PROFESSEUR A MILAN

(Extrait des Mémoire» de la Société royale des Sciences de Liège, 3« série, t. II, 4900.)

Dans sa dissertation inaugurale (*), le D r Henkel a étudié deux transformations que Ton

avoir établi quelques propriétés générales des transformations

(*) Ueber die au* einer Curve y « f(x) abgeleiteten Curven y, = xf'(x) (Tangentencurve) und y, « — x : f '(x) (Normalcurve), mit specieller Anwendung auf die Parabel, Marburg, 4 882. Pour la première de ces transformations, M. Neuberg a proposé la désignation de transformation pseudonewtonienne. Comme publications antérieures se rattachant à la même question, on peut citer : Hochhbim, Die Differentialcurven der Kegelschnitte (Halle, 4874); Vôlkbr, Ueber eine abgeleitcte Curve, u. s. w. (Inaugural Diss., Marburg, 4880). Je suis redevable de ces renseignements au D r Henkel, actuellement professeur à Pforta.

peut définir comme il suit :

« Étant donnée une courbe C rapportée à deux axes rectangulaires OX, OY, on mène par l'origine une parallèle OP' à la tangente PT au point P de la courbe, et une parallèle OP" à la normale en P :

trouver les lieux des points d'intersection P' et P" de ces droites

OP', OP" avec la parallèle à OY menée par le point P. » Après

Fig. 4.

indiquées, M. Henkel examine avec détail le cas ou G est la parabole

y**=Am(X — a),

et les transformées sont respectivement

y\x — a) — wix* = 0,

et

my* -4- ax* — x 5 = 0,

dont la première, si a = m, devient la cubique mixte de M. De Longchamps (*). En voulant étendre aux courbes planes algébriques les transformations imaginées par M. Henkel, dont la première présente une analogie évidente avec la construction donnée par Leibnitz pour les Robervalliennes (**), j'ai été conduit, il y a quelques années, à des résultats assez généraux et en particulier à des générations, que je crois nouvelles, pour la plupart des cubiques ayant reçu un nom et pour quelques quartiques unicursales; mais, distrait par d'autres occupations, j'avais presque oublié ces recherches, lorsque mon attention y a été rappelée récemment par un mémoire de M. Brocard (***). Ce géomètre, prenant son point de départ dans une question posée par M. Petit-Bois dans Mathesis (année 1898, p. 215), applique

(*) Journal de Math, spéciales, année 4886, pp. 245-247. De même si a = m, la Normalcurve devient la cubique duplicatrice m(x % + y*) = a? 8 de M. De Longchamps (ibid., pp. 456-138).

(**) Voir Aubry, De l'usage des figures de l'espace, etc. (ibid., année 4896, pp. 179-480). La Robervallienne de cercle dont parle M. Aubry n'est pas la cubique d'Agnesi, mais on peut obtenir cette cubique en appliquant la construction de Leibnitz à l'ellipse 4a£ + y* = 4a 2 (voir le n° 6 de cette note). La deuxième transformation de M. Henkel est le produit de la première avec une inversion (spéciale) de Hirst.

(***) Sur une transformation géométrique (transformation pseudonewlonienne). Ce mémoire a paru dans les publications de la Société royale des sciences de Liège et a été joint comme supplément à la livraison de mars 4898 de Mathesis. La transformation indiquée dans la note de M. Petit- Bois, faisant suite au mémoire de M Brocard, est le deuxième du D r Henkel, qui a aussi donné la relation entre les aires (toc. cit., § 5).

d'abord la première des transformations indiquées au cercle, à la parabole y* =» kmx, à la courbe en huit et atT/b/sum de Dmartes; mais c'est dans les applications qu'il^en fait aux courbes transcendantes que M. Brocard trouve les résultats plus intéressants et curieux, par exemple : les transformées de la logarithmique, de la cycloïde, de la sinusoïde, de la tangentoïde, de la chainette, de la tractrice sont respectivement la droite, la cissoîde, la Kohlenspitzencurve, Vanguinea (serpentine), la Kreuzcurve et la circonférence.

Quoique ces relation» inattendues entre des courbes algébriques et des courbes transcendantes forment le côté le plus intéressant de la transformation, nous croyons qu'il n'est£pas inutile de l'approfondir aussi pour les courbes algébriques, et tel est le but de cette note.

Si, dans la transformation que je désigne ci-après par le symbole [Y, 0, s], nous prenons la droite s (axe) à l'infini, et pour premier pôle Y le point à l'infini de |0Y|, nous avons la transformée pseudo-newtonienne (X) de M. Brocard; si, en conservant le deuxième pôle en 0, le premier pôle est le point àj'infini de | OX |, nous avons (Y); si s est une droite propre, Y son point à l'infini et le point à l'infini sur la perpendiculaire, on tombe sur la construction donnée par Leibnitz pour la Robervallienne. Dans les deux premiers numéros, utilisant la théorie des correspondances (m, n) et quelques résultats obtenus par MM. Schoute (*) et Zeuthen (**), je détermine les caractéristiques pluckériennes de la transformée d'une courbe algébrique n'ayant pas de relations particulières de position avec l'axe et les pôles de la transformation; le numéro suivant contient les modifications que les résultats obtenus subissent lorsque certaines de ces relations ont lieu; les cinq derniers numéros appliquent la transformation aux coniques, aux cubiques et à la'quartique delà troisième classe.

(*) Sur un problème de Stciner. (Bill, des Se. mathém., 2 e série, t. X, p. 242.)

(**) ld., ibid., t. XI, avril 1887.