Aire du lien du centre de gravité du triangle AB'C

lltt. Aire du lieu du centre de gravité du triangle A"BC :

1M. Aire de l'enveloppe de la parallèle menée par A à BC :

7r(a — 6)* U = iiab — - .

II». Lieu de la projection de sur la parallèle menée par A àBC :

(*» + y»)» = {ax* + ly*y ; U - irai + 37r ( a ~*> 2 .

if 8. Voir la propriété 110 d'un article sur les Cercles de Chasles (Mathesis, (2). V 5 p. 249).

Rbmarqub. Le cercle de rayon offre une analogie curieuse

avec le cercle de Chasles de rayon (a + b); on pourrait aussi étudier le / ab \

cercle de rayon f 1 qui a de l'analogie avec le cercle de Chasles de

rayon (a — b).

BIBLIOGRAPHIE

I. Vorlesungen ùber Geichichte der Mathematik, von Moritz Cantob. Zweiter Band. Zweiter Halbband. Von 1550-1663. Mit 97 in den Text gedruckten Figuren. Zweite Auflage. Leipzig, Druck und Verlag von B. 6. Teubner, 1900 (XII et 481 à 943 pp. gr. in 8). Prix : 12 marcs.

II. Cantor's Festschrift. Abhandlungen zur Geschichte der Mathematik Neuntes Heft, mit eioem Portrât in Héliogravure, zwei Tafeln und 55 Figures im Text. HerrnHofrat und Professor Dr. Moritz Cantor bei der 70. Wiederkehr des Tages seiner Geburt am 23. August 1899 dargebracht von seine o Freunden und Verehrern Im Auftrage herausgegeben von M. Curtze in Thorn und S. Gûnther in Mûnchen. Leipzig. Druck und Verlag von B. G. Teubner. 1899 (VIII-657 pp. in 8°) . Prix : 20 marcs.

I. La seconde partie du tome deuxième de la nouvelle édition du grand ouvrage de Cantor, en contient les chapitres 64-81, dont les trois premiers sont consacrés aux mathématiciens italiens de 1500 à 1550 et, en particulier, à Tartaglia, à Cardan et à la découverte de la résolution 4e l'équation cubique. Nous avons indiqué autrefois, à propos de la première édition (Mathesis, 1893, (9), III, 16), les principales subdivisions de l'ouvrage pour les périodes de 1550 à 1600 et de 1600 à 1668. Biles ont été conservées dans la nouvelle édition, mais l'auteur a introduit une foule d'améliorations de détail dans chaque chapitre. On trouve des additions surtout dans les pages consacrées à Cardan, Tartaglia, Bombelli, Forcadel, Clavius, Praetorius, Neper, Biirgi, Kepler, Huygens.

Dans la prélace, l'auteur indique en outre un certain nombre de corrections ou d'additions qui lui ont été suggérées par diverses publications pendant l'impresj&wdespn. ljyre.

Le livre de Cantor constitue le.$tan4ar4-jBo0k sur l'histoire 4es Mathématiques,

à cause de son étendue et de sa valeur intrinsèque. Nous ne pouvons que le recommander une fois de plus à l'attention des professeurs (*).

II. Le beau volume offert, par s<-s admirateurs et ses amis, à réminent historien des mathématiques, à l'occasion du 70* anniversaire de sa naissance, contient trois mémoires en français par Bobynine, Mansion et P. Tannery ; deux en anglais par Heath et Cajori; deux en italien, par Favaro et G. Loria; vingt cinq en allemand, dont deux par les historiens de la physique, Rosenberger et Heller; cinq sur les mathématiques grecques, par A. Sturm, A. Nagl, Suter, Hultsch, Heiberg; huit sur le moyen-âge et la renaissance, par Ciirtze, Gûnther, F. Miïller, E. Wappler, H. Staigmûiler, Steinschneider, Hunrathet v. Braunmuhl; cinq sur le 1> et le 18 e siècle, par Wohlwill, Wertheim, H. Graf, Enestrôm, E. Gelcich; cinq sur les mathématiques modernes par Dickstein, Stàckel, F. Meyer, Unger. Une liste des livres, mémoires, notes de Cantor f par Cùrtze (26 pages en petits caractères) et un index terminent le volume, (P. M .)

Principales formules de la théorie des fonctions elliptiques. Tableau résumé publié par les Nouvelles Annales de Mathématiques, Paris, Gauthier - Villars, 1900 (10 p. in-8°). Prix : 75 centimes,

Tous ceux qui se sont occupés de la théorie des fonctions elliptiques savent combien il est difficile d'en retenir les formules d'une manière permanente. C'est pourquoi, en France, on permet aux candidats à l'agrégation de mathématiques de se servir du tableau résumé qui a été publié par les Nouvelles Annales de Mathématiques.

Le choix des formules qui entrent dans le tableau nous semblent très judicieux. En voici la liste sommaire : Fonctions de We ter strass ; Développement en produits infinis et en séries : sin u, cot «, coséc* uou,Çu, pu, p'u. Développement en séries entières de au, lu, pu, g*, ç s Relations entre pu et ses dérivées, homogénéité, dégénérescence, périodicité et formules d'addition. Racines *i,*2>*5> fonctions 0i> <*2, 05; valeurs réelles de pu quand o>, w't sont réelles. Fondions de Jaeobt. Séries et produits infinis; addition d'une demi- période ou d'une période; relations avec les fonctions a. Fonctions sn«, en», dut*. Relations avec les fonctions thêta ; addition d'une demi-période ou d'une période; argument purement imaginaire; relation entre pu et snu ; valeurs réelles quand K et K' sont réelles [ces valeurs sont les mêmes dans tous les cas] ; formu es d'addition; dérivées; séries entières; dernières notations de Jacobi pour les fonctions thêta* (P. M.)

(*) Dans la Bibliotheca mathematica d'Enestrôm, 1900, (3), 1, 265-214, on trouve des remarques de détail dues à divers auteurs sur les deux premiers volumes de l'ouvrage de Cantor; dans le Bollettino de G. Loria, 1900, pp. 41-46 des indications complémentaires sur civers sujets traités dans le second volume. Ainsi, grâce à la collaboration de tous ceux qui s'occ upent d'histoire des mathématiques, on espère donner à la Qeschtchte der Mathematik du savant professeur de Heidelberg, dans ses éditions successives, une perfection de plus en plus grande.

Pages choisies des savants modernes, extraites de leurs œuvres par A. Rbbièrb. Orné de portraits. Paris» Nony et C u (VIII -6 18 pages in-8°).

Pour faire connaître à dos lecteurs le but du présent ouvrage qui complète si heureusement la vie et les travaux des savants modernes, du même auteur, nous empruntons à Pavant-propos les lignes suivantes :

« On a publié de nombreux Morceaux choisis des écrivains, des poètes, des historiens et des philosophes. Mais ce qni a été fait — avec une certaine outrance — pour les Lettres, restait encore à faire pour les Sciences. On peut en être surpris, étant donnée l'importance toujours croissante de ces dernières, pendant le siècle qui va finir.

Nos savants classiques ne se bornaient pas à instruire leurs disciples directs, ils parlaient aussi aux autres hommes dans les préfaces, les têtes de chapitre, les résumés et les notes de leurs ouvrages. Il suffisait de réunir ce qui était ainsi dispersé.

.... On trouvera dans ce recueil, non seulement des aperçus purement scientifiques, mais encore des extraits sur l'histoire et la philosophie des sciences et aussi sur les Méthodes de découverte et d'enseignement.

.... Il faudrait, pour compléter le tableau, deux autres volumes, l'un consacré aux Savants de l'Antiquité et du Moyen-Age et l'autre aux Savants contem* porains. »

M. Rebière vient de mourir, le 21 février dernier, à l'âge de cinquante-huit ans. Il est à désirer que les deux volumes qu'il annonce à la fin de l'avant- propos et pour lesquels il avait sans doute déjà réuni des documents viennent compléter la série des ouvrages si instructifs qu'il a publiés sur les Savants et leurs travaux.

La lecture des Pages choisies est fort attrayante. L'auteur a réuni plus de deux cents morceaux, d'un caractère très varié, empruntés aux écrits de soixante-treize savants des plus illustres, mathématiciens, astronomes, physiciens, chimistes ou naturalistes Son livre est éminemment propre à inspirer à la jeunesse le goût des sciences.

L'exécution typographique est irréprochable; elle fait honneur & la maison Nony. (J. N.)

SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES Questloa lOOfc.

(Voir Mathesis.$), V, p. 32).

Si une courbe algébrique dépourvue de nœuds et de rehaussements est de Tordre n, sa podaire a 3n points d'inflexion. (V. Rbtali).

Solution par M. V.Retali. Comme la courbe donnée est générale de son ordre, en appelant m sa classe n (n — 1), la podaire est en général, de l'ordre v a 2m et de la classe ^ = »-|~y; et, puisqu'elle ne possède

pas de points multiples en dehors des ses trois points au pôle

et aux points circulaires, le nombre de ses rebroussemepts est z&o> jet, par suite, celui de ses points d'inflexion est

On démontre de même que l'inverse de la courbe donnée a 3m points d'inflexion.

"Question 1©*».

(Voir Mathesis (2), V, p. 280.)

Calculer en fonction des côtés AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, le rapport des segments déterminés sur le eôté AD d'un pseudo-carré par la perpendiculaire MP abaissée du milieu M du câléopposéBC. (E. Colart.)

Solution par M. Pairon (Seraing). Soient AC = /, BD = AM = m, DM = n 9 AP DP = g. On trouve facilement

„«+/* = 2»i«4-^, c'+^ = 2»'+^; (2) de (1) et (2) on tire respectivement

Donc, si f=g, on a

Si Ton applique la règle des signes aux segments AP, DP, on doit écrire

Question I09I.

<Voir Mathesis, (2), VI, p. 1*8).

Au cercle I, inscrit à un triangle équilatéral ABC, on mène une tangente quelconque , ;«< coupe les côtés du triangle aux points a, |3, y, de chacun desquels on mène la seconde tangente respectivement aux cercles exinscrits

f a , i», I . Chercher les lieux des sommets du triangle jorùé par ces droites. (Ê. Duporcq.)

Solution géométrique par M. Broz Farnt. Appelons T la quatrième tangente commune aux cercles I», I e , et soient (3', / les points où cette droite est rencontrée par la seconde tangente menée de (3 au cercle It,, et de y au cercle I«. lies couples (3 y, |3jS', fy' engendrent dès ponctuelles projectiles : par suite, lés points (3', / se correspondant dans deux ponctuelles projectiVe*. Mais lorsqu'on suppose |3 ett A, y coïncide avec le point de contact de AB avec le cercle I> et les droites PPVy/ coïncident toutes deux avec AB; les points (3\ y' sont alors confondus. Ces points sont encore confondus lorsque y coïncide avec A ou avec C et y avec B. Donc les ponctuelles (j3'), {y') ayant trois points doubles sont identiques: T est donc le lieu du point de concours des tangentes menées de (3 au cercle I» et de y au cercle L.

Notb. D'après cette démonstration ingénieuse, si 2 est une conique quelconque touchant les côtés d'un triangle quelconque ABC aux points A' B', C et si 2<» r 2&, 2 , sont trois autres coniques inscrites dont la première touche BC en A', la seconde CA en B', la troisième AB en C, toute tangente menée à 2 rencontre BC, CA, AB en trois poiiiïs a, tels* que les seconde* tangentes menées de a à 2», de (3 à 2», de y à 2* forment un triangle inscrit au triangle qui a pour côtés les quatrièmes tangentes communes aux courbes 2o 2» 2« considérées deux à deux. La transformation par polaires réciproques conduit à un autre théorème intéressant. (J. N.).

Solution analytique p*r M!. Déprez. Soit A' le ptffat- d'interàectfon des Secondes tangente» nftnéed dé (3 stu cerclé I 6 et de y au eefreïë Te Les droites A'j3, A 'y étant représentées par

tf + W 4-^ = 0, a? + {/y + v's = 0,

èt MtceMétf ï», I e a^ant pour équationâ

on a les conditions

La droite (3y aura pour équation x -f- p'y + vs = 0; pour qu'elle touche le cercle I, qui a pour équation \/x -\- \/y + |/s = 0, on doit avoir

On aura donc l'équation du lieu (A') en éliminant fx, v, p', v' entre (1), (2), (3), (4) et (5). En comparant (3), (4), (5) on trouve p — — 3j*\ v' = — 3v, ce qui ramène les équations (1), (2) à la forme

<r — 3//y + vs = 0, # + — 3vs = 0. (6) Tirons de (6) les valeurs de et v pour les porter dans (5); il vient + 2y + 2s = O.

Le lieu de À est donc la droite symétrique de BC par rapport à A. Autre solution analytique par M. Emmerich.

Question iOOt.

(Voir Mathesis, (2), VI, p. 240 et 279.)

La tangente en un point M quelconque d'une ellipse rencontre le grand axe en T et le petit axe en T'; la normale au même point M rencontre le grand axe en N et le petit axe en N'. La normale au point M» conjugué de M rencontre le grand axe en Ni et le petit axe en NJ ; la tangente en Mi rencontre le grand axe enT t et le petit axe en T\ . Montrer que :

1° Le lieu du point de rencontre des droites NN' f et N<N' est une ellipse.

2* Le lieu du point de rencontre des droites TTJ et T,T' est une quartique.

3° Le lieu du point de rencontre des droites NN J, TT, , ainsi que le lieu du point de rencontre des droites NiN' et T 4 T' m composent chacun d'une hyperbole équilatère.

4° Z* /ta* if /a projection du centre de V ellipse sur la perpendiculaire élevée à TV en son milieu, est une kreuzcurve.

5° La perpendiculaire élevée à NN' en son milieu enveloppe une courbe fermée dont on demande dévaluer Faire.

6° La projection du centre de F ellipse sur la perpendiculaire précédente est une courbe du 6 e degré dont on demande Faire.

7* Lee perpendiculaires élevées à NN' et N<N< en leurs milieux se rencontrent sur une courbe dont on demande Faire. (E. N. Barisibn.)

Solution par M. V. Cristesco (Bucarest). Soient (a cos <p, b sin <p) les

coordonnées de M, et ( — a sin 9, b cos <p) celles de Mi. Les équations des tangentes et des normales en M et M 1 seront :

- cos 9 -4- 7 sin 9 = 1, sin 9 +1 cos 9 = 1 ;

ax by . ax . by

cos 9 sin 9 sin 9 1 cos 9

et, par suite, les coordonnées des points où ces droites rencontrent les axes, sont :

t(-î-,oY v(o,JL\ t;(o,-L) ;

\c0s9 / \ 811*9/ V sm 9 J \ COS 9/

1* Les équations des droites NNJ, NiN' sont respectivement :

ux — by = c* cos 9» ax-\-by = — c 2 sin 9 ; (1), (2) elles se rencontrent donc sur l'ellipse :

2° Les équations des droites TT, , T\T' sont

(bx -|- ay) cos 9 = ab 9 (bx — ay) sin 9 = — ab . (3). (4)

Leur point de rencontre décrit donc la quartique :

3* Si Ton élimine cos 9 entre les équations (1) et (3), et sin 9 entre les équations (2) et (4), on trouve que les lieux des points de rencontre des droites NN'i, TT' â et NiN', TiT' sont les hyperboles équilatères :

abx* db c % xy — aby* — e 2 ab = 0.

4* L'équation de la perpendiculaire élevée à TT en son milieu, et celle de la perpendiculaire menée du centre de l'ellipse sur la droite perpendiculaire précédente, sont respectivement

2(ax sin 9 — by cos 9) sin 9 cos 9 = a 9 sin 2 9 -J- b 1 cos* 9, (5)

bx cos 9 + ay sin 9 — 0. (6)

L'équation <0) donne

tg 9 =•» - — •

et, par suite,

bx ay

sin a? =• , cos 9 = - — t

|/>a? 2 +« 2 y 2 qp |/ b*x 2 + a 2 y»

les signes se correspondant, en vertu de l'équation (6). En portant ces valeurs dans l'équation (5), on obtient la kreuzcurve

5° L'équation de la perpendiculaire élevée à NN' en son milieu, est : 2ab (bx cos 9 + a V sin 9) 4" ** ( a * sina 9 — cosl ?) = 0. (7) La dérivée par rapport à 9 est :

2ab ( — bx sin 9 + fly cos 9) -|- 2c* (a* + i 2 ) sin 9 cos 9 = 0. (8) Les coordonnées d'un point de l'enveloppe seront donc :

= ^- [a 2 + 2i 2 — (a 2 + i») cos' 9] «os 9,

y = — ^ [2a 2 + b 2 — (rt 2 + J 2 ) sin 2 9] sin 9.

La différentielle de l'aire A de cette courbe est ydx, ou ^L[2a 2 +ft«— (« 2 +& 2 )sin 2 9][a 2 +2& 2 - 8(a f cos 1 9] sin 2 9^9. En remplaçant cos* 9 par 1 — sin 2 9, on trouve pour l'aire totale A

A = ~ |4(a* + P) (2a* + >») pin* <p<fcp — (2a» + j^sin» 9*p — B(« f + & 2 )*J 2 sin« 9<ÉpJ •

f sin 2 yd<p = Y> f sin*9rf9 = ^» f sin* 9^9=^*

Donc

6° L'équation de la perpendiculaire menée du centre de l'ellipse sur la droite (7) est

ax sin <p — by cos 9 = 0. (9)

L'équation (9) donne

by ax

sm <p = — $ cos <p =

les signes se correspondant. En remplaçant dans (7), on trouve que le lieu de la projection du centre de l'ellipse sur la perpendiculaire élevée à NN' en son milieu, a pour équation

4(3* + y*)' (aV + by) - c i {x % — y 1 )* = 0.

En passant aux coordonnées polaires, on a

(cos» 6 — sin' 6)« P — 4 a» cos 1 + & 1 ein» *

L'aire d'un secteur étant { J pV8, l'aire totale sera

a—- c* ( c ° g ' e — 8in ' e )* d ù

2 Jo «* cos*8 + 6' sin'G '

~ 2 J a'cos'e-j-^sin'e Jo « l co8*e + d , sic.'0'~

28 Jo a'cos'Ô-M'wn'Ô* (10)

f* 49 ■ w f» 008» MB. «

Jo a 1 cos* + J» sin' — 2ai' Jo a' cob j 9 + J» sin 1 8 ==t 2a(« + J) '

«* — **Jo a 2 cos f e + J'sin'e^^a + J)*'

En remplaçant dans l'égalité (10), et faisant toutes les réductions, on trouve :

ir ( a 6)»( a t-{-y) 4«J (a + J)

7° Les équations des perpendiculaires élevées à NN' et N,N' ( en leurs milieux, sont respectivement :

2ab (bx oos 9 + ay sin 9) + c* (a* sin 1 9 — V cos 1 9) = 0,

2ab (bx sin 9 — ay cos 9) — c* (a 1 cos 1 9 — V sin 1 9) = 0.

Les coordonnées d'un point de leur intersection sont donc :

x =-^-^[a % — (a* -f" s" 1 9 cos ?1 ( cos ? ~~ Jf = — - ^ [a* — (a* + b % ) sin 9 cos 9] (oos 9 -J- sin 9).

La différentielle de l'aire d'un secteur de la courbe sera donc : c*

i {xdy — ydx) = [a* + 6* — 2 (a* — 8 4 ) sin 9 cos 9

— 2 (a* -f- è 1 ) 1 8in*9 cos* 9] ^9.

L'aire totale A s'obtiendra en faisant varier 9 de à 2?r ; elle sera donc :

A = |V + 8*) j* 2 " ^9 - 2 (a* — J 4 ) sin 9 cos 9 dtp - 2 (a« + J*) 1 j sin 2 9 cos* 9*9 J •

sin 9 COS9 49 = 0, \ sin f ç> 008*9*19 = - • Jo 4

Donc

Question ltte.

(Voir JÊfatkesit, 2 9 IX, p. 104).

Etant donnée une ellipse, soient F un des foyers, MM' une corde quelconque passant par F, I le milieu de cette corde MM', K et K' les foyers de F ellipse lieu du point I, E étant le Joyer le plus rapproché de F. Démontrer les relations :

MM' 4- 2IK' = constante, MM' — 2IK » constante.

(E. N. Barisibn.)

Solution par M. Soons. L'ellipse donnée ayant pour équation

aY + = « 2 &*.

si nous appelons x' et œ" les abscisses de M et M', celle de I sera & » " s 0*' + et nous aurons

car' ex" MF = a — — » M'F « a ;

d'où

MM'*» 2* — — • a

L'équation du lieu du point I étant

cette courbe est une ellipse, dont les axes sont c, — et dont le centre a

pour coordonnées \ c 9 ; on a donc

ce qui donne l'égalité

MM' + 2IK' = 2«-^ + c + -( r * l -^==2a + c--.

De ce que IK' -j- IK = constante, on déduit la seconde relation . Ont résolu la môme question MM. Emmjïrich, Dbprbz et Dboz Fabnt .

* Question itM.

Mathesis. (2) X, p. 56).

Dans un triangle isoscèle ABC, de base BC, représentons par h \a hauteur issue de A, *J par H fe# hauteurs égales issues des sommets B tf C. Suivant que l'angle A est supérieur ou inférieur à un droit, H* ^st supérieur ou inférieur à 2A 1 . (Droz-Farny).

Cette question a été résolue par MM. Barisien, Cataldi, Couturier, Delahayb, Dbscans,Emmerich, Pairon, François, Lafontaine (Liègq), Lebouoq (Gand), Rose, Cl. Thirt et Andrien.

Ces solutions emploient la trigonométrie ou le théorème de Pythagope généralisé. La proposition admet cependant une démonstration trfcs élémentaire. Soit D le milieu de BC; en égalant deux expressions de |a surface ABC, on obtient