HT
/cos0 . sin0\ doù fl ^ + r j = l
On trouve de même b x et Ci. Quant au déterminant, il ne parait pas susceptible de simplification.
4° Si Ton donne les points B, C, Ai, menons par Ai les deux droites qui font avec la droite BC l'angle 0; nous aurons les demi-diagonales du rectat gle de centre A<, et il sera facile d'achever la figure.
Si l'on donne les points A, B, Ai, le sommet M du rectangle (opposé à P) est déterminé par l'intersection de la symétrique de la droite AB par rapport à Ai, avec l'arc du segment capable de l'angle décrit sur A|Ô.
Note. MM. Emmerich et Déprez ont résolu la même question dans l'hypothèse où = 45°. Dana le calcul de l'aire A|B<C|, ils rencontrent le déterminant
1 sin B -f- cos B
sin C 4- cos C sin A -J- cos A sin B + cos B 1
qui se réduit à 4 cos A cos B cos C.
Le déterminant considéré par M. Gérard se ramène à
2 sin A sin B sin C sin 8 (cot 8 — cot + 2 cot A cot B cot C). L'aire AiBid s'annule et les points Ai ,B| «Ci sont en ligne droite lorsque
cot 8 — cot + 2 cot A cot B cotC = 0.
Cette équation, de la forme x 5 + ^ + ?=»û t rentre dans le cas
irréductible; elle a donc trois racines réelles distinctes, excepté dans le
cas du triangle équilatéral qui admet une racine double —-(Ai, B t , Ci
sont alors oonfondus avec le centre du triangle) et une racine simple
— » laquelle rendrait les diagonales d'un rectangle parallèles à un
côté sur lequel se trouverait une de leurs extrémités.
On sait que les points Ai, Bi, Ci glissent sur les droites A 'A", B'B", C'C" qui joignent les milieux A', B t ' C des côtés de ABC aux milieux A", B", C" des hauteurs correspondantes et concourent au point dé LemoineK. Comme les droites CA,, CBi sont isogonales, les points Ai, Bi décrivent deux ponctuelles homographiques ; par suite, la droite A|B 4 enveloppe une conique Uc tangente aux droites A 'A", B'B" aux points qui sont les homologues de K; ces points sont sur la médiane CC Les droites CAi, CBi peuvent coïncider avec les bissectrices de l'angle C, ces bissectrices sont donc des tangentes de U c . Il est facile de construire les tangentes parallèles à A' A", B'B", et d'en dé luire le centre de U t> etc. Les droites BiC,, Ci Ai enveloppent également des coniques U«, U*. Les trois courbes U a , U», U. ont trois tangentes communes, qui sont définies par l'équation
cot* 9 — cot + 2 cot A cot B cot C = 0.
"QUESTIONS D'EXAMEN
•4*. Résoudre un triangle, connaissant R, n, r«. On peut partir de la relation
r> + r. = 4Rcos»^.
qui fait connaître A; p — b et p — e peuvent se déduire de p-ô = r t tgè,j> - c = r, tg| ;
a est donné par a = 2R sln A; donc 6, b, e sont connus.
•48. Les symétriques des côtés d'un triangle ABC par rapport aux sommets opposés forment un nouveau triangle A'B'C, dont les côtés valent cinq fois ceux de ABC. Les deux triangles ABC, A'B'C 7 ont même centre de gravité (Comparez 949).
•44. Résoudre un triangle, connaissant r«, A, a. On a
* = BD a + CD B =r. (tg? + tg^ =
r.eos-
COSjCOB-
oette relation jointe à B -fC=* — A détermine B et C.
•4*. Soient a, é, c, d, les côtés AB, CD, CD, DA d'un quadrilatère sphérique convexe, circonscrit à un petit cercle. On a
sin a sin i sin* - = sin c sm a sm 2 - i
sm b sm <? sin* - = sin a sm a sin* - .
A dédaire des relations
ces AC = cos a cos £ -f- sin « sin d cos B = cos e cos 4- sin c sin <Z sin D, a — d = d — c ou cos a cos i + sia a sin d = cos c cos + sin c sin il.
•4*. Soient a, j3, y, o, les segments marqués sur les côtés d'un quadrilatère sphérique circonscrit à un petit cercle par les points de contact de ce cercle ; le rayon r du cercle est donné par
2tga
A déduire de tg« = sin r tg«', a' + p + / + <T == n % où désignent
les angles des arcs OA, OB, OC, OD a?ec les rayons aboutissa nt anx points de contact voisins.
•49. Si le nombre entier a est premier arec 30, (a 1 — 1) (a 4 — 16) [a 1 — (2 n -f 1 )»] est divisible par 23040.
•49. Dans un triangle ABC, inscrire un triangle A'B'C semblable à un triangle donné o/3y et tel que ABC et A'B'C' soient orthologiques.
(E, Lbmoinb.)
Deux triangles ABC, A'B'C sont dits orthologiques lorsque les perpendiculaires abaissées des sommets du premier sur les côtés du second concourent en un même point N, alors les perpendiculaires abaissées des sommets du second sur les côtés du premier sont également concourantes.
Le point N se détermine immédiatement au moyen de deux segments capables décrits sur AB et BC. Si une perpendiculaire à AN, coupe AB en d et AC en B„ des perpendiculaires abaissées de C, sur BN et de B, sur CN se coupent en un point P, tel que AP rencontre BC au sommet cherché C.
Les plans symétriques des faces d'un tétraèdre par rapport aux sommets opposés forment un nouveau tétraèdre. Les deux tétraèdres ont même centre de gravité, et les arêtes correspondantes sont dans le rapport 1 : 7 (Comp. 943). (J. N.).
QUESTIONS PROPOSÉES
!fl§. Le sommet A et le pied D de la bissectrice de l'angle BAC d'un triangle ABC étant fixes, trouver les lieux décrits par les sommets B et C lorsqu'on donne 1° le rapport AB : AO; 3° le produit AB . AC; 3° la somme AB + AC; 4° la somme ÂB* + AC* ; 5* l'aire ABC.
(J. Neubero.)
itVO. Chercher le lieu des points symétriques de ceux d'une chaînette par rapport aux pieds des normales à la courbe. (H. Brocard.)
1*11. Soit
(1 +.* + ** + •• + x") m — 1 + A»,i x + Am,a & + A*,, a* + etc.; démontrer la formule :
1 + A m ,l -f" Am,l -|" A.»-t>3 + •■• + As,m-f + A|,«» = U m +h+i
quelques uns des derniers termes du premier membre peuvent être nuls, car A<,> = si y > ik\ u m +k±t désigne le terme de rang «t + l-j-2, dans la suite de Pibonacci généralisée, où chaque terme est la somme des 1 -f - 1 précédents, les valeurs initiales étant :
ff f = U\ = u 2 = • • • «fc-i =0, u k = 1 . (A. Boutin.)
x 1 Un triangle indéterminé ABC a son sommet A sur une circonférence donnée a, son sommet B sur une autre circonférence donnée /3, et son sommet C sur une troisième circonférence donnée y. Trouver la courbe ou les courbes qui limitent les régions du plan où se trouve le bary centre d'un de ces triangles.
Question analogue pour le barycentre d'un tétraèdre indéterminé dont les sommets appartiennent à quatre sphères données. (B. Lemoinr.)
Reetlflentlena. (2) IX, p. 555, q. 1084, IMire D au lieu 2 D. <5) X, p. 28 et p. 78, mentionner une solution de 1198 par M. Déprez, de 1136, par lf« Rariaien. (8), X, p. 104, q. 1Î66, lire OM.OM' au lieu de OM + OM\
X SUR LE TRIANGLE PSEUDO-ISOSCÈLE(*); par M. A. Ebimbbioh.
t. «Tappelle triangle pseudo-isoscèle un triangle ABC dont les bissectrices extérieures BE, CD sont égales sans que l'on ait AB = AC.
Ce triangle fait l'objet de la question 129 de V Intermédiaire du Mathématiciens, posée par M. Alauda et reprise par Mathesis sous le n° 950. Je vais d'abord résumer les développements donnés par MM. Soons et Neuberg (voir Mathesis, (2) V, p. 261).
On sait que
l'égalité de CD et BE s'exprime donc par l'équation
laquelle, développée et débarrassée du facteur b — e que nous supposons différent de zéro, se ramène à
f(a) — a* - a» (b + c) + Sabc - bc (b + c) — 0. (2)
(*) L'expression de triangle pseudo-isoscèle m'a été proposée par M. Neuberg . J'ai publié dès 1891 des questions oq remarques sur le triangle dans la Zeitsehrift de Hqfmann.
Considérons les côtés b et, c comme donnés, et soit b > e. De /(>) > 0, f(e) < 0, /(J — c) < f on conclut que l'équation (2) a toujours une racine réelle (*) satisfaisant aux inégalités }>#>(?, a>(S — c); ces conditions sont suffisantes pour que a» b f c soient les côtés d'un triangle.
Le point D est sur le prolongement de AB au-delà de B, E est sur le prolongement de CA au-delà de A ; c'est ce que l'on déduit facilement de B>A>C.
9. En remplaçant Sabc par 2abc~\-abc 9 on trou y e facilement f\a) = — a* (b -f-c— - a) -j- 2abc — flc(é + « — #)$ donc l'équation (2) peut prendre la forme
(a* + bc) (p — a) = abc. (3) On en conclut la relation de M. Alauda :
a*-\-bc = 4Rr a . (4) Écrivons l'équation (3) ainsi :
a* {p — a) = bc (2a — p) ; en Ja multipliant par p et observant que 2ap — p 9 = a % — (p — a)*, nous aurons
bc (p ^ a)* = a 1 [ic — — a)] = a* (j — ft)(ji -c),
ou bien
Gette équation conduit à des conséquences remarquables. Elle sert à vérifier immédiatement que
sin 8 | A = sin | B sin | C. (6)
Pour démontrer la relation (6) par la trigonométrie, remarquons que
BE sin C CD sin B
~â ~ sin | (A — C) ' a = sîn~f(B~— ~Â)'
bc
(*) Si Ton remplace d par — , on obtient une équation f (w) = 0, dont la
dérivée a des racines imaginaires ; p (0) est donc une fonction qui varie toujours dans le même sens. On en conclut que l'équation f(œ) = a une seule racine
réelle. La racine réelle de (1) est comprise entre b et ^ (b + car /^i~f^ est
inférieure à 0. Si b = c, l'équation (2) donne a = b = c. (J. N.)
par suite, si BB CD, on a, successivement,
sin C sin £ (B — À) = sin B sin {(A — C), sin±Csin|(A + B) sin | (B — A) = sin | B sin { (A+ C) sin £ (À — C), sin i C (sin» i B — sin* £ A) = sin ± B (sin* £ A — sin» £ C), 8in , î-A(sin^B + siniC) = siniBsinJC(sin{B + 8inJC).
S. Soient I, I«, I», I* les centres des cercles inscrits et ex-inscrits. On a
fna AI sin — = BIsin— = CI sin-;
2 ét &
la relation (6) peut donc se transformer en celle-ci :
Âi' — BI.CI. (7) I étant l'orthocentre du triangle IJJc, on sait que IA.II a = IB.II» = IC.II c ; par conséquent, la relation (7) est équivalente à
ïï2 = II».IIe, (8) et les angles du triangle IJJc, que nous désignons par A', B', C, sont liés par l'égalité
cos* A' = cos B' cos C; (9) Les perpendiculaires abaissées du centre du cercle circonscrit au triangle I«IJ C sur les côtés de ce triangle sont, d'après l'équation (8), telles que l'une est moyenne proportionnelle entre les deux autres.
En appliquant la proportion des sinus aux triangles ABI« et ACI«, BI C C et BI*C, etc., on déduit, de l'égalité (6), les égalités suivantes :
BI a . Cla = bc 9 Blc. Ch = a*, (fa — rf = 4Rr*. (r a — ry = (n — r) (n — r) = le — 4Rr.
4. Abaissons IL, I a L a perpendiculaires à AB, IM perpendiculaire à I«L a . Des triangles semblables AIL et II a M, BIL et I a IC, on conclut AI = llg BI IL r r a — r ' r CI ' or BI. CI = AÏ* ; par suite,
r r ft. Ce résultat donne un moyen de construire un triangle pseudo»
isoscèle dont on connaît la base BC = a et 1* angle opposé À. On construira le triangle rectangle IMI* dont on connaît un côté IM = a et l'angle I = | A; on prolongera I«I deIA = MI a . Les sommets B et C seront déterminés par l'intersection de la circonférence de diamètre II a avec les droites menées par A et faisant avec AI l'angle { A ; il faut prendre parmi les quatre points de rencontre deux qui ne sont pas symétriques par rapport à AI.
Pour que le problème soit possible, il faut que la droite AD menée parallèlement à IM rencontre la circonférence ou que sa distance 5 au centre N de la circonférence soit moindre que le rayon NI. Si l'on fait NI = p, on trouve
AI = MI« = 2 p sin i A , S = AN sin f A = (2 p sin { A + p) sin ± A ; par suite, la condition 5 < p donne
2sin«| + sin| — 1<0,
et comme le trinôme du premier membre a pour racines £ et — 1, on
voit que sin^<l ou A < 60 a . On peut confirmer ce résultat :
Si l'on mène MPM' perpendiculaire à II a , on a PI„ = IL; donc si IM > MM', la droite AD rencontre la circonférence.
4t. Un triangle rectangle en B peut-il être pséudo-isoscèle? La relation (6) devient
sin 1 — = cos I — ^ — ) =-( cos — — sin— ] >
ou bien
4 sin * £ + 4 sin» ~ + 2 sin 1 ^-1=0, 2 ét &
ou encore
cos* A — 4 cos* A + 5 cos* A — 1 = 0.
On en conclut A — 54* 57'19",6.
M. Stegemann (Prenzlau) a déduit, de l'équation (6), que dans un tel triangle
b(b — a) = (b — cY, c(b — c) = b(a — c).
Ces relations sont équivalentes à
c*-2bc + ab = 0. (10)
Nous les concluons de l'équation (2). On a
S(a)i=2abc — («* + Jc)(J + c — a), i* = c *-f «»;
d'où
(j, | a — e) /(a) = 2ac{c* — 2be -f ab).
On peut aussi remarquer les égalités
AI-r.-r-»-., cï = -T-
Si Ai est le symétrique de A par rapport à CI, les triangles rectangles AA|I, AAiB donnent
ÂÂÎ = 2(} — c)\ ÂÂJ = c s + (è — a)\
d'où résulte également la relation (10).
Des triangles semblables AiBI, AIC on déduit
l — a b — c BI
b—c b~ CÏ "
Enfin, si l'on construit le symétrique Ci de C par rapport à AI, on tire, des triangles semblables C<BI, CIA,
l — c CI
"m Al'
ce qui démontre de nouveau l'égalité AI = b — e.
9. Nous sommes parvenu à démontrer géométriquement que tout triangle satisfaisant à la relation AI*= BI. CI est pseudo-isoscèle ; la démonstration est assez compliquée.
Il y a sans doute encore d'autres relations, assez curieuses, entre les éléments du triangle pseudo-isoscèle ou entre ceux du triangle correspondant IJJc. On peut aussi étudier les lieux du sommet opposé et des centres des cercles tritangents lorsqu'un côté BC ou AB est donné.
NOTES MATHÉMATIQUES
1 1. Sur la question 1222 (Mathesis, (2) IX, p. 238 et (2), X p. 122.). Un lapsus memoriae m'ayant fait attribuer à la question 1222, 3°, la réponse qui convient à la question 1257 (Mathesis, (2) X, p.£122), je vais rectifier l'erreur.
Soient /, m, n les projections d'une longaear MM' sur les trois côtés BC, OA, AB d'an triangle. On demande pour quelle orientation de MM' la somme P -f- m* n* est maximum ou minimum.
Soient a i9 a 2f «s, cp les angles de Taxe des x avec les perpendiculaires abaissées de l'origine des coordonnées sur BC, CA, AB et sur la direction MM'. Il s'agit de trouver le maximum ou le minimum de
\ = COS 1 («i — <p) + COS 2 (« a — <p) + C08 2 («$ — <p),
Posons donc dl
— = ou sin2(a, — 9) + sin 2(a 2 — (p)-j-sin2(a f — (p) = 0. (1) Oette équation donne
cos 2ai + cos 2a% + cos 2a 5
Elle conduit à une construction élégante de la direction cherchée. Soient OA', OB', OC les perpendiculaires abaissées de l'origine sur BC, OA, AB; prenons sur OX une longueur ON = 1 et appelons Ni, Na, Ni les symétriques de N par rapport à OA', OB', OC Les coordonnées des points Ni, N 2 , Ns étant (sin 2a t , cos 2ai), (sin 2a 2 , cos 2a»), (sin2a s ,cos2a 8 ), si P est le centre de gravité des points Ni,N f , Ni, Téquation (2) revient à
tg 2 9 = tg XOP ;
d'où l'on conclut que les bissectrices des angles formés par les droites OX, OP, résolvent la question ; l'une correspond à un maximum de À, l'autre à un minimum. Pour simplifier la construction on peut faire coïncider OX avec OA' ou remplacer OA', OB', OC par des parallèles à BC, CA, AB.
Voici une autre solution. Le lieu d'un point dont la somme des carrés des distances aux côtés du triangle ABC est constante, a pour équation
où
Xi = x cos Ai + y sin a x — p t = 0, etc.
sont 1er équations cartésiennes des droites BC, CA, AB. Lorsque >' varie, on a une suite d'ellipses semblables (ellipses de Cesàro; voir Matkesis
(1) I, p. 129), ayant pour centre le point de Lemoine K. Les axes de symétrie de ces coniques donnent les directions cherchées. En effet, si ces droites sont prises pour axes des coordonnées, le coefficient de xy % dans le développement de X* -f- ^\ 4" doit ^tre nu *î 06 revient à
sin 2ai -j- sin 2«î + sin 2aj = 0.
Mais telle est aussi l'équation (1), si les directions cherchées sont parallèles aux axes coordonnés.
L'ellipse (imaginaire)
étant conjuguée au triangle ABC, on voit que BC, OA, AB sont parallèles aux diamètres conjugués avec les diamètres KA, KB, EC. Cette remarque conduit à une nouvelle solution de la question 1222.
(J. Neubbrg.)
x t t. Propriétés <Tun triangle dont les côtés sont en progression arithmétique. Si Ton appelle a, S, c, les côtés d'un triangle, A, B, C les angles, S la surface, R, r 9 r u r*, n les rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrit?, a la bissectrice de A, m la médiane de a, M l'angle de m avec a, et si Ton suppose que les côtés du triangle sont en progression arithmétique de raison d 9 de sorte que les côtés sont
a — d f #, &-\-d, on ad'àbord i — a — a — c. On a, de plus, les relations : cos | (B — C) = 2 sin j A, tg|Btg±C = i; . . Jl — 4 sin* ~ A
r,=3r = A = f«tg±A = f
S = fa«tg'iA = {tfY/ 3 î
m = ^ r - |/3 cos A + cos 1 £ A;
w • /l-4sin«£A cosM = f\/ , - : - ' ;
Il est facile de multiplier le nombre de ces relations particulières. Nous n'avons cité que celles qui peuvent avoir le plus d'importance dans la résolution des triangles, dans les cas où le triangle a ses côtes en progression arithmétique. (C. Couturier).
X IS. Problème. Construire un angle dont la tangente trigonornétrique est le cube de la tangente trigonornétrique d'un angle donné.
Soit XOT l'angle donné. Ayant pris un point A quelconque sur OX, on décrit le cercle de diamètre OA ; la tangente en A rencontre OY en B; OB rencontre le cercle en C. On prend le point M symétrique de G par rapport au milieu de OB. L'angle MAO est tel que
tg MAO = tg 8 MO A.
Le point M décrit d'ailleurs la cissoïde droite dont le point de rebroussement est en et dont l'asymptote est la droite AB. (E. N. Barisien.)
SUR LES TRIANGLES QUI SONT INSCRITS DANS UNE ELLIPSE ET CIRCONSCRITS A UN CERCLE CONCENTRIQUE; par M. E. Barisiem.
(Suite et fin\ voir Matketis (2) X, p. 118).
M. Lieu du point d'intersection de OA' avec AD : {x* — y») 2 (a 2 -f y 2 ) = (ax 2 — by 2 ) 2 . •4. Lieu du point d'intersection de OA' avec AD' :
* ^ y (a* + b 2 ) 2 M. Lieu du point d'intersection de AD' avec la droite symétrique de OA' par rapport aux axes de Ë :
M. Lieu du point d'intersection de OA'" avec AD' : Vx 2 + aW==a*V(a + b)*.
. Lieu du point d'intersection de OA'" avec AD : (J V - a*y 2 ) 2 + «V) = (*^ 2 — •8. Lieu du point d'intersection de OA"' avec BC :
i:aô(a*4-b 2 )
(*■•» + aV) 2 = R 2 + «V), U = 2 (« + »)' Lieu du point d'intersection de OA'" avec B'C :
a 2 à 2 nabl/ab(a*4-b* — ab)
IOO. Lieu du point d'intersection de OA"' avec la perpendiculaire abaissée de A sur BC :
. b k x* + a'y 2 = — — • tOi. Lieu du point d'intersection de OA'" avec la normale à E en A :
^ y (a* + b 2 + ab)* tOt. Lieu du point d'intersection de OA'" avec la tangente à E en A :
(b s x 2 + cty*)* == a 2 * 2 * + a'y 2 ) ; U = | (a + &) l/oïT
L'aire de cette courbe est la même que celle de la courbe (3). tOS. Lieu du point d'intersection de OA'" avec la droite AA' :
MM. Le centre de gravité, Porthocentre, le centre du cercle des neuf points des triangles DBC et D'BC, décrivent des courbes du genre des courbes du n* 58.
I05. Aire du lieu du centre de l'hyperbole équilatère circonscrite au quadrilatère ABCD :
3tt (a* -f- fl') 2
— 4(a-Hr
On voit, d'après (45), que le rapport de Vaire du lieu du centre du cercle
circonscrit à ABCD à Vairé dît lié» du ctittré de VlfâMrMé éqùiltâre
circonscrite à ABCD, est ( - . ) •
\ar + b % J
iOO. Le lien du milieu de la distance dés centres du cercle eïde VÉyperbole équîlatëre circonscrits au quadrilatère ABCD est une courbe analogue aux courbes du n° 58.
IO». Aire du lieu du point de rencontre des' axes des deux paraboles circonscrites au quadrilatère ABCD :
U=?ttR j .
I OS. Aire du lieu du centre de l'hyperbole d'Apollonius passant par A,B,C,D': U = 3ttR 2 .
f OS. Lieu du quatrième point de rencontré des deux hyperboles é^dilÂtèr'es circonscrites aux quadrilatère* ABCD et ABCD' : Ce lieu est la courbe du n° 48.
t f O. Le point de rencontre des axes des deux paraboles circonscrites au quadrilatère ABCD décrit une courbe du genre de la courbe du n* 58.
fit. Lieu du point de rencontre de la tangente en A" à 2 avec la perpendiculaire abaissée de A sur le grand axe de E :
a (g — aR)»
tût. Lieu du point de rencontre de la tangente en A" à 2 avec la perpendiculaire abaissée de A sur le petit axe de E :
IIS. Àire du lieu du centre des cercles circonscrits anx triangles D'BC, D'AB, D'AC :
