= + et observant que les exponentielles ordinaires se comportent en algèbre comme les exponentielles réelles. (P. M.)

Cette dernière donne, pour x = 2*ir,

C m ,i sin k + C TO ,i «n 2* + .. . + C«, m sin mh — 2 m sin m - sin - A.

Le lecteur peut s'exercer à tirer d'autres conséquences de ces formules.

(M. Stuttabrt.)

X S. Une application de la théorie de l'inversion. Soient A, B deux points fixes et M un point variable d'une circonférence 0. On sait que l'angle AMB est constant. Si Ton transforme la figure par inversion en prenant pour pôle un point P de la circonférence 0, on trouve le théorème suivant :

On considère sur une droite donnée deux points fixes A, B et un point mobile M. Si P est un point fixe extérieur à la droite AB, les circonférences PAM, PBM se coupent sous un angle constant.

La démonstration directe de cette proposition ne présente pas de difficulté. (Orlando).

SOLUTION GÉOMÉTRIQUE DE LA QUESTION DE GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE POSÉE AU CONCOURS GÉNÉRAL DE 1899; par M. A. Gob, professeur à l'Athénée de Hasselt.

Nous démontrerons le théorème suivant qui généralise la question posée au concours général(*).

Etant données me conique {c) et deux tangentes fixes d et d' à cette conique, on décrit un cercle variable {c') tangent aux droites d et d'. Le lieu du point d'intersection des deux tangentes communes autres quedetd' aux courbes {c) et {<?) se compose des deux coniques homqfocaUs à la conique (c) et passant par le point d'intersection des droites det d'.

La démonstration de cette proposition dépend évidemment du théorème suivant : si par deux points pris à volonté sur une conique Aomo/ocale à une conique (c), on mène à la conique (c) des couples de tangentes, ces quatre droites sont tangentes à une mime circonférence.

Nous donnerons deux démonstrations de ce théorème.

(*) Voir Mathesis, 1899 (2), IX, pp. 250-252 les solutions de M. Déprez. La question est la suivante : Par un point donné sur une ellipte, on fait passer une série de cercles tangents en ce point à l'ellipse. On mène les tangentet communes aux deux courbes. Quel est le lieu de leur point de rencontre?

Première démonstration. Soient une conique (C), F l'un de ses foyers, A la directrice correspondante, et (C) une circonférence coupant la conique (C) aux points A, B, C, D, les droites AC et BD étant également inclinées sur A, on peut décrire une circonférence (C") tangente à AC et à BD aux points E et H où ces droites rencontrent A.

Transformons la figure par polaires réeiproques par rapport au point F; les lignes (C) et (C) auront pour transformées, la première une circonférence (c) ayant pour centre le pôle de A et la seconde une conique (c') ayant le point F pour foyer. Les polaires des points A, B, C, D, sont quatre tangentes communes aux courbes (c) et (c'), et les droites AC et BD ont pour pôles deux sommets opposés M et N du quadrilatère MPNQ formé par ces tangentes. Enfin les points E et H ont pour polaires les droites OM et ON ; la circonférence (C") se transforme donc en une conique (c") ayant F pour foyer et tangente aux droites OM et ON aux points M et N. Si F' est le second foyer de la conique (c'), la droite MF' étant symétrique de MF par rapport à OM, passera par le second foyer de la conique {c"). De même NF' passe par ce second foyer; ce point ejjt donc F' et les coniques (c') et (c") sont homofocales. On a donc le théorème suivant qui est équivalent au théorème énoncé plus haut :

Etant données une circonférence (c) et une conique (c') 9 on mène à ces courtes quatre tangentes communes; deux sommets opposés du quadrilatère formé par ces tangentes sont situés sur une conique (c") homofocale à la conique {c').

Deuxième démonstration. Il suffirait pour établir le théorème précédent de démontrer que l'on a MF dz MF' = NF dr NF', ce qui revient à dire que les droites MF, MF', NF, NF', sont tangentes à une même circonférence, qui doit d'ailleurs être concentrique au cercle (c) puisque les droites OM et ON sont les bissectrices des angles FMF', FNF\ Il est plus simple de démontrer la réciproque de cette proposition que Ton peut énoncer comme il suit :

Etant donné un quadrilatère circonscrit MPNQ à un cercle (C), on mène par deux sommets opposés M et N de ce quadrilatère des tangentes à un cercle concentrique au cercle (C). Deux sommets opposés F et F' du quadrilatère formé par ces tangentes sont les foyers d'une conique inscrite au quadrilatère MNPQ.

Il suffira de démontrer que les droites PF et PF', QF et QF' sont

isogonales par rapport aux angles P et Q. Transformons la figure par polaires réciproques par rapport au cercle (0). Si Ton observe que deux droites isogonales par rapport à l'un des angles M, N, P, Q ont pour polaires des points situés à égale distance du centre du cercle (0), on voit que l'on est ramené à démontrer le théorème suivant.

Soit ABCD un quadrangle inscrit dans un cercle (C). Une circonférence concentrique à la circonférence (C) coupe le côli AD aux points R et S, le côté BG aux points T et U ; les droites RT et SU rencontrent les côtés AB et P'Q' en des points symétriques par rapport aux milieux de ces côtés.

Le théorème se démontre facilement. En effet, soient a et les points de rencontre des droites RT et SU avec AB et X le point de concours des côtés AD et BG; le triangle ABX coupé par les sécantes RT et SU donne :

«B TB RX /3B UB . SX «À^TX RÂ' (3A""ÛX X SA - D'où, par multiplication,

«B iB TB.UB RX.SX «A X pA a=3 RA.SA X TX.UX^ Le second membre de cette égalité est égal à l'unité, car les points A et B étant équidistants du centre du cercle RSTU ont même puissance par rapport à ce cercle. On a donc

aB SA „ , ^ nk

s-p* dou = ^

Note. Sur la question de concours de 1899, voir dans Mathesis, 1881, (1) I, pp, 53-57, l'article intitulé : Sur un lieu géométrique (P. Ruex), avec une longue note de M. Neuberg où sont analysées ou indiquées les solutions de J. Serret, Gerono, Breton de Champ, J. Neuberg et Mister, P. Serret, le P. Lecointe, pour la question proposée ou pour la question généralisée. (P. M.)

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES- "Question 889.

(Voir Mathesis (2), III, p. 264).

Une montre a 3 aiguilles égales des heures, minutes f secondes et de mime pivot. On demande s'il viendra un moment où les S aiguilles auront leurs extrémités aux sommets Sun triangle équilatéral.

Solution par M. Emmbrich, Supposons que la chose arrive si l'aiguille des heures se trouve à X, l'aiguille des minutes à (x + 20) et l'aiguille des secondes à (x-\-40) minutes après 12 heures. On a

*:(e0» + s + 20) = l:12, x : (60*' +0 + 40) — 1 : 720 et, après l'élimination de x,

(Sn + 1) : (3»' + 2) = ] 1 : 719 = (3a + 2) : (3a' + 2).

C'est impossible, car

(3»+l)(3a'+2) = ^^3-f-2, et (3»'+2)(3a+2) = t^3 + l.

En supposant que l'aiguille des heures se trouve à x, l'aiguille des secondes à (x + 20) et l'aiguille des minutes à (x + 40) minutes après 12 heures, on trouve

(3» + 2):(3»' + l) = ll:719, également impossible. Il n'y a pas d'autres cas à distinguer.

Solution par M. J. Gillbt. Plus généralement, les points Mi, M?,, Ms de vitesses respectives v i9 Vi } v$ {Vi < v* < Vi) se mouvant sur une circonférence à partir d'une origine commune 0, et dans le même sens ; on demande s'il viendra un moment où le triangle MiMsMs sera semblable à un triangle donné AiA t A 3 .

Prenons pour origine des espaces, et soient a 5 , «i, a* les arcs soustendus par MiM 2 , M2M5, M5M1 au bout du temps cherché.

Prenons comme inconnue OMi=#; alors

OM2 = x + a 5 + 2*7r, OM 5 = x — « 2 + 2*'tt,

k et k' étant deux nombres entiers positifs ou négatifs, qu'il s'agit de déterminer.

Les espaces parcourus étant proportionnels aux vitesses, on doit avoir

Vi Vi Vi

d'où Ton déduit :

Vi — Vi V§ — Vi

pais

2*'* (t>i — Vi) — 2kn (Vi — Vi) = (Vi — Vx) «i + (v* — Vi) a». (2)

Si la quantité (t> 5 — Vi) on + {v% — a 2 est exactement divisible par 2tt, et si Vi — Vi et v% — Vi sont deux nombres entiers premiers entre eux, l'équation (2) est résoluble en nombres entiers.

* À chaque couple de valeurs de k et V correspond une valeur de x donnée par les équations (1). On a ensuite

comme réponse à la question.

En particulier, si le triangle donné AtAïAs est équilatéral, on a

2ir

poar que l'équation (2) soit résoluble en nombres entiers, on doit avoir

Cette condition n'est pas remplie si M t . Mi, M* sont les extrémités des aiguilles d'une montre; donc, etc.

Cette solution pourrait être plus explicite, quant au choix des unités de temps et de longueur. On- peut prendre pour unité de temps le temps que met l'aiguille M t à parcourir le cadran, pour unité de longueur la longueur de la circonférence du cadran. Nous laissons au lecteur le soin de modifier et de rectifier la solution de M. Gillet dans le sens qui vient d'être d'indiqué.

M. Hacken expose une autre méthode, très ingénieuse; nous regrettons que le défaut d'espace nous empêche de la reproduire.

M. Delahaye a traité le problème plus général où Tune des aiguilles est la bien sectrice de l'angle des deux autres.

Question M9.

(Voir Mathesis, (2), IV, p. 127).

Un triangle ABC se déplace de telle façon que les extrémités du côté BC qui a une langueur constante, décrivent deux courtes données et que le côté AB soit tangent à une troisième courbe donnée. On demande de construire la tangente à la trajectoire de M et de déterminer le point de contact de AC avec son enveloppe : 1° si V angle C reste constant; 2* si le côté AC a une longueur constante. (L. Meurice).

Soient BB', CC, les tangentes aux trajectoires des points B, C, et soit E le point de contact de AC avec son enveloppe. La longueur BC étant invariable, le point de concours des normales en B et C est le centre instantané de rotation de BC ; donc les vitesses BB' , CC', des points B, C sont proportionnelles à OB, OC.

1* Si l'angle C reste constant, est aussi le centre instantané de rotation 4* CÂ ; donc la projection D de sur CA est le point de contact de

CÀ avec son enveloppe. Nous pouvons maintenant déterminer les vitesses de circulation de A autour des points D, £. Celle de G étant la projection CC" de CC sur une normale à CA, nous menons C"D qui coupe en G une normale en A à AC ; de même en projetant BB' en BB" sur une normale en AB et en traçant B"E qui coupe en F la perpendiculaire élevés en A sur AB, on obtient la vitesse de circulation AF de A autour de E. Un quadrangle birectangle construit sur AG, AF détermine la vitesse AH de A.

2* Si la longueur AC est constante, nous connaissons la vitesse de glissement AK = C"C de A sur CA. La règle du quadrilatère des vitesses appliquée aux vitesses partielles AF, AE de A fait connaître la vitesse définitive AL de A. La vitesse de circulation de A considérée sur AC étant la projection AM de AL sur AG, et celle de C étant CC", la droite C"M coupe AC au point de contact P de l'enveloppe.

Autre solution. On peut fonder la solution exclusivement sur la

théorie du centre instantané de rotation; dans ce qui suit, toutes les vitesses seront portées sur des perpendiculaires à leurs directions.

1° Nous représentons les vitesses de B et C sur leurs trajectoires par BO, CO. Si la distance CA était invariable, la vitesse de A serait AO; comme il suffit de supposer encore à A une vitesse dirigée suivant CA pour tenir compte du changement de la distance CA, l'extrémité N de la vitesse effective de A est sur la droite OD perpendiculaire à AC. Si Ton conndère la droite BA comme entraînée par son point B, elle i un cantre instantané I à la rencontre de BO avec la uorjn&le en E &

ÀB. Les vitesses de B et de À, si la distance BA était constante, seraient proportionnelles à BI et AI ; celle de B étant déjà supposée égale à BO, on obtiendrait celle de A en menant à AB uneparallèleOF'(*)quicoapeAI en F'. Cette vitesse AF' se combinant avec une vitesse de A le long de BA; l'extrémité de la vitesse effective se trouve donc sur la droite F'N perpendiculaire à AN, en N à la rencontre avec DO. AN est la normale à la courbe (A).

2° On vient de voir que l'extrémité de la vitesse de A cousidérée sur la droite BA est sur NF'; supposons-là en N'. AC ayant une longueur invariable, le centre instantané de rotation de AC est à la rencontre Q des normales CO, AN' des trajectoires des points C,A et les vitesses de ces points sont proportionelles à QC, QA. Mais la vitesse de C a déjà été représentée par CO ; donc si l'on mène ON' parallèle à AC, l'extrémité de la vitesse de A est sur cette parallèle, et comme elle se trouve aussi sur NF, elle est déterminée par l'intersection'de deux droites.

(J. Neubbrg).

Question iOfM.

(Voir Matkesis, (2), VI, p. 264).

Trouver les lieux du centre, des foyers et des sommets des coniques inscrites dans un triangle donné ABJ et dont les axes ont des directions données d,d'. (DiPREz)

Solution analytique par M. Hacken. Soient

x cos <z r + y sin a r = )/a* cos* a r + b 1 sin 2 a r , (r=l,2, 3) (1)

les équations de BC, CA, AB par rapport aux axes Ox, Oy de l'une des coniques. Les angles ai, *%, a 3 sont connus, ce sont les inclinaisons des hauteurs de,. ABC sur <î; a et t sont variables.

1° Lieu du centre. Appelons d h <J 2 , $s les distances du centre à BC, CA, AB. On déduit de (1)

S} = a 2 cos Oy + 6* sin* a r j'

éliminant a 2 et J% on a pour le lieu cherché

S] cos* ai sin 2 a t

cos 2 a 2 sin 2 a 2 = 0.

cos a 5 sm 1 a s

(*) Dans la figure, F sur NN', doit être remplacé par F',

Ce lieu est une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles à 3, 3' ; car les points à l'infini sur ces directions sont des foyers de paraboles insorites à ABC et ayant un axe parallèle à S ou 3'.

2. Lieu des foyers. Soient maintenant 3 l9 3 2f 3 5 les distances d'un foyer à BC, CA, AB; de (1) on conclut

S r = e cos ay — \/a 2 cos 2 a, + sin ' "r » ou 3} — 2<î r <!cosa r — 8 2 =0. L'élimination de b et e donne pour le lieu des foyers la cubique 3] dt cos «i 1 3* dt cos a r 1 3\ 3$ cos 1

Les foyers appartenant à Taxe désigné ci-dessus par Oy vérifient l'équation

3\ 3i sin a ( 1 3* 3* sin <xt 1 3| 5 S sin ai 1

car il suffit d'intervertir les noms des axes ou de remplacer les angles ai, &2 9 oli parleurs compléments.

3° Lieu des sommets. On a maintenant :

d r = a COS OL r + |/V COS* CK. r + 6* SUl* « r ,

ou 3j! — 28 r a cos « r — b* sin 2 <z r = ;

le lieu des sommets a donc pour équation :

3\ Si cos «i sin 2 a t

(îacos 5 5 cos

ai sin 1 a 3

a 5 sin 2 <x 8

— 0, ou

3] 3 t sin cos 2 <x t 3\ 82 sin a 2 cos 2 ai 31 os sin a s cos 2 a 8

Solution géométrique par M. Jerabbck. Nous désignons par I, F, I", F" les centres des cercles inscrit et exinscrits au triangle ABC.

1° Menons une droite quelconque d parallèle à 3 et considérons-la comme axe principal d'une conique K* inscrite à ABC.

Pour trouver le centre et les foyers E, F de E 2 situés sur d, nous désignons par (Ai, A 2 ), (B,, B 3 ), (Ci, C 2 ) les points de rencontre de d avec les bissectrices (AI, AI"), (BI, BI'), (CI, CI") ; ces points se correspondent dans une involution (I) ayant pour points doubles E et F, pour point central 0. Pour construire les éléments doubles, nous projetons l'involu-

tion (AiA 2 , BiB 2 , C,C 2 ) à partir de A sur la circonférence ABC suivant l'inrolution (A',A 2 , B',B;, C;c;). Les cordes A;A',, B^B;, C;o; concourent au pôle P de la seconde involution(I'), les droites A\B' i et A',Bi, A',Bi et A' S B' 4 se coupent sur l'axe p, qui rencontre la circonférence aux points doubles e,<p de (F). Les droites Ae, A<p rencontrent d aux points cherchés E,P.

Le lieu de ces points est une cubique ; car sur toute droite d parallèle à d nous avons trois points du lieu, savoir les deux points E,F que nous venons de déterminer et le foyer à l'infini de la parabole inscrite à ABC et dont les diamètres sont parallèles à d.

Les points E,F sont aussi donnés comme points d'intersection de la droite d avec la transformée de d par inversion triangulaire. Cette transformée est une conique passant par A,B,C et par l'inverse du point à l'infini sur à. Lorsque d se transporte parallèlement à $, cette droite et sa transformée par inversion engendrent un faisceau de rayons et un faisceau de coniques qui sont projectifs. — Il résulte de là que les foyers appartiennent à une cubique circulaire. (La droite à l'infini a pour ligne inverse la circonférence ABC, de sorte que les points cycliques font partie du lieu des foyers).

2° Pour obtenir le centre sans passer par les foyers, nous construisons sur AiBi etB 2 A 2 deux triangles homothétiques L,A 1 B 1 , L 2 B 2 A 2 (LjBi parallèle à LiAi,...); la droite L t Ls coupe iau point central de l'involution (AiA„ BiB 2 , dC 2 ).

Prenons pour Li le centre I du cercle inscrit à ABC; L 2 décrit alors une ponctuelle semblable à celles des points Ai, B,, A 2 , B 2 . Par suite, le lieu du point est engendré par l'intersection des rayons homologues de deux faisceaux projectifs de rayons, dont l'un a pour sommet le point à l'infini sur S et l'autre le point I; ce lieu est donc une hyperbole H 2 dont les asymptotes sont parallèles aux directions à, 3'.

3° Désignons par S un sommet de K 2 situé sur d, et par s la tangente en S. Si Ton donne s, pour trouver d, nous cherchons d'abord le centre comme intersection de l'hyperbole H* avec la droite joignant les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les tangentes s, BC, CA, AB. Il résulte de là qu'il existe deux coniques K 2 , K£ ayant même tangente au sommet S.

Sur chaque droite s parallèle à nous trouvons ainsi deux points du lieu des sommets; mais le point à l'infini sur s est le sommet à l'infini

d'une parabole inscrite à ÀBC et dont les diamètres sont parallèles à Le lieu est donc une cubique.

M. E. N. Barisien a résolu la même question.

Pour trouver le centre de K 2 , on peut construire la symétrique d' de BC par rapport à d % pais la droite unissant les milieux des diagonales du quadrilatère formé par les quatre tangentes BC, CA, AB, d . Sur chaque droite d on trouve ainsi un centre ; mais le point à l'infini sur d ' est le centre de la parabole inscrite à ABC et dont les diamètres sont parallèles à d. Par conséquent, le lieu du centre est une conique.

Question ttee.

(Voir MathétU (2) VIII, p. 104).

a, b, c % x, y désignant des quantités complexes, si Von suppose

y = ax* + bx + c y comment construit-on le point y qui correspond à un point donné x?

Solution par M. Emmerich. Représentons les points a, b,c, x de la manière usuelle dans un système de coordonnées rectangulaires avec l'origine 0. Après avoir marqué le point 1 sur Taxe OX on construit sur Ox un triangle directement semblable au triangle Ola; le sommet sera le point ax. Par ax on mène une droite parallèle et égale à OJ, ce qui conduit au point ax + h.

En écrivant y = {ax -f- b) x + c on voit qu'il ne s'agit alors que d'une répétition en prenant ax-\-b y c au lieu de a, b.

Remarque. Si le point x décrit une droite, le point ax-\-b décrit aussi une droite, car les systèmes (x) et (ax) sont semblables et les systèmes (ax) et (ax -j- b) sont égaux. Le point x 1 décrit en général une parabole; il en est de même des points ax*, a(x — a (x — A)* -|- /*; la dernière expression peut être identifiée à ax 7 + bx -f- c.

Pour démontrer analytiquement que le point z = x* décrit une parabole, posons

2f=j?i+^ti=(fl?i -f-a? 2 <) 2 = a?* — â?J +2a?iû? 2 <» *i=x\—x\, %2=2xiX%. On en conclut

•ï-i(*«+|/*T+ïîï, 'ï-ît-fi+i/ïrHD.

Soit Ixi -f- mxi = n le lieu du point x. On a

l 2 x\ + 2lmx t X2 + m 2 x\ = n*,

(J 2 + »«) )/*\+z\ + (P — »i% + 2fot*, = 2»», (/« + (*î + *\) = (l 2 — «i 2 ) 2 %\ + 4lm (l* — m*)

+ 4Z f «i 2 f î + p*i + ?* t + r, WmH\ — 4toi (J 2 - «i 2 ) + (J 2 — «i 1 ) 2 *î = ps, + qz* + r, ce qui représente une parabole.

La même parabole sera décrite par z quand x parcourt la droite

toi + tf*0> => — n.

Lorsque * = 0, le point % décrit la droite

2lmtx = (J 1 — m*) ? 3 .

Note. On passe du point x au point x* en construisant sur Ox un triangle O00' semblable au triangle Olx. Si sont les coordonnées polaires de x, celles de 0' sont r 2 , 20; par suite, si le point x décrit une

courbe/(r, 6) = 0, l'équation du lieu de x' est f(\/r, ^0)=O.Onen conclut immédiatement que la droite

cos (0 — a) a pour transformée la parabole