REMARQUES SDB CERTAINES QUESTIONS DE GÉOMÉTRIE INTRINSÈQUE
par M. E. CbsÀro (Suite, v. pp. 5, 37).
18. Passons au cas où d est la binormale d'une courbe (M<)> qu'il s'agit de déterminer. Il suffit de remarquer que dix est la distance entre d et d\ pour avoir immédiatement, en vertu de la formule rappelée au commencement du § 2,
ds x ag + fo + yC
* l/a* + fr + y*
où le signe a été choisi de manière que, lorsque (Mi) coïncide avec (M), on ait dêi = ds. En d'autres termes, d$% = — p\dv\ puis
Pour calculer la flexion, nous rappellerons que les cosinus (18), qui définissent la direction de la tangente à (M,), ont leurs variations proportionnelles aux variations des cosinus correspondants de la binormale :
a b c ti
Il en résulte
1 dsds • ds/dsy • •
— =3-3- 2 aa = — ( — ) 2 pi dadsi d(s\d$x/
On parvient ainsi à la formule
«8 + (3y + yz (« 2 + /3 2 + y) a
dans laquelle il faut encore remplacer x, y, z par leurs valeurs (18).
14. Appliquons les formules qui précèdent au cas où d est une normale quelconque de (M), faisant l'angle ^ avec la normale principale; et cherchons comment doit varier afin que d soit constamment la binormale d'une courbe (M f ). A cause de « = 0, p = 0, on voit que, pour
satisfaire à la condition (9), il faut que g ait une valeur constante : soit ç ™ îo — — a • Donc M ( appartient, quel que soit <J/, à une circonférence, de centre M et de rayon a, tracée dans le plan normal de (M). Or on sait que cette circonférence est la caractéristique d'une sphère de rayon a, dont le centre se déplace sur (M), de sorte que MM,, binormaîe de (Mi), est normale à l'enveloppe de la sphère. Donc (M,) est une ligne asymptotique de cette enveloppe. La question que nous allons traiter ne diffère donc pas de la détermination des lignes asympto tiques d'une surface-canal . Les formules (8) et (13) donnent d'abord
de /sin 2 ^ . /dty IV dv % cosJ;
ds = V 7" + U"W' q °d? : p"'
puis la condition ç = — # devient
ds r V
cos cos 2
On déduit de là en fonction de s lorsque (M) est connue. On calcule ensuite l'arc et la torsion de (M 4 ) au moyen des formules
Le dernier résultat nous permet aussi de calculer, en nous servant du théorème d'Enneper, la courbure totale de la surface en un point quelconque Mi, et de voir que les centres principaux de courbure sont M et le point de rencontre de MMi avec la droite polaire de (M). On en déduit que les asymptotiques réelles occupent, sur la surface, la région comprise entre la surface polaire et le lieu des binormales de (M), On calcule enfin la flexion par la formule
-sin + + cos<!> / . .
1 r r * ds r / a 3 smd/
p, 2(p-0cos<]/) V pcos<!> ^^(p — acos<|/)
15. Il nous reste à examiner le cas de la normale principale. Pour calculer Tare de (Mi) il nous faudra élever au carré les égalités (12), et les additionner. Il est d'abord utile de remarquer qu'en élevant au carré les déterminants (13) on obtient
après avoir adopté les notations du § 8. On en déduit
m - vir - « + <t\)% , m - 'nr - ?• %-
En outre,
— 7*) (PC - 7*) — 2aâ.2& - 2«t 2«5 — 0.
Cela posé, si Ton opère sur les égalités (12) comme nous l'avons dit en commençant, on trouve
On a aussi, en vertu des mêmes formules.
D f autre part, les formules de Frenet,
x . yy — (3s
a = p — , etc.,
pi ri
multipliées par a?, y, *, et additionnées, nous donnent la première des relations
*» 1 2*(yy-M m d*> = 9l *ï ' r x S *ÏT
Pi 2«»
On obtient la seconde d'une manière analogue, mais en multipliant par yy — fii, etc. Donc
Ces formules sont très-connues; nous aurions pu les écrire immédiatement en observant que pi représente le paramètre de distribution des plans tangents de la surface des normales principales de (Mi), et q t la distance de Mi au point central de la normale principale; et en nous rappelant que
«, — PÎ r « „ P» r î
Lorsqu'on applique ces formules aux courbes (M), considérées dans le§ 10, on vérifie sans peine que les conditions (22) sont également remplies par
les courbes (Mi), après avoir reconnu que n'est autre, au signe près, que l'angle 9, relatif à ces dernières courbes.
16. Quoique les formules établies dans les paragraphes précédents semblent se rapporter à des questions très-spéciales, elles peuvent être utilisées dans une foule d'autres questions de la théorie des courbes et des surfaces. Proposons-nous, par exemple, de déterminer les géodésiques d'un hélicoldt à plan directeur. Ayant pris comme courbe fondamentale une de ces géodésiques, l'observation finale du § 8 nous apprend que les coordonnées
a = cos (3 = sin^, y = 0, ? = 0, yj = 0, Ç =
de la génératrice d doivent satisfaire à la condition (20) quel que soit q. Il faut donc que l'on ait
2(/5Ç-y^)? = 0, l(4-«i) = 9 2((3y-y(3)« = 0. (23) La première condition devient
tg2+ y
ou bien ^ = ±9: elle nous dit que la tangente à (M) et sa conjuguée (génératrice de la surface rectifiante) sont symétriques par rapport à d. Cela devait être; car, toute trajectoire orthogonale des génératrices étant une ligne asymptotique, l'indicatrice de Dupin (dont d est une asymptote) est une hyperbole équilatère. Si l'on tient compte du résultat qui précède, la deuxième condition devient
Idtf + fiin 9 . dl = 0,
d'où J=#cot^> ou bien, en remplaçant l et 9 par leurs expressions en r et p,
\^~r* ar) a*\p~t*J Ainsi les courbures de toute géodésique de l'hélieoïde sont liées entre elles par une relation du quatrième degré. Enfin la troisième condition, si l'on y remplace 9 en fonction de l, donne successivement
(PI 4aH /diy . 4a 2 di^^+Pf' (ds) + ¥TJi -constante.
Une nouvelle intégration permet de calculer l (et par suite 9, puis p et r) en fonction de s; et l'on parvient ainsi aux équations intrinsèques des courbes cherchées.
19. La détermination des lignes de courbure de Vhélicoîde est tout aussi facile. Par rapport au trièdre fondamental d'une telle courbe, les coordonnées de la génératrice d sont
1 /) sini co8 \h „ ^
où rdty = ds, puisque la projection de d sur le plan normal doit engendrer une surface développable (circonscrite à la surface). On retrouve, d'ailleurs, l'égalité précédente en appliquant la première des conditions (23). Les deux autres conditions donnent
ds'xnd) sin2iL . olv sinJ/ 1
— 1= I, l + cos 2 ^i)— X — -.
ds p p* v 1 T 2p r
On trouve ensuite, par une combinaison convenable de ces deux égalités,
3 sin dt 4 cos ,
pd — 1 *=t—\ T7*H
r p 1 + cos J tp
puis, en intégrant,
sinit C 4d%mù . sin 1 it , M A
l0g p =] (1 + cos' ifÔ sin If " l0g ï+^+ C0Mtante -
1 + cos* J/ a Donc p = a ' . » r = — - .
2 sin y 8in'^
Il suffirait d'éliminer entre ces égalités pour s'apercevoir que, pour ces lignes aussi, il y a une relation du quatrième degré entre les courbures. Enfin, si Ton remplace par sa valeur en fonction de s, qui résulte de la relation
s = frdty = — a cot ,
on trouve que les équations intrinsèques des lignes de courbure de Vhélicoîde sont
pr= 3 r = aA — •
Dans ces équations, la constante a représente le double du paramètre de distribution des plans tangents à l'hélicoïde : c'est ce qu'on vérifie aisément au moyen de la formule
= a£ + py) + yg p sin j i 1 i» + (5i^yt 1 + cos , t|/ = "2 a
19. Nous allons faire une dernière application des formules (1) en cherchant les courbes dont les tangentes appartiennent à un complexe linéaire (*). Les coordonnées a, (3, ... , Ç de l'axe d doivent satisfaire aux relations (1) lorsqu'on y fait a = 0, |3 = 0, Ç = 0, de sorte qu'on sait exprimer leurs dérivées en fonction des coordonnées elles-mêmes et des courbures de la ligne inconnue (M). La droite d et la tangente à (M) doivent être telles que le produit de leur distance par la tangente trigonométrique de leur angle reste constant. On doit donc avoir \ — a<x. Une première dérivation donne Ç = ay, et l'on voit que la normale principale appartient aussi au complexe. On en déduit immédiatement le théorème de M. Appell : le plan polaire de M, dans le complexe, est oscillateur à (M). La dérivation de la dernière égalité donne encore y\ = (a — r)(3. En remplaçant l, yj, Ç par les valeurs précédentes dans 4" P*î + y£ = on trouve successivement
a /* dp d y -
puis
p \ds^rj dt* V rV r 2 Enfla la substitution de ces valeurs dans la relation «' -f- |3 J -{- y 2 = 1 nous donne
On voit qu'on peut se donner arbitrairement la torsion en fonction de Tare; puis, après avoir calculé la flexion au moyen delà dernière équation, on peut affirmer que la ligue trouvée appartient par ses tangentes à un complexe linéaire, dont on sait déterminer l'axe au moyen des formules qui précèdent^*).
(*) Picard. « Traité d'Analyse » 1. 1, p. 354. (*+> Rectifications. P. 39, 1. 1 et p. 40, 1. 1, lire où au lieu de eu
SUR TROIS PARABOLES ASSOCIÉES A ON TRIANGLE ; par M. Droi-Farny.
Soient A , B , C les milieux des côtés d'un triangle ABC, et A', B', C les pieds des hauteurs, qui se coupent en H.
Prenons sur BC deux points M, M' symétriques par rapporté A», et élevons en ces points sur BC des perpendiculaires, qui rencontrent AC en Q, Q' et AB en P, P'. Les droites PQ' et P'Q, lorsque la distance A M Tarie, enveloppent une même parabole n a ; en effet, les points P et Q, P' et Q' se correspondent dans deux ponctuelles semblables.
La parabole 7r„ touche les supports AB, AC des deux ponctuelles en des points q , p 9 qui sont les homologues de leur intersection A considérée comme élément de l'autre ponctuelle; on obtient ces I points de contact en faisant I coïncider MP avec A'A, ce I qui amène M'Q'sur la droite I Nqp symétrique de AA' par H rapport à A . Un diamètre I de la parabole est donc M WFM la droite A"Ar menée par I W9I le milieu de pq. Les droites H Ap, Ag, Ar, AA'formant un | faisceau harmonique, sont coupées par BC suivant une division harmonique; donc A" est le conjugué harmonique de A' par rapport à BC,et,par suite, appartient à la droite B'C-
On peut supposer les points M, M' en B,C; par conséquent, si l'on élève B/3', C/ perpendiculaires à BC et rencontrant AC en /3', AB en /, les droites BC, {3'/ sont des positions des droites PQ', P'Q.
Les droites MP, M'P' peuvent se confondre avec la médiatrice A,(3y de BC. (3y est donc une tangente de 7i a ; son point de contact est évidemment le milieu de (3y.
BC et A /3y étant deux tangentes rectangulaires, la directrice de 7r„ est la droite HA qui joint leur point de concours À à Forthocentre H du triangle ABC circonscrit à la parabole. Remarquons en passant que les droites HA , HB , HC sont perpendiculaires aux droitesAA",BB",CC".
Le foyer F doit se frouver sur la circonférence ABC et sur Tisogonale du diamètre AA" par rapport à l'angle des tangentes AB, AC. Si donc AA" coupe la circonférence en /, il suffit de mener la corde /F parallèle àBC.
Le triangle APQ' et celui qui est formé par BC, A (3y et la droite de l'infini sont circonscrits à une même conique ; ils sont également inscrits à une même conique. Autrement dit, il existe une hyperbole équilatère passant par les points A, P, Q', A et dont les asymptotes sont parallèles aux droites A (3y, BC. Cette courbe est l'hyperbole d'Apollonius du point A par rapport à la conique qui a pour foyers les points B, C, et pour directrices les droites MP, M'Q'.
On peut imaginer deux autres paraboles analogues à ir af inscrites au triangle ABC et touchant respectivement les médiatrices des côtés BC, CA.
NOTES MATHÉMATIQUES
S. Sur un cas particulier du théorème de Maclaurin et Braikenridge, par M. Pirondini (Parme). — 1° On donne deux droites Ox, Oy et deux points A, B. Une droite A'B' se meut parallèlement à elle-même; soient A', B' les points où elle coupe 0$, Oy. Les droites AA', BB' se coupent en un point P qui engendre une conique.
Si Ton prend pour axes les droites Ox, Oy et que Ton désigne par (a, b), (c, d)\e8 coordonnées des points A,B, l'équation du lieu de P est
(1) bx* + (hd — a)xy — kcy x — b {c + kd) x-\-c(a + kb)y = 0,
où il représente le rapport OA' : OB'.
2° Examinons quelques positions particulières de la droite A'B'. Lorsque cette droite passe par 0, P coïncide avec 0. Quand elle se transporte à l'infini, les droites AA', BB' deviennent parallèles à Qx, Oy et déterminent un point Oi de la conique. Menons par A et B des parallèles AiB,, A 3 B 2 à A'B'; soient Ai, B,, A 2 , B% les points où
elle* coupent Ox, Oy : les pointa Bj, A 2 appartiennent à la courbe. Enfin, par les points A$, B 4 où la droite AB rencontre Ox, Oy, menons A 5 Bs, A 4 B, parallèles à A'B' : les positions de P qui correspondent à A3B3, A*Bi sont les points donnés B, A, et les tangentes en ces points sont BB 3 ,AA 4 ; c'est ce qu'on vérifie facilement en considérant la sécante A'B' dans une position infiniment voisine de A S B S ou de A<B*.
3° Une conique quelconque 2 admet le mode de génération considéré ici. On peut même prendre arbitrairement pour O un point quelconque de la courbe, tracer à volonté les droites Ox, Oy et se donner la direction A'B' ; car si Ton compare l'équation (1) à l'équation générale hx* + 2Bxy + Cy* + Dx + Ey =
des coniques passant par l'origine des coordonnées, on trouve que a, b, 6. d sont définis par les égalités
k (ACD + 2£ABE — CE) a ~~~ AC (* f A - 2kB + C) ' b== k (&AE — CD) C (**A — 2AB + C)
Pour construire les points A et B, menons par les points A 2 , B, où 2 coupe Ox 9 Oy, deux parallèles A 2 B 2 , A,Bi à une même direction A'B'; soient A, B les points où elles rencontrent 2. La conique qui est engendrée d'après le mode expliqué ci-dessus, au mojen des points A, B, des droites Ox 9 Oy et de sécantes parallèles à A'B', a, avec la conique donnée I cinq points communs, savoir O, A 2 , Bi„ A, B; par suite les deux courbes sont identiques.
4° Soit à tracer une conique par cinq points donnés que nous appelons pour plus de facilité O, O c , A, B, P. Nous menons les droites Qx, Oy respectivement parallèles à O.A, dB; elles coupent AP en A', Oy en B'. 11 suffit maintenant de mener dans l'angle xOy une parallèle quelconque ab à A'B', et de joindre A à a, B à b\ les droites Aa, Bb se couperont constamment sur la courbe cherchée. On voit aussi comment on tracerait les tangentes aux points A et B.
9. Note de Géométrie, par M. Gob, professeur à Hassel*. I. Si, par le centre O du cercle circonscrit à un quadrilatère ABCD, on mène une droite telle que O soit le milieu du segment de cette droite limité aux côtés AB et CD, le point O sera aussi le milieu des segments limités sur cette droite par les côtés AD, BC et par les diagonales AC, BD.
Cela revient à dire que si Ton construit les polaires du point par rapport aux angles formés par les droites AB et CD, AD et BC, AC et . BD, ces trois polaires sont parallèles. En transformant la figure par polaires réciproques par rapport au point O t ce théorème revient au suivant : Les milieux des diagonales d'un quadrilatère ioscriptible sont en ligne droite avec le centre du cercle circonscrit.
II. Etant donné un quadrilatère ABCD, trouver le lieu d'un point M par lequel on puisse mener une droite telle que les trois segments situés sur cette droite et limités aux droites AB et CD, AC et BD, AD et BC aient pour milieu commun ce point M.
On voit comme précédemment que le point M est le centre d'une conique circonscrite au quadrilatère ABCD. Le lieu de M est donc la conique des neuf points de ce quadrilatère.
La théorème I se déduit du théorème de Sturm sur les faisceaux de coniques; le théorème II est équivalent au théorème de Newton sur les coniques tangentes à quatre droites.
"BIBLIOGRAPHIE
New Plane and Solid Geometry by W. W. B&man, Professor of Mathematics n the University of Michigan, and D E. Smith, Priacipal of.the State Normal School at Brockport. New York, Bo3ton, U. S. A.» Ginn and Co, 1899 (Cartonné in 12 de 1X-382 p.) Prix : 1,25 dollar.
Cet ouvrage est une édition revue de la Géométrie plane et solide de MM. Beman et Smith publiée en 1895. Sans se départir des principes qui les ont guidés dans la première édition (combinaison de la rigueur euclidienne avec les formes modernes de démonstration), ils ont fait ça et là des suppressions ou des additions, de manière à rendre le livre plus pratique pour les maîtres et les élèves.
Sommaire. — Introduction (définitions; les démonstrations en géométrie; propositions préléminaires). Géométrie plane. 1. Triangles; parallèles; problèmes; lieux. 2. Égalité des polygones. 3. Cercle (angles au centre; cordes, tangentes; angles formés par les cordes et les tangentes; triangle et quadrilatère inscrit ou circonscrit; deux cercles). Appendice : méthodes. 4. Rapports et proportions (propriétés fondamentales; théorie des limites; faisceaux de droites coupées par des parallèles, ou par des antiparallèles, ou par une circonférence; figures semblables). 5. Mesure des figures planes; division des polygones; polygones réguliers; mesure du cercle. Appsndice. Propriétés métriques; maxima et mini ma; lignes concourantes diverses; collinéarité. Géométrie solide. 6. Lignes et plans dans l'espace; faisceaux; angles polyèdres. 7. Polyèdres réguliers ou non; prismes, pyramides,
8. Cylindre; cône; sphère; géométrie de la sphère; mesure de la sphère; solides semblables. Tables: Table numérique; biographies; étymologies; index.
Les démonstrations sont réduites a leurs points essentiels; le livre contient beaucoup de problèmes et d'exercices. Les figures sont très bien faites et très intuitives.
Geometrïsche Aufgaben. Ein Lehr» und Ùbnngsbuch zum Gebranch beim Unterricht an hôheren Schulen, bearbeitet von Prof. Dr. M. Schuster, Oberlehrer an der Oberrealschnle zu Oldenburg. Ausgabe B. Fur Progymnasien und Reaise hulen, Leipzig, Teubner (Cartonné, in 8° de VIMll p. avec 2 planches lithographiées). Prix : 1 marc 60.
Cinq cents problèmes très bien classés sur toutes les parties de la géométrie plane.
1. Geometria metrica e trigonometria per S. Pincherle, Prof, nella Università di Bologna. Quinta edizione. Hoepli, Milano, 1900 (Cartonné, IV-158 p. in 18 47 fig. dans le texte). Prix : fr. 1.50.
2. Geometria e Trigonometria délia s fera, per Prof. C. Alasia. Hoepli, Milano, 1900 (Cartonné, VIT-207 pp. in 18, 3i fig. dans le texte). Prix : fr. 1,50.
3. Metodi facili per risolvere i problemi di Geometria elementare deir Ing. 1. Ghrrsi. Hoepli, Milano, 1900 (Cartonné, X1I-J90 pp. in 18, 126 flg, dans le texte). Prix : fr. 1,50.
Ces trois petits volumes appartiennent à l'excellente collection des Manuels Hoepli.
Le premier comprend la mesure des angles plans, des aires planes rec! il ignés, les relations entre les éléments d'un triangle, la mesure du cercle; la mesure des angles dièdres, du prisme, de la pyramide, du cylindre, du cône, de la sphère (volume et surface); la théorie des fonctions circulaires; la résolution des triangles.
Dans le second, l'auteur a réuni la géométrie de la sphère (le livre VII de Legendre) et la trigonométrie sphérique.
Le troisième contient environ deux cents -problèmes de géométrie plane résolus systématiquement d'après diverses méthodes (examen de la figure où Ton suppose le problème résolu; artifices divers; méthodes des lieux géométriques; similitude, etc.).
Pafnouty Lvovitch Tchebychef (prononcez Tchebychof), le plus éminent des mathématiciens russes contemporains, né le 14|26 mai 1821, de parents nobles résidant dans le gouvernement de Ealooga, district de Borovsk, est mort à Pétersbourg le 26 novembre (8 décembre) 1891.
ESQUISSES BIOGRAPHIQUES Tchebychef (1S9I-180A).
Tchebychef, après de solides études à l'université de Moscou, publia de 1843 à 1853, de savants travaux sur le calcul intégral, la théorie des séries, le calcul des probabilités, et la théorie des nombres, qui le firent nommer successivement professeur de mathématiques appliquées, puis professeur ordinaire à l'Université de Pétersbourg, et plus tard, membre de l'Académie de cetts ville (1859). 11 faut citer particulièrement, dans cette période de sa vie, ses Mémoires sur le nombre des nombres premiers (1845, 1850) et son analyse magistrale de l'œuvre entière d'Euler, en arithmétique supérieure, en tête de l'admirable édition des Commenlationes arithmeiicae de ce géomètre, édition qu'il fit paraître, avec Bouniakofsky, en 1849.
Pendant plus de quarante ans, Tchebychef n'a cessé de publier de nouveaux mémoires, où abandonnant les recherches de mathématiques pures qui avaient occupé sa jeunesse, il applique son rare esprit d'invention à déterminer, dans une foule de domaines, avec V approximation la plus grande possible, la valeur de certaines quantités définies, dans vn intervalle donné* par l'analyse, la géométrie ou la mécanique. Bien entendu, dans ce genre de calcul approché où il est chef d'école et maître incontesté, il rencontre maintes fois, chemin faisant, des vérités nouvelles et très cachées d'analyse pure, mais elles semblent pour lui un moyen ou an résultat plutôt que le but principal de ses recherches.
Voici la liste rapide de quelques-unes des questions qu'il a ainsi abordées : 1. Détermination des polynômes entiers ou des fractions rationelles qui diffèrent le moins possible dans un intervalle, d'une fonction donnée, de zéro, d'une racine carrée etc., le polynôme étant croissant ou décroissant dans l'intervalle, ou variant toujours dans le même sens; application à la théorie des mécanismes et des cartes géographiques. 2. Intégration finie des différentielles irrationnelles, en particulier des différentielles binômes, à propos desquelles il prouve que les deux cas connus d'intégrabilité sont les seuls, des différentielles elliptiques et de celles qui renferment un radical cubique. 3. Application de la théorie des fractions continues à la théorie de l'interpolation par les moindres carrés, où il retrouve comme cas particuliers, les développements les plus célèbres de l'analyse, et où il détermine des limites remarquables pour certaines intégrales définies. 4. Nouveau calcul des variations où il s'agit de trouver une fonction y 9 par la condition que la somme des valeurs de F y, y', y", etc.) pour n valeurs déterminées de x % soit mioima ou maxima, puis d'autres questions connexes, dont quelques-uns touchent à la théorie des nombres et à la théorie des fonctions. 5. Valeurs limites des intégrales et des somme?, sujet où, comme dans les précédents, il manie avec la plus grande habileté, la théorie des fractions continues algébriques et où il a été suivi par plusieurs géomètres russes qui ont complété et simplifié ses travaux. 6. Recherches sur la méthode des moindres carrés, où il détermine des limites rigoureuses entre lesquelles sont comprises les sommes ou intégrales considérées.
Tchebychef s'est beaucoup occupé de mécanismes (parallélogramme de Watt, inverseurs et systèmes articulés, etc*). On lui doit plusieurs machines ingénieuses, dont nous ne citerons qu'une seule très curieuse que nous avons vu fonctionner : le mécanisme qui marché à la façon du cheval.
Tchebychef fat nommé Correspondant de l'Académie des sciences de Paris, en 1*60, associé en 1874 : c'est le premier russe qui ait eu cet honneur depuis Pierre-le-Grand.
L'Académie de Péterabourg publiera deux éditions complètes des Œuvres de Tchebychef, en russe et en français. Le premier volume de l'une des deux éditions « VI-714 p.)» nous ne savons laquelle, vient de paraître par les soins de MM. Markof etSonine(»). (P. M.)
SOLUTIONS DE QUESTIONS PROPOSÉES
Question 984.
(Voir Mathesis (2), II, p. 216).
Trouver
Posons A
sin (x — «i) sin (x — a 2 ) ••• sin (x — a m ) sin (x — bi) sin (x — b 2 ) ••• sin (x — b n )
dx
(J. Neubbrg.)
• COS b n ,
cos 0i cos fl 2 ••• cos a m , B = cos b\ cos b» tg a = X, tg ai = A<, ig bi = B,.
Les termes de la fraction (1) pourront s'écrire ainsi :
A cos- x(X — Ai) (X — Ai) ••• (X — A m ), B cos- x (X — B,)(X — B 2 ) — (X — B„).
Nous ferons abstraction des facteurs constants A et B, et nous distinguerons trois cas.
1° m = n. L'intégrale cherchée ayant la forme
f(X — A.UX — A 2 ) ... (X — A m )
introduisons au dénominateur le facteur cos 2 x (X* 1), qui est égal
à l'unité, et décomposons la fraction rationnelle
(*) La présente notice est un résumé de la brochure intitulée : P. L. Tchébyektf et son œuvre scientifique, par A. Vassilief, professeur à l'Université de Easan. Turin, Charles Clause a, 1898 (56 p. in 8° avec portrait. Extrait du Bullettino di bibliografia e storia délie scienze maternât iche pubblicata per cura di Gino Loria, 1893). On trouve dans cette brochure un beau portrait de Tchebychef et une liste de ses travaux.
en éléments simples :
CX + D . C, . C 2 Cn
L'intégrale (2) étant ainsi ramenée à
f(otgg+D)te+r , ^ —
est égale à
— 0/ cos a? -f-Ds-j-C^tg a; — tg ^,)-J = D«+C|Zsin (a?, — i t ) —
puisque
C + C. + CH f-C n =0.
Nous aurions pu également partir de la forme donnée à la fraction (1) dans la question 1178 (*).
2° m < n. On a à chercher
Ç (X-A,)(X-A,)-(X-A.) J cof— *(X - B.) (X — B,) ... (X — B„) ' W Si » — w est un nombre pair 2k, remplaçons cos" x par cos* x (X* + l)~* +l , et décomposons en éléments simples la fraction rationnelle
(X 2 + 1)*- 1 (X — Ai) (X — A 2 ) ••• (X — A m ) (X — B,)(X-B 2 )...(X — B n ) dont le numérateur est de degré n — 2 en X. L'intégrale (2) sera ramenée à une somme d'intégrales de la forme
C dx
. — v- — l (tg X — tg l % ) .
Jcos»a?(tga? — tg*o
Si » — m est un nombre impair 2k-\-\, remplaçons cos n ~ m x par cos x (X 2 -j- 1)-* et décomposons en fractions simples l'expression (X' + l)* (X — AQ (X — A«) (X — A m ) (X — Bi)(X — B.)...(X — B.) dont le numérateur est de degré n — 1 en X; nous aurons alors une somme d'intégrales de la forme
I Z —— = CiQ08bi -— r = CiC08Ùi. ltg-(x — bi).
J cos0(tg# -tgJ<) J sm (x — h) 2 .
(*) Voir Mathcsis, (2) IX, p. 260. La fin de la solution de cette question 1178 contient un lapsus : dans les quatre dernières lignes, il faut lire x — b % su lieu de x — a,.
3o m > n. On a à chercher
(X — A,) (X— Ai) ••• (X — A m ) . , À ,
cos m ~ n x — Ht ( 4 )
Si m — n = 2k, remplaçons cos n x par —-— ^ — ^ k+x » et décomposons en éléments simples la fraction
(X — A,) (X — A,) "-(X — AJ (X* + 1 / + 1 (X — B, ) (X - B a ) • • • (X — B„) '
dont le dénominateur est de degré m-\-2 \ l'intégrale sera décomposée en termes de la forme (abstraction faite d'un facteur constant)
dx
cos a # (X* + \y m
dx
» fcos*p-' 2 xdx,
= l (tg x — tg bi).
C08 a X (tg X — tg Oi)
Enfin, lorsque m — n = 2k -j- 1> l'expression (4) peut s'écrire 1 (X — Ai) (X — A 2 ) ... (X - A.) ix
)co8X (X* -j- 1)' + 1 (X — B,) ... (X — B») et en décomposant, on est conduit à des intégrales de la forme
f r^v — ; — rr" = i cos 2p ~ 1 xdx
Jcosa?(tg 2 ^+l)p J
