AB BE AB CF BF __ BC CG OA CA
£ ~~ ^~ js y """y — P " ~~ y """« + ?
Par conséquent
BFG 2«/9y
ABC (a + y)(«-/3)(y-
OU
Bn combinant cette relation avec les égalités
z bc a cd
Q ad+bc Q àb + cd on retrouve la première des formules proposées.
Voici une démonstration analytique de la formule (5). Soient ia t% y t ) (x u y % ), (^sj^s)» (^4>y*) ^ es coordonnées rectangulaires des points A, B, C, D. Oo peut toujours poser
ou plus symétriquement
«•1 yi +m 2 y, + «i 3 y3 + *»iy«=0, / (6) m 4 -f m t + «f 5 + fw 4 =0. )
Ce système homogène en tn l% m s , m 4 montre qu'on peut prendre pour fftj , m 2% m 3 , m k les valeurs a, — p, y, — <î, où a, /s, y, $ désignent comme ci-dessus les aires BCD, CD A, DAB, ABC.
Des formules (6), on déduit
les premiers membres représentent les coordonnées d'un certain point de la droite AB, et les seconds celles d'un point de la droite CA; par suite, on a pour chacune des coordonnées du point B deux expressions. On trouvera de la même manière des expressions poar les coordonnées des points F et G.
Si l'on désigne le produit (m, +m t ) ym t + » 5 ) (m f + m s ) par /i, on pourra écrire
m x x { -f m l x 2 m x y i -\-m 2 y 2 m l m 2 2^T= m i x i +m 5 x 5 m x y x +m- a y z 0t,-fw 3
En introduisant à gauche la colonne 1, 1, 1, puis en haut la ligne — 1, 1, 1, 1, on trouve aisément
Enfin, en remarquant que les mineurs relatifs à la première colonne sont égaux à 2«, — 2/3, 2y, - 2$, on obtient (J. N.)
"Question f *3<».
(Voir Mathesù, (2), t. IX, p. 216).
£t tfaftj an triangle, la droit* d'Euler est parallèle à un des côtés, le triangle orthique a ses côtés en progression anthmétiqu*. (Droz Farny.) Solution par M. J. Déprbz. Soient A', B', C, les pieds des hauteurs
du triangle ABC; supposons que la droite d'Euler du triangle soit parailèlle au côté BC. On a AH — 2R cos A, pt l'angle AOH = B — C, d'où la relation cos (B — C) *= 2 cos A.
On a aussi
B'C = R sin 2A, CA'.= R sin 2B, A'B' = R sin 2C ;
dès lors,
A'C + B'A' = 2R sin A cos (A — C) f
et oomme
cos (B — C) = 2cos A,
on a
A'C -f B'A' = 2R tin 2A = 2C'B'.
Remarques : I. L'axe orthique du triangle ABC est perpendiculaire au câié BC.
