JO

au point m uple d'inflexion. Si Y est un point d'inflexion (simple) de Cl, avec la tangente stationnaire correspondante vont se confondre trois des m tangentes en Y, etc.

6) Le degré de la transformée n'est pas altéré si le deuxième pôle est sur Ci un point multiple de l'ordre w 1); mais dans ce cas, parmi les tangentes à C£"* en 0, il y en a w qui coïncident avec celles de Cl au même point.

c) Lorsque Taxe s est une tangente multiple ordinaire de Tordre a de Cl, il se détache ? fois de la transformée, et la courbe résiduelle, de Tordre m -4- n — a, est le produit de deux faisceaux Y et en correspondance (m — <x, n). Y est un point (m — a) uple d'inflexion, etc.

Si s est une tangente stationnaire de Cl, elle se détache deux fois de la transformée, etc.

d) Lorsque la droite | OY | qui joint les deux pôles est une tangente simple de la courbe primitive, considérée comme rayon du faisceau il lui correspond, dans le faisceau Y, m rayons dont un est |Y0|, et comme ce dernier rayon est un rayon de diramation du faisceau Y, les deux faisceaux Y et sont en position réduite du premier ordre (*); la droite |Y0| se détache de leur produit, et la courbe résiduelle a un point (m - 1) •uple ordinaire en 0, et touche en ce point la droite |0Y| : de même, si la droite | Y0| est tangente p -uple de Cl, les deux faisceaux Y et sont en position réduite de Tordre p, et leur produit est une courbe de Tordre m -4- n — p ayant un point (m — p) -uple d'inflexion en Y et un point (n — p) -uple ordinaire en (**).

4. Nous allons maintenant appliquer la transformation à une conique C\ en position générale par rapport à Taxe et aux pôles (fig. 4) : la transformée est une quartique CJ de la sixième classe ayant un (seul) point d'inflexion au premier pôle et un point double ordinaire au deuxième pôle. Pour

O Wetb, foc. cit., § 80.

(•*) ÏD. 9 loe.cit., § 5*.

déterminer le troisième point double V, je mène par Y la droite s conjuguée de s par rapport à C\; la droite qui joint au pôle de s' par rapport à Ci va couper *' au point cherché, car dans le cas actuel la courbe C(voir n° i) se réduit à la polaire de Y par rapport à C a . Comme du point arrivent à la quartique deux autres tangentes, savoir les rayons qui projettent les points où C\ est coupée par s, aucune des tangentes au point double n'est stationnaire, et, d après un théorème d'Ameseder (*), le troisième point double non plus y n'a de tangentes stationnaires. Flg ' 4 '

La propriété caractéristique de ces quartiques, qui ont un point double d'inflexion et deux points doubles ordinaires, est la suivante : « Les points de contact de la courbe avec ses deux tangentes issues d'un point double ordinaire sont alignés avec le point double d'inflexion Y, sur la droite séparée harmoniquement par les tangentes d'inflexion en Y de celle qui joint Y avec le troisième point double (**). »

(*) Si dans une courbe du quatrième ordre et de la sixième classe, il y a plus de deux tangentes aux points doubles qui sont stationnaires, les autres tangentes aux points doubles sont aussi stationnaires. (Sitzber. d. Wiener Akad. d. Wiss., Bd 85, S. 881.)

(**) En prenant les points doubles pour sommets du triangle de référence, et si Z est le point double d'inflexion, l'équation de la quartique peut se mettre sous fa forme

(ay* + %hxy + bx* )z % + ca?V — Of

la cubique polaire du sommet Y est

(a* 1 + cx*)y + hxi* «

et la droite conjuguée harmonique du côté y — par rapport aux tangentes

H découle immédiatement de la génération indiquée de la quartique que « deux points de la courbe alignés avec le point double d'inflexion sont séparés harmoniquement de ce dernier par la droite qui joint les deux autres points doubles », et que les tangentes en deux points alignés avec le point double d'inflexion vont se couper sur la droite qui joint les deux autres points doubles; on peut réunir ces deux théorèmes connus (*) en l'énoncé unique : « Une quartique rationnelle ayant trois points doubles, dont l'un est d'inflexion, est homologique-harmonique lorsque Ton prend le point double d'inflexion pour centre et la droite qui joint les deux autres points doubles pour axe d'homologie. »

Réciproquement, étant donnée une courbe du quatrième ordre et de la sixième classe C\ ayant un seul de ses trois points doubles d'inflexion, si C 2 est une conique inscrite dans l'angle des tangentes au point double d'inflexion Y, et passant par les points de contact 1t 3 des tangentes menées à CJ par l'un des autres points doubles, par exemple de : la transformée de C* est C{ lorsque l'on prend | Oi0 2 | = * pour axe, Y pour premier pôle et pour deuxième pôle. En effet, CJ et cette transformée ont en commun le point double Y avec les mêmes tangentes d'inflexion, le point double avec les mêmes tangentes et les deux points simples 0,, O a aussi avec les mêmes tangentes, ce qui équivaut à dix-huit (8 + 6 + 4) points communs.

5. Le cas où le deuxième pôle et Taxe sont pôle et polaire par rapport à C* doit être considéré à part : en ce cas, le troi-

<f inflexion en Z est hy + bx = 0j cela posé, nous avons identiquement

[(ay* + %hxy + bx*)z* + cx*y*] — xz*(hy + bx) =s y[(az* + cx*)y + hxz 1 ]

et le théorème est démontré. L'absence du terme linéaire en z dans l'équation de la quartique montre immédiatement que la courbe est homologiqueharmonique, x = y = étant le centre et z -~ Taxe d'homologîe.

(*) Ameseder, Ueber rationale Çurven vierter Ordnung, deren Doppelpunktstangenten zum Theil oder ganz in Inflexionstangenten ûbergehen. (SlTZBER. dbr W. Ak., Bd 79.)

sième point double V se réunit au point double formant un lacnode en 0; la polaire du point double d'inflexion par rapport à C* est la tangente tacnodale. La transformée est donc une quartique de sixième classe ayant un tacuode en et un point double d'inflexion en Y : on pourrait l'appeler cappa projectif, car si C* est un cercle ayant son centre en 0, elle devient la courbe appelée cappa (*).

Les points de contact des tangentes menées à un cappa projectif par son tacnode sont donc alignés avec le point double d'inflexion et séparés liarmoniquement par ce point et la tangente tacnodale.

Le cappa (proprement dit) est donc une quartique circulaire de la sixième classe ayant un tacnode en son centre et un point double d'inflexion à l'infini sur la perpendiculaire à la tangente tacnodale; les deux tangentes qui arrivent au cappa du lacnode sont les droites isotropes issues de ce point, autrement dit, le tacnode est aussi le foyer singulier de la courbe. Les tangentes d'inflexion au point double à l'infini touchent C* sur la tangente tacnodale; le cercle C* et le cappa, ayant entre eux double contact aux points circulaires à l'infini, ont quatre autres points communs qui, par la définition même de la transformation, sont sur les bissectrices des angles des axes. Observons aussi que le cappa n'a pas de tangentes doubles proprement dites, car les quatre de ces tangentes, possédées en général par une quartique de la sixième classe, sont absorbées par les deux tangentes au point double d'inflexion et par la tangente tacnodale; quant aux points d'inflexion, deux tombent en le point double à l'infini et les quatre autres sont absorbés par le tacnode.

6. Par la transformation qui nous occupe, on peut obtenir les cubiques de la quatrième classe, comme transformées de coniques de deux manières différentes :

a) en prenant les deux pôles sur une tangente à C 3 ;

6) en prenant pour axe une tangente à C*.

(*) Broc&rd, toc. cil. y p. 5.

Dans le premier cas, la transformée est une C* ayant un point d'inflexion au premier pôle Y, touchant | YO | au deuxième pôle 0, et passant par les deux points 1f O s de renconire de G 9 ayee *; ces deux points sont les antitangentîels de 0; la tangente stationnaire en Y et l'autre tangente, outre | Y |, de C* issue de Y; le point double est l'intersection de la droite

menée par Y et conjuguée A *, avec celle qui unit au conjugué harmonique de Y par rapport

Réciproquement, étant donnée une C?, si est l'antitangentiel d'un point réel d'inflexion Y, et si 0|, 2 sont les deux antitangentîels de 0, t la tangente (stationnaire) en Y : à chaque conique C 2 passant par les deux points 0| 2 et tangente aux droites | Y | , t, correspond Cî par la transformation [Y, 0, | Oj 2 |].

Quand Taxe s touche C 2 au point O, la transformée est une CJ ayant un point d'inflexion au premier pôle Y, et touchant C 4 en ; le point double V se confond avec le deuxième pôle, la tangente stationnaire en Y est l'autre tangente de C 2 issue de Y, les deux antitangentiels 4 , 2 de sont alignés avec Y sur la droite s harmoniquement séparée de | Y V | par C 2 . Réciproquement, étant donnée une Cî, si est ranlitangentiel d'un point d'inflexion Y et si 4 et 2 sont les antitangentiel de 0, V le point double et t la tangente en Y : la transformée de la conique C 2 , passant par O t et 2 , touchant | Y | = u>n et tangente à t, au moyen de [Y, V, m], est Cî.

Fig. 5.

7. Supposons maintenant que les deux pôles Y et Ode la transformation soient conjugués par rapport à C 2 , et soit s la polaire de par rapport à C 9 et A le point de contact d'une tangente h C 2 issue de Y. Si une tangente variable touche C* au point P et coupe respectivement * et | Y A | aux points C et D, on reconnaît aisément que les droites | OD | et | AC | vont se couper en un point P' du rayon | YP| (*); il s'ensuit que la transformée de C 2 par [Y, O, | YA | ] est aussi sa transformée au moyen de [Y, A | Y C | ].

En choisissant convenablement la conique à transformer, ses pôles et l'axe de la transformation, on obtient de nouvelles générations pour la plupart des cubiques ayant reçu un nom, et Ton peut établir aisément pour ces courbes, non seulement les propriétés connues, mais aussi d'autres que je crois nouvelles.

Conchoïde Simienne générale. — Si C 2 est une ellipse, prenons pour le pôle Y le point à l'infini dans la direction du petit axe, et soit u la tangente au sommet A du grand axe. Prenons le deuxième pôle sur le grand axe AA' à une distance OA de A égale en valeur absolue au demi petit axe; la transformée de C 2 au moyen de [Y, 0, ti] sera une conchoïde Slusienne (**) ayant le point double en 0, le sommet en A, et pour asymptote d'inflexion la tangente à l'ellipse en A'.

(*) En rejetant à l'infini la tangente |YA|, on tombe sur une propriété évidente de la parabole.

(") La droite à l'infini coupe l'ellipse C* en deux points dont les tangentes, savoir les asymptotes imaginaires, vont couper u aux points doubles de l'involution (A, x ; 0, /3'), où /3'A — "Â/3= à la moitié du petit axe; lorsque l'angle 303' est droit, OA « A/3 et les points à l'infini» outre Y, de la transformée sont les points circulaires.

Elle coupe C* sur la polaire s de 1*0, et sur la droite s' harmoniquement séparée de s par le point double et l'asymptote d'inflexion; les deux points antitangenticls du sommet A sont les intersections de C 9 avec la polaire de 0; les tangentes au point double sont les diagonales du quadrilatère simple formé par les deux tangentes à l'ellipse en AA' et par celles qui la touchent sur | YO |, etc.

On obtient la même concholJe en appliquant à la même ellipse C* la transformation [Y, A, s].

Strophoïde droite. — Lorsque C 1 est un cercle ayant pour contre, si Y est à l'infini et A'A un diamètre perpendiculaire à la direction Y, la transformée de C 2 par [Y, O, u] est la strophoïde droite ayant le nœud en et le sommet en A; la tangente au cercle en A' est l'asymptote d'inflexion, les tangentes en sont rectangulaires. La droite des points d'inflexion est symétrique de l'asjmptoie d'inflexion par rapport au centre du segment OA; la médiatrice du segment A'O coupe la cubique sur le cercle C 4 ; les tangentes de la strophoïde aux points circulaires à. l'infini vont se couper au sommet A, etc. On obtient la même strophoïde en appliquant au cercle C* la transformation pseudo-newtonienne

iv.o, •](*).

Triseclrice de Maclaurin. — C* est une ellipse dont le petit axe A'A est les | du grand axe, u sa tangente au sommet A, le premier pôle Y est à l'infini de ti, A'0 = |OA; la polaire * du deuxième pôle par rapport à C 4 est symétrique de u par rapport à 0; cela posé, en appliquant à C* soit la transformation [Y, 0, ti], soit la [Y, A, s], on obtient la triseclrice de Maclaurin ayant le sommet en A, le nœud en et la tangente à l'ellipse en A' par asymptote d'inflexion. La cubique est circulaire; les tangentes au nœud forment l'angle^; la distance (M 7 du nœud à l'asymptote d'inflexion est | de celle du nœud au sommet. La droite des points d'inflexion est à l'infini et les deux

(*) Dans la transformation pscudo-ncwloniennc, une translation de la courbe primitive dans la direction du premier pôle n'altère pas la transformée, comme il est évident soit géométriquement, soit par l'analyse. (Cf. Hemlel, loc. cit., § 4.)

points d'inflexion imaginaires de la courbe sont les deux points circulaires à l'infini. Observons encore que la cubique coupe C*, d'abord en deux points réunis en A sur u, ensuite sur la polaire s de et sur la droite s', harmoniquement séparée de s par l'asymptote d'inflexion et le point double (*).

Folium de Descartes. — Prenons maintenant pour C une ellipse dont l'excentricité e = |. Soit un foyer (à gauche), A' le sommet le plus proche de 0, et A l'autre sommet; nous avons 2ÂÔ = 0A et la distance de la directrice s (polaire de 0) au sommet A' est égale au demi grand axe. ^ En dénotant comme auparavant par u la tangente en A et par Y le point à l'infini deu» nous avons pour transformées de C*, soit au moyen de [Y, 0, m], soit au moyen de [Y, A, *], le folium de Descartes ayant le sommet en A et le nœud en 0; la tangente à l'ellipse en A' et l'asymptote d'inflexion et les tangentes en sont rectangulaires. La droite des points d'inflexion est à l'infini, et si nous prenons sur la tangente u du sommet A les segments AB = — AC — OA : l/jj (égaux à la moitié du petit axe de C*), les rayons doubles de Finvolution quadratique 0(A, oo ; B, C) marquent sur la droite à l'infini les deux points d'inflexion imaginaires du folium.

(*) En prenant pour C* une ellipse dont le petit axe A'A est i du grand axe, on obtient la cubique circulaire considérée par M. Jerabck (Mathesi*, octobre 4898). Voir aussi ma note sur la même cubique. (Ibid., t. IX, pp. 87-89.)

Fig. 7.

Les points antitangentiels du sommet A sont les intersections de C avec la directrice s, et les deux autres points communs au folium et à l'ellipse G s peuvent se construire en observant que la droite *', séparée harmoniquement de s par le nœud et l'asymptote d'inflexion, coupe | A'A j en un point M tel que

Folium parabolique droit. — G 9 est une parabole ayant son foyer en et son sommet en A, s est la directrice, u la tangente au sommet, s' la symétrique de s par rapport à : la transformée de C par les deux transformations indiquées est le folium parabolique droit ayant le sommet en A et le nœud en 0. Les tangentes en sont rectangulaires et la droite à l'infini est tangente stationnaire; les deux antitangentiels de A sont les points où la parabole est coupée par sa directrice, et les deux autres intersections du folium avec la parabole sont sur s'. Les deux points d'inflexion imaginaires sont sur la parallèle à u dont les distances à u et à s sont entre elles dans le rapport 1 : 2.

Cubique mixte. — • G 3 est une parabole, A son point à l'infini, u la droite à l'infini, Y le point à l'infini, de la tangente au sommet, sur l'axe de la parabole : la cubique dérivée de C' par la transformation pseurlo-newlonienne [Y, 0, u] touche la parabole en son point à l'infini A, a un point double en et la tangente au sommet A' de la parabole pour asymptote d'inflexion. Elle passe par les deux points où G 3 est coupée par la polaire s de 0, et ses tangentes en ces points sont parallèles à Taxe de symétrie; la droite des points d'inflexion est parallèle à s et à une distance de cette droite égale à celle du point 0. Gette cubique a été étudiée par M. Henkel sous le nom de Tangentencurve de la parabole (*); en particulier, si est sur la directrice de la parabole G*, nous avons la cubique appelée mixte par M. De Longchamps. En appliquant à la parabole C 2 la transformation [Y, A 09 , «], on obtient la cubique de M. Henkel et celle de M. De Longchamps comme Robervalliennes.

(*) Inaugural Dissert., citée.

Cubique d'Agnesi. — C est une ellipse dont le petit axe À'A est la moitié du grand axe; et Y sont à l'infini dans les directions respectivement du petit et du grand axe, u est la tangente

au sommet A, s la droite du grand axe, *' la droite symétrique de s par rapport à la tangente au sommet A' : la transformée de C* soit par [Y, Ooo , t*], soit par [Y, A, s] est la versiera d'Agnesi (*), et la première de ces générations montre qu'elle

(*) Si G est le pied de l'ordonnée du point P de l'ellipse, et a l'intersection de la tangente en P avec Taxe |AY|, la droite |A'«| coupe le cercle décrit sur le diamètre A'A au centre M du segment PG : cela posé, les triangles semblables A'MG et A'» A donnent A'G : G M «- A'A : A», ou bien A'G : GM » A'A : GP\ et cette proportion montre que le lieu de P' est bien celui défini par Aonbsi. (Inttituzioni analitiche, t. I, p. 381. Milano, 4748.)

Fig. 8.

est une Robervallienne de l'ellipse C*. La versiera passe par les sommets de C* sur le grand axe, touche C au sommet À, a un point double isolé à l'infini en 0; la tangente à C* au sommet A' est asymptote d'inflexion. Les deux autres points d'inflexion réels de la cubique tombent sur la médiatrice du segment qui joint le centre de I ellipse au sommet A, et on les construit par suite aisément; les antitangentiels du sommet A sont les points extrêmes du grand axe de C 4 . Nous pouvons construire aussi les tangentes, imaginaires conjuguées, au point double comme il suit : le sommet A de la cubique, considéré comme cercle-point, marque sur l'asymptote d'inflexion deux points imaginaires conjugués qui sont projetés du point double suivant les deux tangentes cherchées.

Du cercle C) décrit sur le diamètre A'A, on déduit, par les deux transformations indiquées, une cubique ayant même sommet A, même asymptote d'inflexion (la tangente en A') et les ordonnées perpendiculaires à |A'A| moitiés de celles de la versiera; c'est la courbe que Ton a quelquefois confondue avec VAgnesienne et que M. Loria appelle pseudo-versiera (*).

8. Nous allons traiter des cas relativement assez simples où la courbe primitive Cl est d'un degré supérieur à 2. Supposons d'abord que C£ soit une cubique cuspidale en position générale : nous avons w = n=3, la transformée est du sixième ordre et du genre zéro, a un point triple d'inflexion au premier pôle Y, un point triple ordinaire au deuxième pôle et | [(2 x 3 — 3)3 — 1] = i points doubles dont un est un rehaussement de la première espèce, dû au rebroussement de la courbe primitive; on en conclut <î = 9, x = 1 et la classe de la transformée est 9.

Si la courbe primitive Q a un point simple au premier

(*) Versiera, Visiera e Pseudo-versiera. (Bibliotheca mathematica de M. G. En est RÔM f Stockholm, 4897, pp. 7-il) Voir aussi les notes de MM. D'Arcais, Peano et Rébière dans Vtnterméd. des Math cm., année 1895, p. 83.

pôle Y, sa transformée (voir le n° S, a) est une quintique unicursale ayant en Y un point triple d'inflexion avec une coïncidence (deux des tangentes stationnaires vont tomber sur la tangente de Cl en Y), un point double au deuxième pôle, et deux autres points doubles que Ton détermine sans peine en observant que dans le cas actuel la courbe C est une conique (*); comme le point triple est équivalent à deux points doubles ordinaires et un rebroussement de première espèce, nous avons 3 = 3 + 2 = 5, x «= 1 et la transformée est de la classe 7.

Si la courbe primitive est une cubique Cî de la quatrième classe ayant un point d'inflexion au premier pôle Y et son point double au deuxième pôle 0, sa transformée est le produit d'un faisceau quadruple Y et d'un faisceau double 0; cette dernière courbe est donc unicursale et du sixième degré, et a en un point double avec les mêmes tangentes de Q (voir § 5 6) ; Y est un point quadruple spécial d'inflexion, trois des tangentes stationnaires en ce point coïncident avec la tangente stationnaire de C* et l'autre est la tangente à C\ issue de Y ; la sextique possède encore trois autres points doubles (**).

Considérons encore la transformée pseudo-newtonienne du folium parabolique droit en prenant le sommet A du folium pour deuxième pôle. La droite | AY | se détache une première fois de la transformée, car elle est tangente à la primitive (n° 3, d), et une deuxième fois, car Y est un point simple (n° 3, a); la droite à l'infini s'en détache deux fois, car elle est tangente stationnaire en Y (n° 3, c). La courbe résiduelle est donc une cubique parabolique ayant un point d'inflexion en Y et un point isolé en A (***).

Si la courbe donnée est une quartique tricuspidale, CJ en

(*) Salmon, Courbes planes, p. 259 de l'édition française.

(") On ne connaît pas, je crois, rabaissement de la classe dû a la singularité extraordinaire rencontrée au point quadruple Y. Pour le cas du folium de Descartes, comparez Brocard, loc. cit., p. 40.

(**•) Si Féquation du folium parabolique, rapporté à l'axe de symétrie et à la tangente au sommet, est m (x + a % ) — ay', celle de sa transformée pseudo-newtonienne est 9 x s = a (3 x* + i y').

position générale, sa transformée est unicursale et du degré 7, a un point triple d'inflexion au premier pôle et un point quadruple ordinaire au second pôle; comme la courbe C v dans le cas actuel est du degré \ [(2.4 — 3)3 — 3] = 6, et que des six points doubles auxquels elle donne lieu il y en a trois qui sont des rebroussements de première espèce, correspondant aux trois rebroussements de la courbe primitive, nous avons £«=-6-*-3-+-3 = 12, x=3, et la transformée est de la classe 9.

Milan, le 20 mai 1899.