ESQUISSE BIOGRAPHIQUE
Sophu» iiie (ié«.iéeé').{*)
Sophus Lie, né le 17 novembre 1842, à Nordfjordeid, près de Floro, en Norwège, est mort à Christiania, le 18 février 1899.
Dans sa jeunesse, I4B a longtemps hésité entre la Philologie et lès Mathématiques; mais vers 1865, les travaux de Pluokkr sur la Géométrie réglée lui donnèrent, pour la première fois, pleine conscience de ses aptitudes et l'orientèrent fers les recherches auxquelles il consacra sa vie : il publia en 1869 son premier travail et dès 1870, il était en possession des idées directrices de toute sa carrière. Vers cette époque il vint à Paris, où il étudia, avec Klein, la Théorie des substitutions de Jordan, persuadé dès lors du rôle essentiel que la théorie des groupes est appelée à jouer' dans toutes les branches des mathématiques.
Une courte note de Lis Sur une transformation géométrique, présentée par lui à l'Académie des sciences de Paris, en octobre 1870, développée en 1819, dans un mémoire plein d'idées neuves, qui fut publié dans les Mathemattscke Annàlen, contient une découverte extrêmement originale. Il y expose une transformation singulière qui fait correspondre une sphère à une ligne droite et permet de déduire de toute proposition relative à un ensemble de droites, un théorème relatif à un ensemble de sphères. Chaque propriété des lignes asymptotiques d'une surface se transforme en une propriété relative aux lignes de courbure d'une autre.
A partir de 1872, Lis ne cesse de faire paraître une série de Mémoires sur les parties les plus difficiles et les plus hautes du calcul intégral. Il commence par une étude approfondie des travaux de Jacobi sur les équations aux dérivées partielles du premier ordre, les perfectionne sur un point important (**) et est conduit peu à peu à construire la théorie des groupes continus de transformations qui constitue son œuvre la plus importante; dans ces recherches, il emploie sans cesse deux éléments dont le second lui appartient en propre: les transformations de contact et les transformations infinitésimales.
(*) D'après Darboux, Notice sur Sophus Lie. C. R. f t. CXXVIII, pp. 825- 529. — Une liste des œuvres de Lie a paru dans le BolUttino de G. Loria, 1899, pp. 71-75, avec une notice sur Lie, par C. Segre. Une notice suivie d'une liste plus complète due à M. Engel, a été publiée dans la Bibliotheea mathematiea d'ENHSTRÔM, 1900, (3), I, pp. 166-204.
(**) Nous avons le premier fait connaître ces remarquables recherches de Lie dans notre Théorie des équations aux dérivées partielles 4u premier ofère (1873-1875).
On doit aussi à Lie un grand nombre de recherches géométriques ; il détermine tontes les surfaces minima algébriques d'une classe et d'un ordre donné, on inscrites dans une développable algébrique donnée, quand Ton en connaît une; on lui doit des travaux intéressants sur les surfaces à courbure constante, sur les lignes et les cercles géodésiques, sur les surfaces de translation, etc. Il a étudié à fond des questions d'analyse en connexion intime avec les principes de la géométrie euclidienne ou non -euclidienne.
De 1877 à 1886, Lia a été professeur à l'Université de Christiania; de 1886 à 1898 à célle de Leipzig. Rentré à Christiania pour y occuper une chaire spécialement créée pour lui, il y est mort d'anémie cérébrale à l'âge de 56 ans.
Le grand ouvrage (Théorie der Transformationsgruppen, 1888, 1893; Géométrie der BerUkrungstransformationen % 1896, 1 er Band) où il avait entrepris, avec Ses disciples, l'exposition de l'ensemble de ses découvertes, reste inachevé. Peutêtre n'est-il pas écrit avec la clarté et la concision nécessaires pour que les idées du maître soient rendues aussi accessibles que possible. Il faut bien avouer que les grands mémoires de Lis aussi sont parfois obscurs et prolixes en même temps. L'œuvre entière de Lis devrait être transposée (nous ne disons pas traduite) en français. (P. M.)
SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES-
"Question 1 !»•(*).
(Voir Màtktsit (3), t. VII, p. 237).
Soient A, B. ... Us mineure du déterminant
ait a' V c' a" V c"
Démontrer que
bc
ea àb c'a' a'V
Solution par M. Emmerich. J'écris l'égalité proposée sous la forme
(*) Énoncé rectifié.
Alors
A = 2A , aD(B'C" + B"C) -=D2A'a(aD-|-2B"C') == D*2A*a' -f 2D2AWC ;
2AWC = 2 (D - AV — A." a") AB"C
= D2AB"C — 2AA' (B"C'a' + BC"a)
= D2AB"C — 2AA' (B"C'a' + B"Ca - aa'D)
= D (2AB"C + 2AA'aa') + 2AA'B"C"a";
2AA'B"C"a" = A (A'B"C"a" + A"B'C'a') + A'A"BCa
= A (A"B'C"a" -f cDC'a" -j- A"B'C'a'j + A'A"BCa
— DAC'ca" - AA"B'Ca + A'A"BCa
= D(AC"ca"- A"Cae")
= D [Aea" (aV — a'b) — A"ac" (a'b" — a"b')]
= D[— AaV'ic + (Ac + k"e") aa"b' — A"aa'J"c"]
= — D2Aa'a"Jc.
En substituant, nous avons
A = D , 2A*a' + 2D*2 (AB"C + AA'aa' — ka'a"be),
^= (2Aa«) + 22AB"C — 22Aa'a"Je
= 2A (B'C" + B"C — 2a'a"Je).
Posons b'e" + b"c' = a, b"e + bc" = *', be' + b'c = a"; il vient
— = 2Aa (a« — aV — a" a.")
= 2Aa»« — 2a'a" (AV + k"a').
Or 2a'A« = 2a» (J'V" - J" 2 c") A,; d'autre part on a
b"e~bc" b"e + be" b'e — bc' b'e + bc'
b"e — bc" b"e b'e — bc 1 b'e
= - 2 Je A.
A'«" + A"«' + Il vient donc
2a'a" (AV + A'V) — — 22a'a"JcA — — 22a'a"fc (b'e" — J'V) = 22Jc (c'a'. a"b" — a'b'. e"a") = 2A,.
Question 1198.
(Voir Mathesis, (9), VIII p. 152).
On donne dans le mime plan trois systèmes égaux F,, F 2 , F 5 ; As est le point double de F,, F 2 ; A 2 celui de F 3 , Fi; Ai celui de F,, F, ; D,, D f , D 5 sont respectivement les points correspondant à Ai, A 2 , A s dans les système* Fi, F 2 , F 8 . 8i 9 pour chaque triple P if P 2 , P f de points homologues, on détermine le centre P du cercle circonscrit, on obtient un quatrième système que nous appellerons O ; cela posé, démontrer que chacun des système* F t , F 2 , F s est lié à $ par une correspondance quadratique rationnelle et étudier ces trois transformations. (V. Retali.)
Solution par M. Droz-Farny. Soit tï un point quelconque du plan du triangle A|A 2 A 8 .
On démontre, par des considérations de géométrie élémentaire, que ses symétriques par rapport aux trois côtés du triangle sont les points Pi, P* et Pf et que le centre du cercle P|P 2 P S est le conjugué isogonal de 7r par rapport au même triangle.
Or, c'est un fait bien connu, que la transformation isogonale dans le triangle Ai A 2 Ai revient à une transformation de Steiner par rapport au faisceau des hyperboles équilatères passant par les centres des cercles inscrits et ex-inscrits à A|A 2 A 8 .
La correspondance de $ à Fi revienidonc au produit d'une correspondance de Steiner par une symétrie.
Question 1193.
(Voir Mathesis (2) VIII, pp. 216 et 264).
Par un point P du plan d'un triangle donné ABC, on mène des parailèles aux médianes; soient A',B', C les points de rencontre de ces parallèles avec les côtés correspondants de ABC . 1° Trouver le lieu d'un point P tel que
