J'COS

de sorte que le temps d’une révolution entière du pendule sera exprimé

par 27% À/ —.

Fe Pour que ce cas ait heu, il faut donc que Île pendule reçoive une

vitesse angulaire de rotation, autour de la verticale, exprimée par

LUE / 28 dt COS &

ir po

) laquelle ne dépend que de la hauteur du cône qu'a décrit.

ne qe 2 ÉD en cer e

(*) I faut lire : on devra toujours faire cos = cos 2. (J. Bertrand.)

23. Si le pendule était mü dans un milieu résistant comme le carré de la vitesse, et dont la densité füt exprimée par F, il faudrait, pour avoir les équations de son mouvement, à à V ajouter les termes (art. 2)

2 0 à d'L A T ds (Tr da] —- dde o] e) 9

en retenant l’expression de Ÿ de l’art. 44, dans laquelle r est constant.

Ainsi on aura à ajouter, au premier membre de la première des équations

différentielles de cet article, le terme ee et au premier membre de la L'sin d° dsdo | «di |

Par l'addition de ces termes, les équations qui étaient intégrables cesseront de l'être; mais lorsque la résistance est très-petite à l'égard de la force de la gravité, ce qui a lieu dans les mouvements lents des corps dans l'air, on peut résoudre ces équations par approximation, en substituant dans les termes dus à la résistance, les valeurs de 4 et 9 en t, qui ont lieu dans le vide, et en cherchant les petites quantités que ces termes tout connus ajouteront à ces mêmes valeurs.

seconde, le terme

Les deux équations dont il s’agit seront

dv sin Ÿ cos Ÿ do? Le th $ sind + TE —=0,

d. d. (sind? do) l'sinddsdoe SR NE

. 2 À La seconde étant divisée par nee ts et ensuite intégrée, donne

sin ? do

— Ts — CZ dt :

: étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est 1

Ensuite, la première, étant multipliée par 2d4, et ajoutée à la seconde, mulipliée par 2 dv, donne l'intégrale dd? + sin d° dep 2 g cos cos Ÿ ° ds?

de? r + - ne Jde ds — £,

à cause de r° (dl? + sin d? de*) — ds°.

. . e . s ? Fe Ainsi on aura les mêmes équations différentielles en #, g et À qu'on

a trouvées dans l’art. 41, en y substituant Ci‘ à la place de C, [A d : 5 D F.* et E — — $ . ds à la place de E; de sorte que l’effet de la résistance se

réduira à faire varier ces constantes dans la solution générale donnée plus baut, art. 15, où nous n’avons point eu égard à la résistance, et ou les relations entre les variables 4, & et £ doivent se déduire des équations

Si donc on regarde la quantité C et E comme variables, on aura

r? dt?

dG=rOds, dE d=—2 (E+ 2 cos À) je

sin d V(E+ . cos)

V(E+ = cos) sin d? — C?

Lorsque le pendule ne fait que des oscillations verticales, on a C — 0, et, par

conséquent, ds — d4} ; l'équation en E devient alors intégrable, étant multipliée par & r* ? l'intégrale est

(E) étant une constante arbitraire qui remplace la constante E, devenue variable. Or on trouvera, par des intégrations par parties,

NAS 1 T 2TY Lt r° (sing 2 cosy) f' RE cos LANDE ne te GT :

donc on aura

21 F & SE HEAR (sin de cos À ) :

c'est la valeur qu'il faudra substituer à la place de E dans l’équation différentielle qui donne la valeur de # en 4 ; et en supposant le coefficient F très-

petit, on aura facilement l’altération produite dans la valeur du temps £ par la résistance du milieu.

24. Dans le cas du pendule, en prenant, comme nous venons de le faire, r, ®, À pour les trois coordonnées, on a l'équation r — a, a étant la lonsueur donnée du pendule; donc, par l’art. 14, en changeant £ en r, on aura tout de suite la valeur de À, qui exprimera la force avec laquelle le fil qui retient le corps sur la surface sphérique est tendu.

Cette force sera donc exprimée par