DE BASE

par Gaston TARRY

(Extrait des Mémoires de la Société royale des Sciencet de Liège, 3« série, t II, 4900.)

Les écussons. — Dans les 36 cases d'un échiquier, de base 6, répartissons les 6 premiers chiffres, répétés chacun 6 fois, de manière que dans chaque rangée et dans chaque colonne on trouve les 6 chiffres.

L'abaque ainsi obtenu sera une permutation carrée de base 6.

Considérons les permutations d'un couple de rangées ou de colonnes.

La substitution qui a pour effet de remplacer Tune des permutations par l'autre est circulaire, ou composée de plusieurs substitutions circulaires.

Nous représenterons la relation existant entre ces deux permutations :

1° Para, quand la substitution qui les identifie est composée de trois transpositions;

2* Par (3, quand la substitution est composée d'une transposition et d'un cycle de i chiffres;

3° Par y, quand la substitution est composée de deux cycles de 3 chiffres;

4° Par i, quand la substitution est circulaire.

Il n'y a pas d'autres combinaisons.

Construisons une permutation carrée quelconque :

Les relations entre la première rangée et chacune des cinq autres sont respectivement a, (3, d, d 9 (3.

La suite a, (3, i, i, (3 figure la relation de la première rangée avec les autres.

A chaque rangée correspond de la sorte une suite.

Plaçons ces suites les unes au-dessous des autres. Pour la permutation considérée, nous aurons le tableau suivant :

Dans ce tableau des cycles, écrivons les lettres par ordre alphabétique dans chaque rangée, puis disposons aussi les rangées dans Tordre alphabétique.

Le nouveau tableau sera le schéma des rangées.

En opérant de même pour les colonnes, leurs suites étant placées en rangées, nous obtiendrons le schéma des colonnes

J appelle écusson ce couple de schémas.

Pour la permutation qui nous occupe, on a cet écusson :

ol 8 y y $

Chaque permutation carrée se trouve ainsi caractérisée par un écusson.

Une question se pose immédiatement.

Combien existe-t-il de schémas et d'écussons dans les permutations carrées de base 6 ?

Il y a 16 schémas. Les voici :

cl cl y y