En partant des équations de la tangente et de la normale
ffX , yY fl 2 X 4*Y s ÏT + x ~ y
(*) Dans les Mathemutiseh-naturtvissenseàaftliche Mitteilungen éditées par les D" O. Boklen et B. Wôlffling (octobre 1899), M. Boklen a publié un premier article 8ur le théorème de Fagnano et un second Sur les eereles de Chas Us Ce dernier commente quelques propositions de MM. Barisien et Droz Farny (Mat huis, J 1895, 1896 et 1898) et en donne une extension à L*ellipsoide. Nous avons profité de ces articles pour retoucher légèrement le travail de M. Andrien, qui nous a été remis ayant réception de la livraison d'octobre de la reyue allemande. (J. N.)
on trouve aisément
ôd* ""«• »•' ôë*""« y*
L'égalité OE = OB' ou MD = M'D' donne «♦(a»*— *") , * 4 (y*— y")
' yV*
Si, dans la différence y* — y' 1 , on introduit les râleurs .on obtient la relation remarquable
xsf yy' y V
—t = -ït> ou • (5)
a % b* x ri a*
Dono le produit des coefficients angulaires des diamètres aboutissant à deux points associés est constant; autrement dit, les diamètres OM. OM' se correspondent dans une involution dont Om est un rayon double.
Si l'on désigne par a, a! les angles aigus que font les tangentes MT, M'T" avec Faxe OA f on a
b*x . iV d'où, en tenant compte de l'égalité (5),
tgatga'=-. (5') a
Appelons y if y\ les ordonnées du cercle principal qui correspondent aux abscisses 0, ri ; on pourra écrire
5F-V oa < 5 ">
si (3, désignent les angles de OA avec les rayons des points correspondants des cercles. La relation (5") se prête facilement à une détermination des points M, M'.
De l'équation (5) on déduit, pour le point de Pagnano,
&yl w+«y 1
de forte que les coordonnées de m sont
9. Portons les valeurs (4) dans la relation (5); il vient a* (a 7 — **)(** — x») = Px*x'\ ,
ou
cW J — a* + s' 1 ) + a 6 = 0, (6)
et, par analogie,
c'y y 2 + ft* (y 1 + y") — J 6 = 0. (7) L'égalité (6) peut prendre la forme
celle-ci exprime que Z* produit des rayons vecteurs de deux points associés quelconques est constant.
Si l'on fait x' = x, y' = y, les équations (6) et (7) donnent pour le point m
•—s/ih* air 5
mais il faut rejeter les dénominateurs a — J, b — a, qui donnent pour x une valeur plus grande que a, et pour y une valeur imaginaire. S. On a
a» \« , " t >/ a* ~~ a» "r" &• ' par suite, la formule (8) peut s'écrire
Il en résulte
OD.OD'==a&.
D'après un théorème d'Apollonius,
OQ.OD = OQ\ OD' = aJ;
donc, on a aussi
OQ.OQ'=*ab.
Enfin, les rayons de courbure p,p'aux points M, M' ont pour expression
P ~"~OD 9 P 5=3 ÔD~' 5 ces égalités combinées avec les précédentes donnent pp' =» ab. Voici d'autres relations du même genre empruntées à M. BOklen :
MN.MW--, MP.M'P'«?;
MT . M'T" = t\ MS . M' S' = a\ DT . DT' = a\ DS . D'S' = b\
4. Dans les relations précédentes, faisons coïncider deux points associés M, M' avec le point de Fagnano; nous aurons les égalités suivantes
Oq = Oif= p = j/ai = [/mF. mF' r ^^y/? ^ = y/ y > mt=d$=*b, m$ = dt=a.
On yoit que le cercle osculateur au point de Fagnano est équivalent à l'ellipse et a pour centre la projection de sur la normale.
6. Lorsqu'un point parcourt le quadrant d'ellipse AB, la distance de la normale en ce point au centre part de la valeur pour revenir à la valeur 0, et elle passe par la même valeur en deux points associés; par suite elle passe par un maximum au point de Fagnano. Un calcul très simple conduit à la même conclusion. Car en multipliant membre à membre les égalités
JL a l\J k î — X 1aJL 5fî ,^ÏS V~t"y 5, a 2 '■> ,
on trouve
et comme les deux derniers termes ont un produit constant a*b* 9 le minimum de leur somme et, par suite, le maximum de OE ont lieu quand ces termes sont égaux à ab. On retrouve ainsi l'égalité (5); ensuite
— =a* b 9 + 2ab> Oe =» md a — b.
Oe
a* V 6. Des valeurs QT = — > ( OS = - $ on conclut * y
OË*
Par conséquent, en deux points associés on a TS = T'Sj et un minimum de TS, égal à a -\- b, se produit au point de Fagnano.
Gomme on a mt = b 9 ms « a, on voit que si la droite st glisse entre les axes OA, OB, le point m, supposé fixe sur oette droite engendre l'ellipse ABA'B', et que le point de Fagnano correspond à la position où la droite devient tangente à l'ellipse.
On sait que la normale à la courbe passe par le quatrième sommet ; du rectangle construit sur les côtés 0*, 01; donc, au point de Fagnano, tnj est perpendiculaire à st.
L'enveloppe de la droite mobile st est une hypocydoïde dont le point de contact est la projection de / sur st; ce point est donc le point de Fagnano de l'ellipse qu'il engendrerait s'il restait fixe sur st.
Enfin, si Ton demande de mener par un point donné m une droite dont le segment st intercepté entre deux axes rectangulaires OA, OB soit un minimum 9 la droite cherchée est la tangente au point m de l'ellipse dont les axes sont parallèles à OA, OB et dont m est le point de Fagnano. Pour le démontrer géométriquement, nous reproduisons un raisonnement bien connu. Si st, s't' désignent deux droites de même longueur menées par m, les perpendiculaires élevées aux milieux des droites ss' f tV se rencontrent en un point E tel que les deux triangles Kst, YLs't' sont égaux, et Km est sur la bissectrice de l'angle smV . Les deux droites st, s'f peuvent se rapprocher indéfiniment l'une de l'autre et ont pour limite commune la droite minimum menée par m; on en conclut que les perpendiculaires élevées en s sur OA, en I sur OB et en m sur st doivent concourir en un même point.
De ce qui précède, on déduit les théorèmes suivants :
Si Ton considère toute* les ellipses pour lesquelles a — 6 est constant, le lieu du centre de courbure au point de Fagnano est le cercle de Chasles de rayon a — b.
Si Von considère toutes les ellipses de mime surface, la tangente au point dé Fagnano enveloppe une circonférence de antre et de rayon\/ab.
