III. On a aussi : AA' 2 = 3 A'C X A'B

IV. Le rayon du cercle inscrit dans le triangle A'B'C vaut le tiers de la hauteur issue de A' dans le même triangle.

V. 0, H, 9 étant respectivement le centre du cercle circonscrit au triangle ABC, Vorthocentre et le centre du cercle des neuf points du même triangle, on a :

A0B+A0C = 2B0C f AHB + AHC = 2 BHC, A0«B + A0 9 C = 2 BO9C.

VI. Si Ho est le réciproque de Vorthocentre du triangle ABC, on a :

AHoB ~ l ~AH C~~BHoC

VII. Les angles du triangle ABC satisfont aux relations suivantes :

cos (B — C) = 2cos A; 2 cos B cos C = cos A ; 2sinBsinC = 3cosA; tgBtgC = 3; tgB-J-tg C s =2tgA; sin 2B + sin 2C = 2 sin 2A.

M. M. Bmmsrich, Soons/Lbmoink et Delahate ont résolu la même question.

QUESTIONS D'&XÀMEN.

•35. D'un point donné P on mène deux tangentes p\ , p% à une ellipse donnée; soient q t , q% les tangentes menées d'un second point Q. Le lieu d'un point Q tel que les droites p tf gi, p 2 , soient les côtés d'un quadrilatère inscriptible à un cercle est une hyperbole équilatère passant par P et par les quatre foyers, réels ou imaginaires, de l'ellipse donnée.

(Malo.)

Si l'on prend l'équation d'une tangente sous la forme y = mx ± y** *** -f 6*, les coefficients angulaires (m i9 m % ) des tangentes issues du point P (a, /s) sont racines de

et les coefficients (* 4 , fi 2 ) des tangentes menée* du point Q (x 9 y) sont racines de n* (a?» — •*) — 2nœy + y* — = 0.

La condition du problème donne

=: » etc.

•SU. Démontrer que la relation

a* — ho , — ca . c* — ai

entraîne la suivante

a \ & . c q a* — te*"** — ca*c % — ab~~ ' (Nanson.)

Cela revient k dire que si l'on chasse les dénominateurs, le premier membre de la seconde équation est divisible par celui de la première équation.

939. Les circonférences décrites sur les côtés BC, CB, ABd'un triangle acutangle ABC comme diamètres rencontrent respectivement les hauteurs AA', BB', CC aux points (Ai, A 2 ), (B,, B*), (Ci, C 2 ). Démontrer que les quadrilatères BidBtCa, CiAiCjA*, AiBiA s B 2 sont inscriptibles, les centres des circonférences circonscrites étant respectivement A, B, C. Les rayons de ces cercles sont égaux à

j/fcccosA, j/cacosB, |/aJcosC; H en est le centre radical et sa puissance par rapport aux trois cercles est égale à

4R' cos A cos B cos C.

Les surfaces des quadrilatères BiC ( B 2 C 2 , C f A|C 2 A 3 , A|B|A 2 B S ont pour expressions

4R* sin* A cos Al/sin 2B sin 2C, (A. C.)

QUESTIONS PROPOSÉES

f £01. Soient J, m, n les projections d'une longueur donnée MM' sur les trois côtés d'un triangle ABC. Quelle orientation faut-il donner à MM' pour que mn -f- *ï + ^ soit maximum ou minimum? (E. Lemoine).

1909. On considère un cercle 0, un diamètre fixe AB de ce cercle, et un cercle 0' tangent intérieurement au cercle en A. Soit PQ une corde variable du cercle qui est tangente au cercle 0'. Montrer que :

1° Les lieux du centre de gravité et de l'orthocentre des triangles APQ et BPQ sont des limaçons de Pascal.

2° Le lieu du centre du cercle inscrit au triangle APQ est un cercle.

3° Trouver le lieu des centres des cercles exinscrits au triangle APQ.

(E. N. Barisjen.)

t£0S. Démontrer la formule :

Cm,» désigne le nombre des combinaisons de m objets, n à n; le dernier terme du premier membre est C±(m+\),±(m-i) ou C« Wf i w , suivant que m est impair ou pair; u m est le (m + ly terme de la suite de Fibonacci,

OÙ Uo = 0, Ui = 1. (BOUTIN.)

X 1M4. Les symétriques des côtés AB. BC, CA d'un triangle respectivement par rapport aux côtés BC, CA, AB forment un nouveau triangle A'B'C. Si R, R' désignent les rayons des cercles circonscrits aux deux triangles ABC, A'B'C, démontrer que

R' sin A sin B sin C -f- sin 2A sin 2B sin 2C ït ~ sin A' sin B' sin C "

Les triangles ABC, A'B'C ne sont homologiques que lorsqu'ils sont équilatéraux. (J. Neubkrg).

"SUR LA REPRÉSENTATION PROPORTIONNELLE ; par M. J. Wasteels, profesiear à l'Athénée royal de Oand.

t. Soient a, 5, e 9 etc. les chiffres électoraux des différentes listes, c'est-à-dire les nombres de bulletins valables favorables à chacune d'elles ; soit * le nombre de sièges à répartir entre ces listes.

Pour faire le partage des sièges d'après la loi belge, on considère les séries de nombres

et l'on compose une suite de n termes en prenant les n nombres les plus grands parmi ceux des séries (1), (2), (3),... Soient^» les derniers nombres des séries (1), (2), (3),... qu'il a fallu employer. Alors, p siégea reyiennent à La 1 M liste, q à la 2% r à la 3% etc.

Il peut arriver qu'en rangeant par ordre de valeurs décroissantes les termes des séries (1), (2), (3), etc., après avoir écrit (n — t) termes, il y ait, parmi ceux qui restent, plus de t termes de même valeur, de sorte qu'il y ait du doute au sujet des t derniers termes à prendre. La loi indique la règle d'après laquelle on détermine alors ces t termes.

*. Nous nous proposons d'étudier la signification des nombres p t ç,r f de sièges qui reviennent à chaque liste.

S. Considérons d'abord le cas où il existe dans les séries(l), (2), (3),. n termes plus grands que tous les autres termes.

Alors, ~» étant les derniers termes de ces séries Qu'il faut P î r

employer, on a les inégalités :

? Î> + 1 f ' + 1 c ^ a c b :>r-rr' - >

Prenons la terme général du développement de (a -J- b e + ••••)•• Ce tanne est

avec la condition « + j3-l-y + ... = «.

Cherchons les valeurs de a, (3. y,... pour lesquelles ce terme est maximum; ces valeurs sont les mêmes que celles qui rendent maximum le produit

a* $ fi

ou bien

fx| X ...xî X ^|x...x|xix|x...xîx.. (5)

Or, ce dernier produit est le plus grand possible, si a = p 9 |3 = y = r,...

En effet, pour passer du produit

a a a b b bec c

fx|x-X^X i X § X...X*-X ï C x|x...X-^- (6)

à l'un des autres produits représentés par l'expression (5), il faut supprimer certains facteurs et introduire un même nombre d'autres facteurs,

par exemple, supprimer - ou - et — et introduire — ^ — ou ^

et — - ; mais d'après les inégalités (4), les facteurs supprimés seront

plus grands que ceux que l'on introduit, de sorte que le nouveau produit sera plus petit que (6).

Il résulta de ce qui précède que * — &b*cr ... est le terme le

plus grand du développement de (a -f- b + e + •••)*•

4. Supposons que les listes en présence représentent tous les partis de la circonscription électorale et que les nombres d'adhérents de chaque parti soient proportionnels aux chiffres électoraux a, b 9 e f ...

Alors,

* * « c ~ = A, ssB, - «C, etc.

expriment les probabilités qu'en prenant an hasard un habitant de la circonscription électorale, ce sera un partisan de la 1" liste, de la 2°, de la 3% etc.

Cherchons maintenant la probabilité qu'en prenant au hasard * habitants de la circonscription électorale pour composer la députation, il s'en trouve a partisans de la 1" liste, (3 partisans de la 2% y partisans de la 3% etc. Nous trouvons

P a .Pp.P Y ... Pa.Pp.PY-. (a+b + c+—)*

Cette probabilité est donc la plus grande possible, si et = p f |3 = q, y = r... •

Donc, en prenant de toutes les manières une députation de n habitants et en cherchant chaque fois de combien d'adhérents de chaque parti elle est composée, on voit que la députation que l'on rencontrera le plus souvent sera celle dans laquelle il y ap partisans de la 1™ liste, q de la 2° liste, r de la 3 e , etc.

5. Considérons maintenant le cas où il est impossible de trouver dans les séries (1), (2), (3), . .. n termes plus grands que tous les autres.

abc

Supposons, par exemple, que -==-«=- et qu'il y a dans les séries (1),

(2), (3) ... n — 2 termes plus grands que - •

Soient - et - les termes qu'il faut y ajouter pour avoir les n termes P t

voulus, de sorte que les termes des séries (1), (2), (3) ... qu'il faut employer sont

Dana ce cas, on tcouTerait, en raisonnant comme précédemment, que

dans la développement de (a + i + c + • • •)% il 7 a 3 termea égaux :

Pp . P f • P r -I ••• Pp— I • Pg • Pi

Pp • Pg | . Pr

plus grands que tous les autres termes.

Considérons maintenant la probabilité qu'en prenant au hasard » habitants de la circonscription électorale, il se trouve a partisans de la !• liste, (3 partisans de la 2% y partisans de la 3% etc. On voit qu'elle est la même pour chacun des 3 systèmes :

*=P ~ h P=*tf y = *>

mais qu'elle est plus petite pour tous les autres systèmes de valeurs de

Donc, la députation formée de p adhérents de la 1* liste, q de la 2% r — 1 de la 3% etc. est encore telle qu'il n'en existe pas que l'on rencontre plus souvent, en prenant au hasard n habitante de la circonscription ; mais il en existe 2 autres que Ton rencontre aussi souvent.

En général, s'il y a T fractions égales à i et s'il ne faut en prendre que I, Il J • Cl)< ,T(T-l)(T-2)...(T- <+ l) àépumoBB ^

lesquelles la probabilité est la même et plus grande que pour les autres députations.

SUR LES TRIANGLES QUI SONT INSCRITS BANS UNE ELLIPSE ET CIRCONSCRITS A UN CERCLE CONCENTRIQUE ; par M. B* Babisibn.

(Suite, voir Matkisis, (2), IX, p. 269).

M. Lieu de l'orthocentre du triangle ABC. L'aire de ce lieu est l'expression U de (42), dans laquelle