Dans le plan d'une courbe générale Cl, du degré n, de la

on donne une droite fixe s (fig. 2) et deux points fixes Y et O n'ayant aucune relation particulière de position ni entre eux ni avec Cl : si t est la tangente au point variable P de la courbe et F la projection faite de O sur le rayon | YP|, du point (to), lorsque P décrit Cl, le point P' engendre une certaine courbe

qui projettent les points (l H s); à un rayon o du faisceau O correspondent dans le faisceau Y les m rayons qui projettent du point Y les points de contact des tangentes à Cl issues du point (os). Le lieu cherché est donc (**) une courbe de l'ordre n + m ayant un point n ~upk en O et un point m *uple in Y; nous

(*) En prenant pour s la droite à l'infini, on tombe sur la transformation considérée par RI. d'Oeagne dans les six derniers numéros de son mémoire Sur certaines courbes qu'on peut adjoindre aux courbes planes pour l'étude de leurs propriétés infinitésimales. (Journal de Se. Math, de M. G on es Tbixiiea, n<> XL VIII, 1888.) L'autre transformation formant l'objet de ce mémoire en est le produit avec une inversion (spéciale) de Hirst.

(**) Wkyr (Emil), Dcifrâge zur Curvenlehre, § 49 (Wicn, 1880.)

classe m = n(n — i) et du genre

p-Un-\)(n-%

Fig. 2.

que nous nous proposons de déterminer (*) . D'abord , comme le lieu cherché et C« se correspondent point à point, ils sont du même genre ; on reconnaît ensuite aisément que le lieu de P' est le produit de deux faisceaux Y et O de rayons en correspondance (m, n) : en effet, à un rayon y, du faisceau Y,coupant C n m aux points P ... P a , correspondent dans le faisceau O les n rayons

le désignerons par car nous verrons bientôt que sa

classe est 3m.

De la définition de la transformation il s'ensuit que CJ+ W passe par les n points où Cl est coupée par Taxe «, et par les m points de contact des tangentes à Cl issues de 0. Les tangentes au point m- uple y sont les rayons du faisceau Y qui correspondent au rayon (OY) considéré comme appartenant au faisceau 0, c'est-à-dire les tangentes à Cl issues de Y; de même, les tangentes au point n- uple O sont les rayons qui projettent du point les points où « est coupée par les tangentes menées à Cl aux points où cette courbe est coupée par la droite | OY |.

Outre les deux points multiples Y et 0, la courbe possède d'autres points doubles ordinaires que nous allons déterminer. Lorsque le rayon y varie dans le faisceau Y, les \n(n — 1) intersections mutuelles des tangentes If, t 2 > ••'>'« engendrent une courbe C v dont l'ordre est

les points D lt ... 9 D v où cette courbe est coupée par s sont des points simples formés chacun par l'intersection d'une couple de tangentes homologues, c'est-à-dire dont les points de contact sont alignés avec Y sur une droite y.j. Cela posé, au rayon y v du faisceau Y correspondent, dans le faisceau 0, n rayons parmi lesquels deux vont coïncider en la droite o y = | OD | ; autrement dit, les droites y v sont des rayons de diramation du faisceau Y. Au rayon o v de correspondent en Y, m rayons dont deux coïncident en y v ; donc les v rayons o y sont des rayons de diramation du faisceau O; mais ils doivent, aussi bien que les v rayons j/ y > être comptés doubles et les points (y v o v ) donnent lieu surQ+" à v points doubles ordinaires. La courbe n'a pas d'autres points

(*) SCHOUTB, lOC. Cit.

multiples, outre ceux que nous avons trouvés et qui équivalent ensemble i

points doubles ordinaires, car elle est du genre ^(»-4)(n-2),

et Ton vérifie sans peine que

-(m+n — i)(m+n — %) — -(n — i)(n—2=-[{m+n)*—im--n]. 2 z z

• Les deux faisceaux Y et O onl respectivement 2m(n — 4) et 2n(w — 4) rayons de diramation (*), (2n — 3)m desquels, pour chacun des deux faisceaux, sont absorbés par les rayons projetant les points doubles ordinaires ; à une tangente t de issue de Y correspond dans le faisceau O un groupe de n rayons parmi lesquels deux sont réunis en le rayon qui joint O à (st), donc les m tangentes de issues de Y sont des rayons de diramation du faisceau m -uple et touchent C£* sur la droite s; comme

(2n — 5)tw m — 2m(w — 4),

le faisceau Y ne peut posséder d'autres rayons de diramation. Dans le faisceau O, les droites qui projettent les points où C£ est coupée par s sont évidemment des rayons de diramation et touchent C£ m sur la droite s; des m -+- n — n* points du lieu placés sur s 9 m sont donc les points de contact des tangentes qui lui arrivent du point m -uple, et les autres sont les points de contact des tangentes issues du point n -uple. Il y a encore Zm — 5n autres tangentes issues de O, qui forment les rayons de diramation restants du faisceeu O. Si la tangente T au point d'inflexion I de Cl coupe s au point y, au rayon | Oy | du fàis-

O Wey», foc. cit., § 6.

ceau en correspondent m du faisceau Y parmi lesquels deux coïncident dans le rayon double | YI|, car la tangente stationnaire t compte pour deux tangentes de G" issues de v; | Ov| est donc un rayon de diramation du faisceau et le point V =(|Ov|, |YI|) est le point de contact de la tangente |Oy| à la transformée. Ces rayons de diramation sont en même nombre que les points stationnaires de Cl, à savoir, puisqu'il n'y a pas de rebroussements (*), 3 (m — n) et, comme

(2« — 3)tw ■+■ n + 3(ro — n) — 2n(m — 4),

le faisceau ri-uple ne possède pas d'autres rayons de diramation.

2. Supposons maintenant que Y tombe sur la droite s (tig. 3). Les résultats précédents subsistent encore, mais il faut remarquer que dans ce cas les tangentes au point m -uple Y coïncident avec les autres m tangentes que Ton peut mener à C;+*" du point Y, c'est-à-dire avec les tangentes menées par ce point à la courbe primitive C£; sur chaque branche de la courbe passant par Y la tangente en Y a avec la courbe une rencontre triponctuelle et par suite Y est un point m -uple d'inflexion.

Nous avons donc le théorème : Fi * 3 *

• Étant donnés dans un plan une courbe générale, de l'ordre n et de la classe m, deux points fixes Y, et une droite fixe s, passant par Y : si l'on fait correspondre à un point variable P de Ci l'intersection P' du rayon | Y P| avec celui qui projette de la trace sur la droite s de la tangente P, le lieu de P' est une courbe Cff du même genre que Ci, de l'ordre n* et de

{') Salmon, Courbes planes, p. 93, formule (7) de l'édition française.

la classe 3m ; il a un point n -uple ordinaire en 0, un point m -uple d'inflexion en Y et

points doubles ordinaires ; il passe par les points de contact des tangentes à Cl issues de et par les points où Ci est coupée par s; les tangentes en ces derniers points vont se couper en 0. »

Nous désignerons la transformation indiquée par le symbole [Y, 0, s], et appellerons Y premier pôle, O deuxième pôle, s axe de la transformation; si s est à l'infini, nous avons la transformation pseudo-newtonienne. Si s est une droite propre et si les deux pôles sont à l'infini sur deux droites rectangulaires, la transformée de C£ en est la Robervalliennc.

Lorsque C£ a x rebroussements de la première espèce, et pas d'autres singularités, son genre est

et sa classe

sa transformée est toujours du degré n m, le premier pôle est un point m -uple ordinaire, mais comme la courbe C y considérée dans le numéro i est maintenant du degré

i[(2«-3)m-K], les autres points doubles sont aussi au nombre de i[(2n-3)ro — *],

et Ton vérifie sans peine que

-(i» + fl — i) (m n — 2) m (m — \) — - n(n — i)

ce qui revient à dire qu'il n'y a pas d'autres points multiples. Pour déterminer la classe de la transformée, il suffit d'observer que parmi les points doubles fournis par la courbe C v , il y en a x qui sont des rehaussements, tandis que les autres

sont des points doubles ordinaires : la classe est donc

Nous en concluons que, même lorsque la courbe primitive ('£ a k rebrousse ments de la première espèce, la transformée est toujours du degré n -4- m et de la classe 3m.

3. Si C£ a des relations particulières de position avec les pôles ou avec l'axe de la transformation, ou bien si elle possède d'autres singularités que des rebroussements, les résultats qui précèdent subissent des modifications que Ton doit établir dans chaque cas déterminé; néanmoins, pour traiter des cas même relativement simples, il est nécessaire d'indiquer ces modifications lorsque les pôles sont des points multiples ou bien si les droites s et | YO | sont des tangentes multiples de la courbe primitive.

a) Lorsque le premier pôle est un point simple de C* ,à chaque rayon o du faisceau correspondent dans le faisceau Y les m rayons qui projettent les points de contact avec Ci des tangentes issues du point (os); mais à un rayon de Y en correspondent n — 1 du faisceau O, et la droite | OY | se sépare une fois du lieu. De même si Y est un point p -uple ordinaire sur C£, la droite | OY | se détache jx fois de la transformée qui est le produit de deux faisceaux Y et O en correspondance (m, n — \t) et par suite de l'ordre m ■+- n — /x.

Si Y est un point simple de C* , deux des m rayons correspondant en Y au rayon | OY I vont se confondre en la tangente de C n m au point Y : de même, chaque passage de par le premier pôle donne naissance à une coïncidence de deux tangentes