OT V

LE TPE

en substituant pour T et V leurs valeurs complètes

.2 d 2 : 24 2 dr?

ns ee V = — grcos à,

et faisant ensuite r constant, on aura ainsi

T OT r(db?+ sin ÿ° do!) SV PRE CRE ne

et, par conséquent,

r(dh+sin ÿ*d ?) 2'T V

où l’on remarquera que 2T = w° (art. 12) ; de sorte que la tension du fil qui Ft u° forme le pendule sera exprimée par — + g COs A. Quand le pendule se meut dans le vide, on a, par le même article, € étant Ja vitesse lorsque À — 0, |

u—92(H—V)—c—2gr(1 — cos); et la tension, désignée par À, aura pour valeur

1=— — g(2— 3cos+4).

25. Nous avons supposé jusqu'ici la longueur du pendule invariable ; mas, si cette longueur variait d’un moment à l’autre, suivant une loi connue,

en sorte que r fut une fonction donnée de #, il faudrait alors supposer r variable dans les équations différentielles ; mais on aurait également dr — 0, comme dans le cas de 7 constant : ainsi on poserait les équations

T p? (sind? do? + dd?)+ dr D | | HA

3 de?

V— — greos\;

l'équation relative à r n'aurait pas lieu, mais les deux autres deviendraient

d.r° dŸ r? sin Ÿ cos d do? “es | r PTE PR el oi sind — 0, | d.

Enfin, si le fil qui soutient le corps était élastique et extensible, en nommant F la force avec laquelle le fil tend à se raccourcir, et qui ne peut être qu’une fonction de r, il n’y aurait qu’à ajouter Fôr à JV, et l’on aurait, pour

l’équation relative à 7,

dr r(sinmd’do+ dd?) pe HP AA) à p geo ÿ = 0

les deux autres demeurant les mêmes; et, dans ce cas, on aurait toujours l'intégrale

T+V=H, où V—/fFdr —grcosd.

$ IT. — Du mouvement d'un corps pesant sur une surface quelconque de révolution. |

26. L’axe de révolution étant pris dans l’axe des z, si l’on fait æ — pcos ®, sera l’abscï l’ordonnée de la courb — psiny, z sera l’abscisse et p l’ordonnée de la courbe qui, par sa révolution autour de l’axe des abscisses, forme le solide proposé. Aïnsi on aura une équation entre z et p, par laquelle z sera une fonction donnée de b. Si, maintenaut, on suppose l’axe des z vertical, et les ordonnées z dirigées de haut en bas, on aura

T — p°do° + dp° + dz° 2 o dt? ;

V = — gz,

et prenant p et æ pour les deux variables indépendantes, on aura tout de suite (art. A4) les deux équations relatives à ces variables,

d° do? d°z \ dz 24

dé de di SE ER

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 165 Si l'axe des z n’était pas vertical, maïs incliné à la verticale de l’angle «, la valeur de ‘T demeurerait la même, mais celle de V deviendrait — g(zc0s« — xsinæ); de sorte qu'il n’y aurait qu’à changer dans la prenuière équation g en g cos &, et ajouter à son premier membre le terme & sin & cos @, et ajouter aussi au premier membre de la seconde le terme S sin & Sin @.

En général, quelque changement qu’on fasse à la position de la surface ou de la ligne sur laquelle le corps se meut, la valeur de T d’où naissent les termes différentiels de l’équation ne change pas; il n’y à que celle de V qui dépend de la position de la surface où de la ligne.