SUR LA DÉVELOPPANTE DE CERCLE ET LA SPIRALE LOGARITHMIQUE
par M. Lucien Oblando, à Tarin.
I. Considérons une développante de cercle ABB', engendrée par l'extrémité A d'un fil primitivement enroulé sur la circonférence AKI et qu'on déroule ensuite. A un certain moment, le fil se détache suivant la tangente CB 飻le à l'arc CA. On sait que CB est le rayon de courbure
de la développante; la tangente BH
SI est donc perpendiculaire à CB.
^fyM Nous prenons le rayon OA pour
■ unité et nous désignons l'arc AC par ;
BiWSÈ I ai ° rscB = e ( Fi &- La podaire de par rapport à la Wjjtm M développante ABB' est une spirale
II d'Arckimède (*). En effet, si l'on pro- I jette en H sur la tangente Bu et qu'on mène le diamètre El perpendiculaire à OA, on aOH« arc AC = Fig ' 1# arc 1M, de sorte que l'équation du
lieu (H) par rapport à l'axe polaire 01 est r « 8.
II. Faisons rouler sur la développante de cercle AB une autre développante A'B égale à la première, les points de rebroussement étant en coïncidence à l'origine du mouvement. Si les deux courbes se touchent actuellement en B, la position correspondante du cercle directeur de la courbe mobile est le cercle D symétrique du cercle par rapport à la tangente commune Bu.
Il résulte de ce qui précède que le centre D engendre une spirale d'Archimède, ayant pour équation r = 20, si l'axe polaire est 01.
La normale à la courbe (D) est DB. Le cercle D enveloppe une courbe parallèle à la spirale d'Archimède ; ses points de contact avec l'enveloppe sont les extrémités F, G du diamètre DB.
(*) Ce théorème, d'après le Répertoire de M. Brocard, t II, p. 167, est attribué à Clairaut (Mém. de l'Ac. des Sciences, 1740).
III. Cherchons l'arc AB = * de la développante. Si Ton donne à l'accroissement infiniment petit <?0 = CC, $ éprouve l'accroissement ds mm BB' = CBdO « OdB ; donc s = i 6 1 .
Cela posé, faisons rouler la courbe AB sur une droite ut*. Soit &> la position du point de rebroussement A quand il se trouve sur la base <ùu ; noue aurons wB = AB=»je 1 = iBC\ Par conséquent, quand une développante roulé sur une droite^ le centre de courbure au point de contact des deux lignes décrit une parabole(*) ; car coB, BC sont les coordonnées rectangulaires de B.
Le centre décrit également une parabole; celle-ci a pour équation y* = 2w — 1.
I. Considérons une spirale logarithmique AB, de pôle (flg. 2). Menons la tangente BH au point B et la perpendiculaire OC au rayon
vecteur, qui rencontre la normale au centre de courbure C. Soit H la projection de sur la tangente.
Lapodaire du pâle d'une spirale logarithmique est une seconde spirale logarithmique. En effet, l'angle OBH étant constant, le triangle OHB est toujours semblable à lui-même. Donc si U désigne OBH, on passe de la spirale AB à la podaire (H) en faisant tourner la spirale de l'angle U et en modifiant ses rayons vecteurs dans le rapport sin U : 1.
(*) Cette propriété est la traduction géométrique de l'équation intrinsèque de la développante p? = 2s t p étant le rayon de courbure à l'extrémité de l'arc « (Voir B.>Cb8aro> Lezùmi di Qeometrica intrinseca). Elle a déjà été signalée.
II. Faisons rouler sur la spirale AB une spirale égale A'B de manière que des points correspondants viennent toujours en coïncidence. Si B est le point de contact actuel des deux courbes, le pôle O' de la spirale mobile est le symétrique de O par rapport à la tangente commune HB; ce point décrit une spirale logarithmique, car le milieu H de 00' décrit une telle courbe.
Le centre de courbure C de la ligne roulante s'obtient en prolongeant le rayon de courbure GB de la ligne fixe d'une quantité égale. Le triangle OBC restant toujours semblable à lui-même (l'angle OBC et le rapport BO : OC sont invariables), le point C décrit une spirale logarithmique.
III. Faisons rouler un angle constant BDE sur la spirale logarithmique. L'angle BOC restant constant, le rapport OE : OD est invariable; par suite le quadrilatère OBDE est toujours semblable à lui-même, et il en est de même du triangle BOD. Il résulte de là que le sommet d'un angle constant circonscrit à une spirale logarithmique décrit également une spirale logarithmique.
IV. Soit Y le point de rencontre des normales en B et E ; c'est le centre instantané de rotation de l'angle mobile BDE. YD est donc la normale à la spirale (D'). Les angles OED, OBH étant égaux, le quadrilatère OEDB est inscriptible; YD étant un diamètre de la circonférence circonscrite, celle-ci touche la spirale (D). Ainsi, la circonférence qui passe par le pâle tune spirale et par les extrémités de deux rayons vecteurs variables, OB et OE, qui font un angle constant, est tangente à la spirale logarithmique. La corde BE enveloppe une spirale logarithmique; o'est ce qu'on voit en transformant par inversion la circonférence OBDE.
ESQUISSE BIOGRAPHIQUE F. Briotchi (13*4-1399).
François Brioschi, né à Milan, le 22 décembre 1824, mort dans cette ville, le 13 décembre 1897, était le plus éminent des géomètres de l'Italie. Pendant pins de quarante ans, ses travaux se sont succédé sans interruption, embrassant les diverses branches des mathématiques pures et appliquées.
A ses déouts, il publie dans les Anniles de Tortolini, des recherches sur le problème des trois eorps. la variation des constantes arbitraires en Mécanique, l'hydrodynamique, etc. Il devient ensuite directeur des Annahdi métematéea qui continuent le journal de Tortolini et publie là ou ailleurs une foule de travaux sur
les sujets les plus Taries : théorie des lignes de courbure, surfaces à lignes de courbure planes ou sphériques, lignes géodésiques, tangentes doubles des courbes du; quatrième ordre ayant un point double; équations aux dérivées partielles du 1 er et du 2 d ordre ; déterminants gauches, déterminants de la transformation des fonctions abéliennes, interpolation, fonctions de Sturm ; théorie générale des formes algébriques, où il se montre le digne collaborateur de Sylvester et de Cayley.
Mais il faut citer surtout cette partie importante des recherches de Brioschi « où l'Algèbre se joint à la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes, et qui conduisent à la résolution des équations du cinquième et du sixième degré. Son talent s'y montre avec éclat, il jette une complète lumière sur les propriétés cachées de l'équation de Jacobi qui détermine le multiplicateur au. moyen du module danB la transformation du cinquième ordre ; il donne le secret de la résolution de l'équation du cinquième degré qu'en a tirée Eronecker, et que l'illustre géomètre avait communiquée à notre Académie, sans démontrer son beau résultat.
« Pour l'équation du sixième degré, la voie suivie est tout autre. On sort du domaine des fonctions elliptiques et il est fait appel aux transcendantes plus élevées qui naissent de l'inversion des intégrales hyperelliptiques de première classe. On emploie les fonctions de deux variables analogues à la transcendante thêta de Jacobi, et parmi elles les dix expressions qui, étant des fonctions paires, ne s'évanouissent pas pour les valeurs nulles des arguments. Ce sont les quantités au moyen desquelles sont représentées les racines et qui donnent la résolution de l'équation du sixième degré, grande et belle découverte qui a été le couronnement de la carrière mathématique de Brioschi. »
Brioschi appartenait à la plupart des Académies et Sociétés savantes de l'Europe et de l'Amérique; il a été comblé d'honneurs et de dignités dans son pays; les plus hautes distinctions, les grandes situations qu'il a occupées Pont toujours laissé simple et modeste (D'après Hbrmitb, Notice sur F. Briotchi, C. R., CXXV, pp. 1139-1141 ; W décembre 1897).
SUR LES TRIANGLES QUI SONT INSCRITS DANS UNE ELLIPSE ET CIRCONSCRITS A UN CERCLE CONCENTRIQUE;
par M. E. Barisien.
(Suite ; voir Mathesis, (2), X, p. 84).
•ft. Lieu de la projection de sur la parallèle à B'"C" menée par À"' :
& a (fl' + y 2 ) 3 laW + Vy % ) = (aW + b Y) u > U (« 2 + i*) (a 2 + 5 2 + aby — 2tt (a 2 + b 2 ) — nab.
M. Le» bisseetriees extérieures du triangle ABC enveloppent lfaitipotore du centre de l'ellipse (courbe de Talbot), dont Faire est
•T. La perpendiculaire au milieu de BC et la perpendiculaire au milieu de B'"C" se coupent sur la courbe
M. Lieu de la projection de sur la perpendiculaire au milieu de BC: {x 3 +y*)> + a*y 2 )* = *R**Y ; U = 7rà6 (^q^)"-
M. Lieu de la projection de sur la perpendiculaire au milieu de B'"C" :
90. Lieu du point de rencontre de la perpendiculaire au milieu de BC, avec la droite OA :
91. La perpendiculaire à B" f C" au milieu de B'"C" coupe la droite OA' sur la quartique
99. Lieu du point de rencontre de la perpendiculaire au milieu de B'"C" avec la droite OA :
Cette courbe est la podaire du centre de l'ellipse
9S. Lieu de la projection de sur la droite qui unit les milieux de
BC et B'"C" :
74. Lieu du point de renoontre de OA avec la droite qui trait le milieu de BC au milieu de B'"C" :
podaire du centre d'une ellipse.
96. Lieu du point de recontre de OA' avec la droite qui unit les milieux de BC et B'"C":
96. Le lieu du point de recontre des droites ÀÀ"', BB'", CC" est une oourbe unicursale du genre des courbes (58).
37rqft(g — hy s=a {2a + b)(2b + a)* 99. Lieu des milieux des eôtés du triangle A"'fi"'C" :
(IV + a*y*) % « «V (»V + «V); U —5<« a +
