cos (0— 2a) cos" ~ 5 1 v
L'intérêt principal de la question 1166 consistait à montrer que la transformation y = ax* -J- bx c, par une translation, une homothétie et une seconde translation se ramène à la transformation y ==x i .
"Question 1198.
(Voir Matkais, (2), VIII, p. 580).
Eliminer xety entre les équations
cos x -f- cos y = a, cotg -j" cot S y — *i cos ^ c x + cos * c y = c -
(Wilkinson).
Solution par M. E. N. Barisibn. La première équation s'écrit (1) 2cos^i^ cos ^ : ^= a «-
En divisant membre à membre les deux dernières, on trouve
cos — ■ —
2) sin(s + y)
* ' sin x + sin y x — y c
1 cos — - —
De (1) et (2), on tire immédiatement
x — y /âc x + y / ab (3) C08 V = V 2*' C0S "2 V*'
x-\-y x + y ^ / ab / \ ab\ sin + y) = 2 sin cos -fi - 2 ^/ ^ (1 - •
Or, la seconde équation s'écrit
b 1 sin (x + y) = b sin x sin y = - [cos (x — y) — cos (a? + y)] =
6 ( cos 2 ~ cos 2 /
En y portant les valeurs (3), on a pour résultat de l'élimination de x et y:
4J(2<j-aJ) = a(i 2 — c 2 ) 1 .
La même question a été résolue par M. M. Sintsop (Kazan), Van Dorstkn (Rotterdam), Emmerich (Mulheim) et Delahaye (Roye).
"Queitlon 1**4.
(Voir Matkesis, (2), t. IX, p 152) Calculer le rayon du cercle inscrit à un triangle ABC, en fonction des distances a, (3, y de son centre aux trois sommets.
Solution par MM. E. N. Barisien, Dbprez et Delahaye (Roye). Si r est le rayon du cercle inscrit, on a
a) "s-r 8111 rr
Or, de ce que - -\ 1 — = 90°. il résulte la relation
sin 2 ^ + sin 2 ^ + sin 2 g + 2 sin - sin ^ sin ^ — 1 .
En y portant les valeurs (1), il vient
Le rayon r dépend donc de l'équation (2) qui est du troisième degré. La condition de réalité des trois racines est
elle est toujours vérifiée, puisque la moyenne arithmétique de trois nombres est supérieure ou égale à la moyenne géométrique. L'équation (2) ayant une seule variation, admet une racine positive et deux racines négatives.
Remarque. Soit maintenant p le rayon du cercle exinscrit dans l'angle A. Si a, (3, y désignent encore les distances du centre de ce cercle aux trois sommets, on a
avec la relation
. A . B . C . A B C, sm 2 — + cos 2 - + cos 2-2sin-coB-cos-«l;
de sorte que l'équation qui donne p s'écrit
p 5 \a 1 " r P lT y\/ p
C'est l'équation (2) où r est remplacé par — p ; donc une racine négative de (2) correspond à un cercle exinscrit. Solution par M. Clavero y Gubrvos. On a
p — a = l/a* — r*, p — b = — r\ p — e = [/y i d'où, par addition et par multiplication,
(P -«)(?-*) (P - c) = J/V - (P 2 - r 2 ) (y 4 - r 2 ). On sait que
donc l'équation cherchée est
r*(}/a*—r* + y/f' — r* + Vy*^ r 2 ) — {/(*'— r") (fi*— r*) r»), ou, sous forme rationnelle,
Solutions par M. Emmbrich. I e I désignant le centre dn cercle inscrit, et Ai, Bi, Ci les points de contact des côtés avec ce cercle, la surface BIG a pour expressions
-ar et -fysinBIC = - |3y cos-«-/3y*-— ; on en conclut
aar*=(ïy(p — a),
fiy
ou — «) — « (? — *)— « (? — C) = 0.
Entre cette équation et les deux analogues, éliminons p — a 9 p — î, jp — etc.
2° Si l'on appelle A, fx, y les angles BIA 4 , CIBi, AICi, on a X + -J- y = 7r, d'où
1 — cos* A — cos 1 (i — cos 1 v — 2 cos À cos p cos v = 0.
Or
COS A = -f C0SU = 5t cos v = - ;
substituons ces valeurs, etc.
Cette solution est immédiatement applicable au triangle sphérique; on trouve
cot 5 r — cot r. 2 cot 1 a — 2 cot a cos {3 cot y = 0.
L'équation trouvée par M. Clavbro t Guebvos se décompose dans les deux équations de la première solution.
'QUESTIONS D'EXAMEN
•JM. Etant donnée la fraction — : 1* Trouver les nombres entiers
a, b, c... tels que l'on ait m
2° Chercher la condition nécessaire et suffisante pour que le second membre de cette égalité se compose d'un nombre limité de termes. 3 9 Cette condition étant remplie, quel sera le nombre des fractions à calculer ?
(Agrégation de renseignement secondaire des jeunes filles, 1898).
La question revient à transporter dans le système à base 15 la théorie des fractions décimales.
993. On donne deux triangles ABC, A'B'C. Si le point M est tel que MA, MB, MC coupent respectivement B'C, C'A', A'B' en trois points Ai, Bi, Ci en ligne droite, inversement MA', MB', MC couperont respectivement BC, CA, AB en trois points A„ B 2 , Ci également en ligne droite. (Journal de Vuitert).
On a :
B'Aj B'AM C'Bt C'BM A'Ci A'CM BA, BA'M (^""C'AM' AB^A^ B'C.^B'CM 5 CA,~~C 7 ÀM , ""
Faisons le produit des trois premières égalités, puis celui des trois dernières, etc. 9ft4. On donne un parallélogramme ABBiC; sur BB ( on porte des longueurs B,B* = B a B s = B 8 B 4 ,.,. égales à BBi. Une droite quelconque menée par C rencontre les droites AB, AB t , AB 2 , AB f , etc., aux points
