Si un triangle ABC satisfait à la condition

on a

A C B A C cotg +cot- = cot- , cot-cot- = 2 ?

3 (1 + cos A cos C) = 5 (cos A -f- cos C) f

+ n=2r, H=-ac;

Tb Ta r 9 V •

r, Tay n, r e désignent les rayons des cercles tritangents, et h la bissectrice de l'angle B. (G. de Longchamps.)

934. Soient AB = 0, BC « b 9 CD = c, T>A = d les côtés d'un quadrilatère inscriptible, et soient a, (3, y, 3 les perpendiculaires abaissées d'un point intérieur sur ces côtés. On a la relation

ay + col = W + ij3.

Soit B le point de rencontre des côtés b 9 d et supposons que CD passe entre AB et B. On a :

tfa-f BE./3 + EA . c? = ABE, — Cy + B C . + B D . J = C DE,

d'où, par division,

g« + BE. j9+EA.<? AE . BB

— Cy + EC./S + ED.a^DE.CE'

chassant les dénominateurs et calculant BB, AB, DE, CE en fonction de a, b, c, d, on trouve la relation proposée.

Lorsqu'on sait que a, /3, y, 3 sont liées par une équation de la forme

M« + Ny = P/3+Q* f

on peut déterminer M, N, P, Q en plaçant le point successivement en A, B, C.

QUESTIONS PROPOSÉES

1959. Si Z, m 9 n sont les projections des trois côtés d'un triangle' sur une même direction, quelle doit être cette direction pour que P -(- m 2 -\- n 2 soit maximum ou minimum? (E. Lemoink).

x l£5§. Dans un triangle isoscèle ABC de base BC. représentons par h la hauteur issue du sommet A et par H les hauteurs égales issues de B et C. Suivant que l'angle A est supérieur ou inférieur à un droit, H* est supérieur ou inférieur à 2h 2 . (Droz-Farnt.)

1959. On donne une circonférence C 2 , dont le centre est C, et un de ses points P. Soit M un point mobile sur C 2 . Si nous appelons r la parallèle conduite par M au diamètre qui passe par P, s la parallèle conduite par le même point à la tangente en P, d le diamètre passant par M, t la tangente en M à C* et f la parallèle conduite par C à t\ en considérant les intersections des droites r, s, 4, t> V avec la circonférence y 2 qui a pour centre M et pour rayon MP, démontrer que :

1° le lieu des intersections de r et y 2 est un trifolium rectum.

2° le lieu des intersections de 8 et y 2 est un folium double.

3° les lieux des intersections de y* avec d, t ou V sont des sextiques tricircuïaires. Etudier leurs formes et indiquer leurs points multiples.

Cardoso-Laynbs.

f MO. Etant donnée la chaînette

on mène l'ordonnée MP d'un point quelconque de la courbe. Du pied P comme centre avec le rayon a on décrit une circonférence. On sait que la tangente en M à la chaînette touche cette circonférence. Quelle est l'enveloppe de la seconde tangente menée de M à la circonférence?

(H. Brocard.)

Plus généralement, en chaque point M d f une courbe donnée 2 on mène la symétrique V de la tangente t à 2 par rapport à l'ordonnée de M; cette droite enveloppe une nouvelle courbe 2'. Comment construit-on le point de contact de t' avec 2'?