T-= OU
(» + £)[(» + x *l + + -(i)'3 »(» + i)(n+l) La seconde partie de la valeur de H est donc inférieure i
lim S — ; — j— j— - — — • o, o»(» + 5) (»+l)
c'est-à-dire à l'aire d'une parabole ayant pour équation
Cette aire étant limitée comme il est dit au n° 1, a pour mesure le tiers du produit de l'ordonnée extrême par l'abscisse correspondante ou
On a donc enfin
H ou ;
+ £ 1 12»(»+i)(» + l) ce qui est la seconde inégalité annoncée (*).
4. Remarque. Au moyen des deux inégalités démontrées ici, on peut construire une table de logarithmes assez exacte en faisant successivement n = 75, 95, 360, 512, 2400, etc. (Voir notre Résumé d'Analyse, n« 261, pp. 153-154). (P. M.)
NOTES MATHÉMATIQUES
14. Combinaisons. De combien de manières peut-on prendre, parmi m objets en ligne droite, n groupes de p objets adjacents chacun?
Il faut évidemment que m soit supérieur à np et nous admettrons en outre que deux ou plusieurs groupes pourront parfois se suivre sans interruption.
Cela étant, désignons les objets par ai, a*, as, ... a m * On peut former tous les arrangements cherchés, en écrivant d'abord m groupes g de « lettres a chacun, ces lettres étant momentanément sans indices,
puis en plaçant, de toutes les manières possibles, les m — np lettres a restantes (également sans indices) dans les intervalles des groupes, ou à gauche du premier groupe, ou à droite du dernier, enfin en mettant, dfns chaque arrangement, les indices de gauche à droite dans Tordre naturel.
(*) Le second membre de l'inégalité est Taire d'une parabole passant par les trois points A, B, C et ayant son axe parallèle k AB.
Ma^s tçut cela équivaut à foire les permutations à répétition de n lettres g et de m — np lettres a, à remplacer les lettres g par des groupes; puis à mettre des. indices.
Donc le nombre cherché est
Pm— »p • Pn
Le lecteur peut s'exercer à résoudre la question suivante : de combien de manières peut-on prendre n groupes de p objets adjacents parmi m objets placés en cercle? (M, Stuyvaert.)
15. Notes sur la question 1251 (Voir Mathesis, (2) X, p. 32, 168). Soit MBC un triangle isoscèle de base BC ; une parallèle à la base coupe les côtés égaux MB en A et MC en D.
La hauteur abaissée de M sur la base passe par le milieu A' de cette dernière et par le point de rencontre N des diagonales AC et BD du trapèze isoscèle ABCD.
Le trapèze isoscèle étant inscriptible dans un cercle, on retrouve comme corollaire de la question 1251, un théorème que j'avais déjà démontré dans ma note de la livraison de janvier 9 sur trois hyperboles associées à un triangle (pp. 11 — 13) :
La médiatrice du côté BC d'un triangle rencontre les deux antres côtés ÀB et AC en M et N. L'hyperbole qui est tangente en ces deux points aux côtés considérés, qui admet donc comme pôle du sommet A, la médiatrice de BC et qui a en outre ce côté BC comme une des asymptotes, touche la droite de Lemoine du triangle ABC. (Droz-Fàrny).
ÎO. Sur l'aire du quadrilatère. Dans le numéro de février 1900, de MatAesis, p. 42, M. J. Neuberg a démontré que si Ai (x u y t ), A 2 (x 2 , y*), As (x t , y t ) y A 4 (04, y*) sont les sommets d'un quadrilatère convexe, Ton a, en grandeur et en signe, pour Taire Q du quadrilatère Ai A 2 A ( A 4 ,
05 — 0i y* — yi 04 — 0» y* — y%
Voici une application intéressante de cette formule. Supposons les quatre points donnés à l'intersection d'une parabole y* = 2px et d'un cercle quelconque. On aura
v\—y\ y*—vi (yi — y0(y4 — y 2 ) |y 8 + y, 1
Les quatre points seront sur une circonférence si y 4 +^2 = — (yi+yi)- Donc
{y* — yO (y4 — y 2 )
(y? — yî) (y* - y«)
ys+yi 1 -(*«+*«) 1
>{x t — fl? s ) (yi — y h)
(Droz-Farnt).
SUR LES TRIANGLES TRIHOMOLOGIQUES ; par M. Ripert.
M. Third a démontré (Mathesis, 1900, p. 153) une proposition très intéressante qui adjoint à tout couple (A, B) de triangles trihomologiques, dont les centres sont Si, Si, Si, un triple de coniques 2,(A i A 2 AiS 2 Si), 2 2 , 2 5 , remarquables. On peut leur adjoindre de même un triple 2|(B|B 2 B 5 SaSs), 2,, 2J. Chaque conique 2» coupe le cercle (AiAïAs) en un quatrième point &(i = 1,2, 3), et chaque conique % coupe le cercle (B1B2B3) en un quatrième point D<. On peut donc adjoindre à tout couple (A, B) de triangles trihomologiques un sextuple de coniques (2,-, 2J) (*) et un second couple de triangles (C,D).
Cela posé, si A et B sont inscrits à un même cercle (ou conique) 0, les triangles C, D sont trihomologiques à A et B et trihomologiques entre eux. L'ensemble forme un quadruple inscrit (A, B, C, D), susceptible d'être transformé en un groupe d'un nombre indéfini de triangles inscrits, trihomologiques deux à deux.
J'ai démontré ces propriétés dans un Mémoire sur des groupes de triangles trihomologiques inscrits ou circonscrits à une mime conique ou à une famille de coniques, que j'ai présenté cette année à l'AFAS.
Voici un aperçu de la démonstration.
Le triangle Ai A 2 Ai t inscrit dans la conique ^2 ^ = 0^ (i, k, l = 1, 2, 3; 2, 3, 1 ; 3, 1, 2) étant de référence, on reconnaît aisément qu'un
(*) Sans compter les coniques corrélatives o. t 9 ' { , indiquées par M. Third et qui donneront les propriétés corrélatives pour les triangles circonscrits.
triangle B,B 2 B 5 trihomologique à A est défini, avec la condition * 1 + + = °» P ar
b 'U't,'tJ' B, U'X'v B, U'ï , x/
les centres S< correspondants étant aux points
Si cctki, & ilt), Si (aiAj, «jAf, ai^i). Si («i^î, «2A1, «3^5). Les trois coniques 2< ont pour équation
et les points C< ont pour coordonnées» en posant h (A* — h) = p<
On vérifie alors immédiatement que les triangles A et C sont trihomologiques, les centres Ci étant
(ai/tu, «ipi> «ij^i), («ifti* •••), («if*t, •••)•
On reconnaît ensuite que les triples (B<C<), (B A), (B<G) concourent en des points :
C" [3(X|AiA 2 X s , a> (Aijfct — AijXi), «• (ïifxi — AipOL eto -
Donc (A, B, G) est un triple de triangles inscrits, deux à deux trihomologiques. Il en est évidemment de même du triple (A, B, D). Un calcul laborieux mais sans difficulté montre que les triangles C et D sont trihomologiques entre eux. — D'ailleurs, la propriété suivante est facile à démontrer : si deux triangles inscrits à me même conique sont trihomologiques à un troisième (également inscrit)(*) 9 ils sont trihomologiques entre eux.
(*) Condition qui n'est nullement nécessaire; mais la démonstration est plus compliquée quand on la supprime,
