) r =x 2 r + y 2 r, rr = X' r 2 + y'r\
P5S — psi — Ol3 "j- Pli P54 — p!4 — p52 + Pl2
P«3 p 23 p41 + P21 p44 P42 pi4 +
expression qu'on peut transformer en introduisant les distances A r Ai =55 d rs . En effet, observant que
— fa - ti) 2 + (yr — y',) 2 = \ + a; — 2 Prg ,
on pourra remplacer p r8 par J () r -\- >i — # # ) et écrire
-*;. + <*!.+ *\> - 'ï. - *,\ + + d\ t - d\ + -i\ t -dl+d^ + dU-dl, Si Ton fait coïncider les deux quadrilatères, on obtient
ou la formule connue
16Q 1 = 4JY ~ (a« + — 6* — <•)* , où a,b,c>d sont les côtés consécutifs d'un quadrilatère et f % g les diagonales (Comparez Dostor, NAM., 1874, p. 559). (J. N.).
lfQQ' =
SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES!*)
Question 985.
(Voix- Mathesis (2), II, p. 216).
Soient H a , H 6 , H c les pieds des hauteurs d'un triangle ABC; M a , M b , M c les points de rencontre des droites AM, BM, CM avec BC, CA, AB. Les triangles AH&H C , H a BH c , H a UbG étant inversement semblables à ABC. appelons M' a , MJ, Mi respectivement Vhomologue de M a dans AHfcH c , V homologue de M* dans H a BH c , Vhomologue de M c ddns H fl HtC. Trouver le lieu du point M tel que les droites M a Mâ, M&M&, M C M' C concourent en un mime point M' ; trouver aussi le lieu du point M'. (E. Lemoine).
Solution par M. Emmerich. 1° Soient X, Y, Z les coordonnées normales du point M rapporté au triangle fondamental ABC. Les équations de H&H C et de AM«, Tisogonale de AVI, étant
— x cos A -\- y cos B 4- z cos C = 0, y Y — zZ = 0,
(*) Nous avons à mentionner une bonne solution de la question 1218 {Mathesis, 1899, p. iTî), par M. Dépbez, professeur de mathématiques supérieures à l'Athénée de Bruxelles. Notre zélé correspondant remarque que le cercle de Monge de la conique variable enveloppe une ellipse.
on trouve les coordonnées du point Ma
YcosC + ZcosB, ZcosA, Y cos A, et ensuite l'équation de la droite M a M a
x (Y* — Z 2 ) cos A + (yZ - zY) (Y cos C + Z cos B) = 0. (1)
Pour simplifier l'écriture, nous écrivons A, B, C au lieu de cos A, cos B, cos C, nous divisons aussi l'équation (1) par Y 2 Z 2 et remplaçons
^' V \ par ^ 06 qui r ® vient * intpoduire l'inverse triangulaire
M" de M, situé à l'intersection des droites AM a , BM», CMi. Il vient
A (f + (B(3 + Cy) ((3y - yz) = 0. (2)
On en conclut la condition pour que les droites M a Ma, M ô Mô, M c Mé concourent en un même point :
A(y'-f3>) (3(B,3 + Cy) -y(B^ + C 7 )
— «(Cy + Aa) B(a' — y') y(Cy-fAa) =0.
«<Aa+B{3) -|3(Aa + B/3) C(|S» — a')
En développant, on trouve
ABC(y«-(: 2 )(a 2 - 7 2 )(^-a 2 ) , + 2Ca^(^-a 2 ) (B& + C > )(Aa + Cy) = 0. t W
Mais (y 2 — /3 2 ) (a 2 — 7 2 ) (fi 2 — a*) = 2a'/5 2 (a 1 — É s ), (B,3 +C7) (Aa + C-/) = ABz£ + C-/2Aa, de sorte que le second terme de l'équation (3) prend la forme ABCZa 2 |3 2 (£ 2 - a') -f apyZC ({S 1 — a») 2\a, et l'équation se réduit à
a(3yIC 2 (3 f - «*) 2Aa = 0.
Ecartons la solution <xfiy = ; il reste pour le lieu de M" une droite, a cos A -f- (3 cos B + y cos C = 0, (4)
et une conique,
(cos 2 B — cos*C) a} + (cos'C — cos»A) (S 2 + (cos 2 A — cos'B) y 9 = 0. (5)
La droite (4) est l'axe orthique du triangle ABC ( axe d'homologie de ABC, HaH&Hc); sa transformée par inversion triangulaire est une conique circonscrite à ABC, coupant la circonférence ABC au point
coséc (B — C), coséc (C — A), coséc (À — B) et ayant pour centre le point de Lemoine de ABC.
La conique (5) est autopolaire à ABC et a pour centre le point coséc (B — C), coséc (C — A), coséc (A — B). Elle a pour transformée une quartique passant par A, B, C, l'orthocentre H, le centre I du cercle inscrit, le barycentre G. Si un point (X, Y, Z) fait partie de cette quartique, ses associés (— X , Y, Z), (X, — Y, Z), (X, Y, — Z) appartiennent également à la courbe. Ces circonstances s'expliquent facilement à priori.
2° Passons au lieu du point M'. Si Ton suppose le point M" mobile sur Taxe orthique (4), les équations de M„M' a , M b M' b se réduisent à
(y 2 — £ 2 ) « — a (ty + <*y z = °>
a(3a? -f- (a 2 — y*) y — $yz = 0.
On tire de là, pour les coordonnées de M,
pa-a(£'-f y'-a 2 ), py=(3( 7 » + a t-^) f pr- 7 (a«+^— /), (6)
p étant un facteur de proportionnalité; à ces formules paramétriques, il faut joindre l'équation de condition
Aa + B|3 + Cy = 0.
La partie du lieu qui correspond au point M" mobile sur la courbe (5) donne des calculs assez compliqués.
Note. Si Ton ordonne l'équation (1) par rapport à X, Y, Z, on trouve.
(C* - Ax) Y 2 — (Cy — Bz) YZ -f (A* — By) Z i = 0. Donc si Ton pose
A,,=By — Cs, A 22 = Cs — kx y A 55 == Ax — By, A 2 5 = Cy - Bz, An — Az — Cx, A| 2 = Bx — Ay,
les équations des droites M a M^, MjMô, M C M' C prennent la forme
A 22 Y* — A25YZ + A 35 Z 2 = 0, j
A 85 Z 2 — A5iZX + A n X 2 ==0, | (7)
A n X 2 — A I2 XY + A 22 Y 2 =0. )
Pour avoir le lieu du point M', il faut éliminer X, Y, Z entre les relations (7). Si Ton considère x, y, z comme des quantités connues et X, Y, Z comme les variables, ces équations représentent trois couples de droites (p, ^'), (g, j'), (r, r') passant respectivement par A, B, C,
Trois de ces droites, par exemple y, q, r doivent passer par un même point M, et comme le produit des couples de valeurs des rapports
- » — » — qui correspondent aux trois couples de droites est égal à
l'unité, les trois autres droites p', q', r' concourent en un second point Mi. Or, les conjuguées harmoniques des droites p, p\ q % g', r, r' respectivement par rapport aux angles A, B, C du triangle ABC rencontrent les côtés opposés sur les polaires trilinéaires des points M, M, ; mais ces conjuguées sont représentées par les équations (7) où l'on change les signes des termes en YZ, ZX, XY et leurs points de rencontre avec BC, CA, AB sont sur la conique
