SUR LA ROTATION D'UN SYSTÈME QUELCONQUE DE CORPS

$ [. — Formules générales relatives au mouvement de rotation.

Les formules différentielles trouvées dans la I® partie, pour exprimer les variations que peuvent recevoir les coordonnées d’un système quelconque de points, dont les distances sont supposées invariables, s'appliquent naturellement à la recherche dont il s’agit ici; car cette supposition ne fait qu'anéantir les termes qui résulteraient des variations des distances entre les différents points. En sorte que les termes restants expriment ce que dans le mouvement du système il y a de général et de commun à tous les points, abstraction faite de leurs mouvements relatifs; or c’est précisément ce mouvement commun et absolu que nous nous proposons ici d'examiner.

4. Reprenons les formules de l'art. 55 de la sect. V, que nous avons trouvées par une analyse directe fondée uniquement sur la supposition que les points du système conservent entre eux les mêmes distances. En y chanseant la caractéristique à en d, on aura, pour le mouvement absolu du système, ces trois équations,

dx = dx + zdM — ydN, FR du + zdN — zdL, dz = dy + ydl, — xdM,

dans lesquelles x, y, z représentent, à l'ordinaire, les coordonnées de chaque point du système par rapport à trois axes fixes et perpendiculaires entre eux, et où dA, du, dy, dE, dM, dN sont des quantités indéterminées, les mêmes pour tous les points, et qui ne dépendent que du mouvement du système en général. |

Soient maintenant x”, y', z les coordonnées pour un point déterminé du système, on aura donc aussi

dx” = dA + z'àM — Y'aN, dy'= du x'dN — z'dE,, dz' = dy + y'di, — x'dM;

par conséquent, si l'on retranche ces formules des précédentes, et qu'on fasse, pour plus de simplicité,

T=L+É, Y=y +n, 3= 2/+- C on aura ces équations différentielles dé CdM— AN, dn—{£dN — dl, d£ = 1dl — EdM,

dans lesquelles les variables £, n, { représenteront les coordonnées des différents points du système, prises depuis un point déterminé du même système, point que nous nommerons dorénavant le centre du système.

Ces équations étant linéaires et du premier ordre seulement, il suit de la théorie connue de ces sortes d'équations, que si l’on désigne par £", £”, £" trois valeurs particulières de £, et par n’, n”, n”, et €”, €”, €” les valeurs correspondantes de n et {, on aura les intégrales complètes |

£ .&! dl fl E—u£ +bE + CE”, “= an + bn” + cn”, > io pas gi CAC FC moe a, b, c étant trois constantes arbitraires.

I est clair que £”, ”, ’ ne sont autre chose que les coordonnées d’un point quelconque donné du système, et que de même £”, #”, {” et £”, n°”, €” sont les coordonnées des deux autres points du système aussi donnés à volonté, ces coordonnées ayant leur origine commune dans le centre du système.

Ainsi, en connaissant les coordonnées pour trois points donnés, on aura, par les formules précédentes, les valeurs des coordonnées pour tout autre

point dépendant des constantes a, b, c; mais il faut chercher les valeurs de ces constantes.

Méc. anal, TI. 24

2. Si l’on suppose, ce qui est permis, que dans l’état initial les trois points donnés se trouvent placés dans les trois axes des coordonnées, et à la distance — 1 de l’origine, il est clair qu’on aura alors

2 — I, nn — O, C — O; (/4 [/4 4

ce qui donnera

2, Mer, CCM

Ainsi les quantités a, b, c ne seront autre chose que les coordonnées d’un point quelconque du système rapportées aux mêmes axes. Mais, par le mouvement du système, les axes de ces coordonnées changent de place dans l’espace, en demeurant fixes dans le système, puisque ces coordonnées sont constantes pour un même point, et ne varient que d’un point à l’autre. La position de leurs axes dans un instant quelconque, par rapport aux axes immobiles dés £, 4, €, ne dépendra que des coefficients £”, £”7, €”, », 1", etc. En effet, si l’on fait b — 0, ce — 0, ce qui donne

£ = aË”, Re an’, Û —, al, !

} | | el, par conséquent, de VE -- 4 4

il est facile de voir que les coefficients £”, n”, (” sont les cosinus des angles que l’axe des a fait avec les axes des £, n, €. On voit de même, en supposant a et c nuls à la fois, ensuite a et b nuls ensemble, que les coefficients £”,n”, C” sont les cosinus des angles de l’axe des b, et les coefficients £°”,

/, : A n”, 4 sont les cosinus des angles de l'axe des c avec les mêmes axes des £, M, Ce:

3. Gomme ces coefficients représentent, en général, les coordonnées de trois points donnés du système qu’on a supposés distants de l’origine, d’une quantité — 1, et placés au commencement sur les axes des coordonnées rectangles a, b, c, on aura premièrement ces trois équations :

ge a "ES g": —. ge ne p "2 + a ss 1, pus LE 2j cr ..

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 107 Ensuite, à cause que les distances mutuelles de ces points sont les hypoténuses de triangles rectangles dont les côtés sont — 1, on aura

(EE (un (C 0 ma, (E’ . EU + (a! ne 7} + al "A Us 2, (E"— AS 7e ee ot C") — 2 ;

d’où l’on tire ces trois équations EE Lan n + C0; En n + C'C"—=0, EVENE nn LE PO 0,

Ainsi l’on a, entre les neuf coefficients £”, #7, £", n”, n”, etc., six équations de condition par lesquelles ils se réduisent à trois imdéterminées. q

4. Au moyen de ces équations, les expressions générales des coordonnées £, n, C de l’art. 4 satisfont à la condition primitive que la distance entre deux points quelconques du système demeure invariable. En effet, si £, n, C sont les coordonnées d’un de ces points, et £1,11, Ci les coordonnées d’un autre point, le carré de leur distance sera exprimé par

EE (nn + (CG)

et si l’on désigne par a1, b1, cr les coordonnées relatives aux axes des a, b, c pour le second point, on aura les valeurs de £1, n1, Cï, en changeant a, b, cen at, b1, c1 dans celles de £, n, €.

Faisant ces substitutions dans l'expression précédente, et ayant égard aux six équations de condition, elle se réduira à

(a— ai) + (b—b1) +(ce— ci),

et sera, par conséquent, constante pendant le mouvement. D'où l’on peut conclure que ces six équations de condition sont les seules nécessaires pour faire en sorte que la position respective des différents points du système ne dépende que des constantes &, b, c, et nullement des variables £”, n’, €”, etc.

Au reste, il est clair que les coordonnées £, #, € ne sont que les transformées des coordonnées a, b, c, et que les six équations de condition sont le résultat de la condition générale

eo ip te ag +b+c;

c’est ce qu’on voit par la comparaison de ces formules avec celles de l’art. 15 de la sect. IIT de la F° partie, dans lesquelles les coordonnées x, y, z, x’, Y', z répondent à £, n, €, a, b, c, et les coefficients x, £, y, a«', 8', y’, a”, 6”. y” répondent à £?, Er, at, n”, n”, n”, 4e se AE

5. 51 l’on ajoute ensemble les expressions de £, n, € de l’art. 4, après les avoir multipliées respectivement par £”, n°, {”, ensuite par £”, n”, €”, et enfin par £”, n°, (”, on aura tout de suite, par les équations de condition de l’art. 3, ces formules inverses :

a 66 + nn + CC", b— EE + un + EC, Ge 2 nn + CT ; et ces valeurs de a, b, c étant substituées dans l'équation E+n += a +b +,

qui doit avoir lieu, quelles que soient les valeurs de £, », {, donneront, par la comparaison des termes, ces nouvelles équations de condition :

£" sis ge" he ae nt , n"? he n7? she y"? — I, £"? ha ‘ad af de —. : En + En" + En" —0, ECHEC + a C'=0; NC a C++ nl — 0,

lesquelles sont nécessairement une suite de celles de l’art. 3, puisque les unes et les autres résultent également de la condition générale

Ent a+ be.

6. Mais, si l’on cherche directement les valeurs de a, 6, c par la résolution des équations de l’art. 4, on aura, d’après les formules connues,

ee E(n ET — 76) ue (CU EU ER EN sk E(En" — En") | Ce k

p — EE — En) a (Eg" — EME) + En" — n°E) k | .,

ue UNE 2 mg) dem APE — EE) EE a — En) ke

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. | j

os O

en supposant

Le nn £'n 1/4 C" — 1 & ("+ & EU 1/4 — £ Ca" + y CET — Cp er.

Ces expressions doivent donc être identiques avec celles de l’article précédent; ainsi en comparant les coefficients des quantités £, n, €, on aura les ‘équations suivantes :

y” LOT 1" a 2 k£E" Cie Pa ‘a ken, £", 1/4 — 60" — A ‘ei Cu" 4e CE ñ he À ‘44 + g M" É at k y" n'£ PI! = n"E — kC" À ——= 5 CE 9 l 6 7 ?

1 64 a 1” æ D per | fa” 2e (ie = kn”, y" —.— £” 1” 2 RC Or, si l’on ajoute ensemble les carrés des trois premières, on a

(n° C"— 1 CC )* + + (CE TE") + (£ 6"; RES RE k° (E + n°? Ce} le premier membre peut se mettre sous cette forme, (ET? + 1° se or ee + AE: ape ce) ns (ere + y /4 1” à ge ; donc, par les équations de condition de l’art. 3, cette équation se réduit à I, d’où Re ei Pour savoir lequel des deux signes on doit prendre, il n’y a qu’à considérer la valeur de £ dans un cas particulier ; or le cas le plus simple est celui

où les trois axes des coordonnées a, b, ec coïncideraient avec les trois axes des coordonnées £, », (, auquel cas on aurait

ë — à, n — b, Ê —= C; et, par conséquent, par les formules de l’art. #, / 7 | 7/2 Ë Dane n — 1, 4 — Ï,

et toutes les autres quantités £”, £”, ete., nulles. En faisant ces substitutions dans l'expression générale de k, elle devient = 1. Donc, on aura toujours k— 1. | |

° y f/ FE 7. Comme entre les neuf indéterminées £”, £”, #7, n',n",;n", €, €, C5 y a essentiellement six équations de condition, on peut aies toutes ces * , 7 S ° ‘ ° , ‘ u 4 / (4 / UA indéterminées à trois ; et il suffirait d'y réduire les six £”, £”,n,n,€,0C:

par le moyen des trois équations de condition £ / 4 Fi | pl F En + a I, EL CET £'E + # + C C = 0;

puisque les trois autres £”, n”, (”’ sont déjà connues en fonctions de celles-lä par les formules précédentes.

Mais cette reduction se simplifie beaucoup en employant les sinus et

cosinus d’angles ; on peut même y parvenir directement par les transformations connues des coordonnées. |

En effet, puisque £, n, (€ sont les coordonnées rectangles d’un point quelconque du corps, par rapport à trois axes menés par son centre parallèlement aux axes fixes des coordonnées x, y, z, et que a, b, c sont les coordonnées rectangles du même point par rapport à trois autres axes passant par le même centre, mais fixes au dedans du corps, et, par conséquent, de positions variables à l'égard des axes des £, n, €; il s’ensuit que, pour avoir les expressions de £, », { en a, b, c, il n’y aura qu’à transformer, de la manière la plus générale, ces coordonnées dans les autres.

Pour cela, nous nommerons l'angle que le plan des coordonnées a, b fait avec celui des coordonnées £, n; et À l’angle que l’intersection de ces deux plans fait avec l’axe des £ ; enfin nous désignerons par @ l'angle que l’axe des a fait avec la même ligne d’intersection : ces trois quantités w, A, o serviront, comme l’on voit, à déterminer la position des axes des coordonnées a, b, c, relativement aux axes des coordonnées £, n, Ê, et, par conséquent, on pourra, par leur moyen, exprimer ces dernières en fonction des autres.

Si, pour fixer les idées, on imagine que le corps proposé soit la terre, | que le plan des a, b soit celui de l'équateur, et que l’axe des a passe par un méridien donné; que, de plus, le plan des £, soit celui de l’écliptique, et

que l'axe des £ soit dirigé vers le premier point d’Aries : il est clair que l’an- | gle © deviendra l’obliquité de l’écliptique; que l’angle 4 sera la longitude de l’équinoxe d'automne, ou du nœud ascendant de l'équateur sur l’écliptique, et que 9 sera la distance du méridien donné à cet équinoxe.

En général, + sera l'angle que le corps décrit en tournant autour de l'axe des coordonnées c, axe qu'on pourra, à cause de cela, appeler simplement l'axe du corps; 90° — « sera l’angle d’inclinaison de cet axe sur le plan fixe

SECONDE PARTIE. -— LA DYNAMIQUE. [OI des coordonnées Ë, n; et L — 90° sera l'angle que la projection de ce même axe fait avec l’axe des coordonnées £. |

Cela posé, supposons d’abord que l’on change les deux coordonnées &, b en deux autres a”, b”, placées dans le même plan, de telle manière que l’axe des a” soit dans l'intersection des deux plans, et que celui des b” soit perpendiculaire à cette intersection; on aura

a'— acosp — bsing, b'— bcose + asino.

Supposons ensuite que les deux coordonnées b”, c soient changées en deux autres b”, c', dont l’une b” soit toujours perpendiculaire à l’intersection des plans, mais soit placée dans le plan des £, n, et dont l’autre c’ soit perpendiculaire à ce dernier plan; on trouvera pareillement |

b"— b' cos w — csinw, c'— ccose + b'sine.

Enfin, supposons encore que l’on change les coordonnées a”, b” qui sont déjà dans le plan des £, », en deux autres a”, b”, placées dans ce même plan, mais telles, que l’axe des a” coïncide avec l’axe des £; on trouvera de la même manière | |

a"— a cos À — b"sind, 6"— Bb" cos À + a'sin d.

Et il est visible que les trois coordonnées a”, b” c' seront la même chose que les coordonnées £, n, {, puisqu'elles sont rapportées aux mêmes axes ; de sorte qu’en substituant successivement les valeurs de a”, b”, b', on aura les expressions de £, n, Ü en &, b, c, lesquelles se trouveront de la même forme que celles de l’art. £, en supposant

£! — cos @ cos À — sin? sin N cos», £" — __ sin o cos À — cos 9 sin + cos w, £"=— sin sin »,

cos @ sin + sin® cos À cos w, — — sin sin) + cos & cos À cos w,

n” — — cos À sin w,

("= singsinw, ("= cos ® sin,

ME COS ai

Ces valeurs satisfont aussi aux six équations de condition de l’art. 5, ainsi qu’à celles de l'art. 5, et résolvent ces équations dans toute leur étendue, puisqu'elles renferment trois variables indéterminées ®, 4, w.

En substituant ces valeurs, les expressions des coordonnées £, n, € deviennent plus simples ; mais il est utile d'y conserver les coefficients £”, »”, f', etc., pour maintenir la symétrie dans les formules et en faciliter les réductions.

8. Comme les quantités £’, x”, ” sont des valeurs particulières de £, n, €, elles doivent satisfaire aussi aux équations différentielles de l’art. À entre ces dernières variables ; ainsi on aura dE’ — C'4M — 1'4N, dy’ HAN C'dL, d£"= n'dL — £'dM, et l’on aura de même |

d£"= ("dM — "AN, dn" = EAN — ["dL, de" = n”dL — £"dM, dE — ("dM — 1”aN, dr” — ETdN nn ["dx,, de = 1" d1L 2 € aM. De là on peut tirer facilement les valeurs des quantités dL, dM, dN en fonctions de £”, »’, {”, £”, ete. En effet, si l’on ajoute ensemble les valeurs de d{', dl”, d£€"”, après les avoir multipliées par »”, #”, 1”, on aura, en vertu des équations de condition, dL ee n'd£" + a dE" + n"d£".

On trouvera de même, en multipliant d£’, d£”, d£" par C', €", (", et dr’, dy !/ , dr” par £", ë&”, Re dM — C'd£’ hs cat" + CAE dN — £' dr! + £" dy! a AU PUR Ayant ainsi les valeurs de dL, dM, 4N en fonctions de £”, €”, [”, ete., si l’on y substitue les valeurs de ces dernières quantités en fonctions des angles ®, d, « (art. 7), on aura, après les réductions, ces expressions assez

simples, dL == sin 4 sin wd@ + cos do,

dM — — cos 4 sin do + sin N do, AN = cos wde + di.

9. L’axe autour duquel le système peut tourner en décrivant l'angle 9, et dont la position dépend des deux angles 4 et w, est supposé fixe dans le système et mobile dans l’espace; mais nous avons vu, dans la sect. III de la F° partie (art. 41, 12), qu'il y a toujours un axe autour duquel le système tourne réellement dans chaque instant, et que nous avons nommé axe 1nstantané de rotation. On peut déterminer aussi la position instantanée de cet axe, ainsi que l’angle élémentaire de la rotation, par des angles analogues aux angles 4, w, @, et que nous désignerons par À, ©, o; car les expressions de dE, dM, dN étant générales pour telle position qu’on veut de l'axe de rotation ©, elles auront lieu aussi pour l’axe instantané de rotation en y

changeant (À, w, @ en À, ©, ®; mais comme la propriété de ce dernier axe est d’être immobile pendant un instant, il faudra que les différentielles d\,

de, dues au changement de position de cet axe, soient nulles. De sorte qu'on aura pour l’axe dont il s’agit

sin À sinwde — dL,, cos snœde — — dM, cos œd@ — dN:

d’où l’on tire

de = yat? + aM° + 4N':

c’est l'angle de la rotation instantanée que nous avons dénoté par dû dans l'endroit cité de la °° partie. | | On aura ensuite la position de cet axe par les deux angles © et 4; mais, pour le rapporter aux axes fixes des £, n, €, il suffit de considérer qu'ayant pris l'axe des c pour l’axe de rotation, on a pour tous les points de cet axe a — 0, b—0o; donc, si l’on désigne par £, n, C les coordonnées qui répondent au point où c — 1, et qui sont en même temps les cosinus des angles que l’axe de rotation fait avec les trois axes des £, n, (, on a, par les for-

mules de l’art. 8, | sd. 24%. dd enr Ne TT de

En effet, ces valeurs de £, », € rendent nulles celles de leurs différentielles, comme on le voit par les formules de l’art. 1, ce qui est la propriété Méc. anal. TI. 25

de tous les points de l’axe instantané de rotation, et par laquelle nous avons déterminé cet axe dans la sect. LIT de la FE partie.

On voit par là que les quantités dL, dM, 4N répondent exactement aux angles de rotation que nous avons dénotés par d, do, d@, dans la section que nous venons de citer, et que nous avons conservés dans la sect. TE cidessus. |

10. Si, maintenant, on substitue ces mêmes valeurs de £, n, € dans les expressions générales de a, b, c de l'art. 5, à la place de £, », €, on aura les valeurs des coordonnées a, b, c, qui répondent à l'axe instantané de rota-

tion, et que nous désignerons par a, b, ce. Ainsi, en faisant, pour abréger, dP —£ dl + dM+£f'daN, dQ = £" dl +" dM + FaN, dR = £"dL + 1° dM + C"aN,

ce qui donne, par les équations de condition de l’art. 5,

dP° + dQ+ dR°= dL°+ dM° + dN° = de’,

On aura

expressions entièrement semblables à celles des E, 1, C, dans lesquelles on voit que les quantités dP, dQ, dR (”) répondent aux quantités dL, dM, dN. Et ces valeurs de a, b, c seront pareillement les cosinus des angles que l'axe de rotation fait avec les axes des coordonnées &, b, c.

44. Pour avoir les valeurs de dP, dQ, dR exprimées par les variables En", (",£",etc., ilne s'agira que de substituer à la place de dE, dM, 4N les valeurs données dans l’art. 8. Mais, pour obtenir les formules les plus simples, il conviendra de mettre ces dernières valeurs sous la formie suivante, qui est

*) {1 faut bien remarquer que Lagrange définit ici les quantités ZP, 4Q, dR, sans s'inquiéter de Ï ë ; 9 ; savoir si les expressions auxquelles il donne ce nom sont intégrables, en sorte qu’il n’existe, en réalité, aucune fonction des variables actuelles qui puisse représenter P, Q, R. Cette remarque est. essentielle pour l'intelligence de l’art. 15, page 100. (J, Bertrand.)

équivalente à celle de l’article cité en vertu des équations de condition données art, 5, |

dl LE ndal she 1" dé" .e x” dÛ" — C'dn ns €" dr” C"dn”, o dM — C'dE' + MMS "dE" —— en éd" … EM de", o dN — €’ dy . £" dr” tee E" dr” — | dE" 2 n' de” nr y" d£”. On aura ainsi, en substituant et don les termes ( / 1" D £")dl" + (Cl ET — £’ ("y dn” Se ia En — €’ (") dr 44 she (n° CT — he C'n 7)d ET + (r CT — Cu Fe) de”, ce qui se réduit, par les formules de l’art. 6,

o dP Due Cal" — ON A re 1" dn" — 1" dn" —- ge" de" — £"d£”,

2dP — (En Nr / — n'£7) dl" +

et enfin par les trois équations de condition de l’art. 5, différentiées, à cette expression simple,

P Le EM dE" + n"" dy” ce CAES et l’on trouvera, de la même manière, dQ £'d£" PE n° dn" + CC:

| dR Du ge” d£’ ces n” dy is Cdi”.

Et si l’on substitue pour £”, £”, £”, ete., leurs valeurs en 4, ©, @ de l’art. 7, on a, après quelques réductions, dP — sin® sin wd\ + cos de, dQ — cosy sin œd} — sin pd, dR — do + cos wd\.

12. Il est facile de se convaincre que ces valeurs de a, b, c rendent également nulles les différentielles des coordonnées £, #, {; car en différentiant, et faisant d£ — 0, dn = 0, d£ — 0 dansles formules de l’art. 1; changeant ensuite a, b, c en à&, b, c, pour les rapporter à l’axe instantané de rotation,

on a les trois équations :

ad£! + bd£" + cd£" — 0, adn! + bdn! + cd" = 0; adt' + bd£" + cd£" = 0.

En les ajoutant ensemble, après les avoir multipliées successivement par

E",n", C, par £”,n", C”, et par £”, n”, (”, et ayant égard aux équations de condition de l’art. 2, on a

DE dE" n' du + Cal") + G(E dE" + n'dn" + Cal") — 0, a(E"dE + nd + Cd) + 0(E" dE" + n' du + C'dE") = 0, a(E" dE" + y" du + €"dl") + DE" dE" + n°" dn + C"dl)— 0.

En ayant ensuite égard aux trois autres équations de condition de l’art. b,

et supposant les valeurs de dP, dQ, dR données ci-dessus, ces trois équations deviennent

cdQ — bdR — 0, adR — cdP —o, bdP — adQ — 0,

auxquelles satisfont évidemment les valeurs de a, b, c données ci-dessus.

15. De même que les quantités dL, dM, dN servent à exprimer d’une manière uniforme les différentielles des quantités £”, £”, £”, ete., comme on

l'a vu dans l’art. 8, on peut aussi exprimer ces différentielles par les quan-

tités dP, dQ, dR.

En effet, si l’on prend les trois équations sde Sy rat so EdE' + jo ie C'df—= dR, EU dE" + n"dn' + f'dl = — dQ,

et qu'on les ajoute ensemble après les avoir multipliées successivement par e / ,, e £,6",€", pars',n”,n”, et per C", €”, (”, on aura tout de suite, par les

équations de condition de l'art. 5,

d£'— £"dR — £"dQ, dn = nr” dR — »”4Q, die ‘a dR A ("dQ.

De même, les trois équations

£'d£" ne n dn” —- C'ac JA dR,

E dE" + n'dn” —- ("dl" __ O,

ET dE + n" dr” + (tal —= dP,

étant multipliées successivement par £’, £”, £",n',n",n", et par €, €”, €”

et ensuite ajoutées ensemble, donneront, par les mêmes équations de condition,

So t4

dE" ee £" dP 2: £'dR., dr” = n”dP — n dk, dé"— {"dP 4 dB.

Enfin les équations

£"d£" 2h 1" dy" se Ce al” 4, g1 dE" + NP LR ae

£'dE” Je nd” ci. C'al” — dQ,

donneront de la même manière,

dn” —= n'dQ — »”dP, al" __ C’dQ = ("dP.

14. Par le moyen de ces formules, on peut représenter, d'une manière fort simple, les variations des coordonnées £, n, €, lorsqu'on veut considérer à la fois le changement de situation du système autour de son centre, et le changement des distances mutuelles des points du système. Pour cela, il est clair qu'il faut différentier les expressions de £, 1, £, en regardant en même temps comme variables toutes les quantités £°, n”, €’, n”,etc., amsi

que &, b, ec, ce qui donne dé = ad£" + bd£" + cd£" + E'da + E"db + £"de, dun = adn + bda” + cr" + da + n° db + "de, dé= adl + bd + de" + C'da + C'db + Cde; substituant les expressions de d£”, dn', d£', d£”, etc., qu’on vient de trouver, et faisant, pour abréger, da! — da + cdQ — bdR, db" = db + adR — cap, de’ = de —+ bd? — adQ, on aura ces formules différentielles très-simples , dé — £'da’ + El db! El de”, dn = n da! + "db! + »" de’, dt Cd, €" db' si "dc.

Et si l’on différentie ces expressions, qu’on y substitue de nouveau pour d£’, dn’, dl”, d£”, etc., les valeurs trouvées ci-dessus, et qu’on fasse encore, pour abréger,

d'a”"—= d'a + dc'dQ — db'dR,

d?b" = d°b'+ da'dR — dc'aP,

dc" = d?c' + db'dP — da'dQ,

on aura les différentielles secondes, |

d°E + £'d'a" + £"d? bp" Ed? c" — : | d?n ee n d?a” ie 1” d? b” "+ n”d?c”, d? Ce C'da” 1e ("d?b" Le C"d'c”.

On voit que ces différentielles premières et secondes sont semblables aux expressions finies de #, n, € (art. 1), et que les quantités £”, #’, {”, £”, etc., y entrent de la même manière; il en serait de même des différen-

tielles de tous les autres ordres, ce qui rend l'emploi des quantités 4P, dQ, dR très-avantageux dans les calculs relatifs à la rotation.

45. Mais il y a une remarque importante à faire sur l'emploi de ces quantités; c’est que quoiqu'elles se présentent sous la forme différentielle, on se tromperait en les traitant comme telles dans les différentiations relatives à la caractéristique à. Ainsi il n’est pas permis de changer simplement

dP en doP, etc., dans la valeur 0T.

Nous observerons d’abord que rien n'empêche de changer dans les formules différentielles de l’art. 43, la caractéristique d en 5, ce qui introduira dans les valeurs des variations 02”, dn’, 20”, 0€”, ete., les trois indéterminées dP, 0Q, ÔR, qui serviront à réduire toutes ces variations à trois arbitraires.

Ainsi ayant trouvé (art. 45)

AD 0 dé PL fe en 4 ei on aura de même, en changeant d'en 5,

OP se Éd aie "A ee C'èc",

et ainsi des quantités dQ, dR, qui deviendront ôQ et 5R. Maintenant on aura, en différentiant dP suivant à,

ddP = ETÈdE" + n° èdn" + ("idl i DE" dE" + 01" dr” 1e CAC et en différentiant ôP par à, | | oo d'il = EVAd8E + x” ddr” Le CASE" + dENIE" + dun + dE. Mais 2d£”, ddn”, Sd” sont la même chose que d裔, d$n”, dôf”, parce

que les quantités £”, n”, €” sont des variables finies ; donc on aura

SD ne TND SE" dE" 4 Ent dat SC" dr"

er d'ETRET — d'a ME y? — de" ue

Substituons pour d£”, dn”, dl” et d£”, dn”, d€" leurs valeurs en &P, dQ, dR (art. 21), et pour d£”, dn”, C7, 0€", dn°”, 8” les valeurs analogues qui viennent du changement de la caractéristique d'en d, on aura, par les équations de condition de l’art. 2,

Sen deal dut ds "dE" ns ONE.

dEMSEN + dy" 5 n" + dedC = Es dOPR.:.

donc dP = diPl + dQR — dR°Q.

Et par un calcul semblable, on trouvera odQ = diQ + dRÔP — dPGR, dR = dèR + dPoQ — dQSP.

Ici se termine ce que l’on a pu trouver d’entièrement achevé sur le mouvement de rotation, dans les manuscrits de M. Lagrange. Nous nous proposons de continuer ce chapitre avec les paragraphes de l’ancienne édition, en profitant de plusieurs changements indiqués dans l’exemplaire de M. Lagrange. Nous renfermerons dans une Note placée à la fin du volume quelques fragments relatifs à ce sujet, qui devaient servir de matériaux à un paragraphe sur les équations générales du mouvement ‘de rotation d’un système quelconque de corps; ils sont dans un état trop incomplet pour entrer dans le texte, et cependant les géomètres regretteraient de ne pas les connaitre.

(Note des éditeurs de la deuxième édition. )

NS ? e É 0 .

S . — Æquations pour le mouvement de rotation d'un corps solde,

animé par des forces quelconques.

16. Nous venons de voir, dans le paragraphe précédent, que quelque mouvement que puisse avoir un corps solide, ce mouvement ne peut dépendre que de six variables, dont trois se rapportent au mouvement d’un point unique du corps, que nous avons appelé le centre du système (*) et dont les trois autres servent à déterminer le mouvement de rotation du Corps autour de ce centre. D’où il suit que les équations qu’il s’agit de trouver ne peuvent être qu'au nombre de six au plus; et il est clair que ces équations peuvent par conséquent se déduire de celles que nous avons déjà données dans la sect. IIF, $S Let IT, lesquelles sont générales pour tout système de corps. Mais pour cela il faut distinguer deux cas, l’un quand le corps est tout à fait libre, l’autre quand il est assujetti à se mouvoir autour d’un point fixe.

17. Considérons d'abord un corps solide absolument libre ; prenons le centre du corps dans son centre même de gravité, et nommant x”, y”, z' les trois coordonnées rectangles de ce centre ; m la masse entière du corps,

(*) On lit dans la première édition: le centre du corps. (J. Bertrand.)

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 30 i

Din chacun de ses éléments, et X, Y, Z les forces accélératrices qui agissent sur cet élément, suivant les directions des mêmes coordonnées; nous aurons en premier lieu ces trois équations (sect. IIT, art. 5),

7 m + SXDm — o, dy Ÿ

+ m+S Dm — 0, L?

Em + SZDm — 0,

NS

dans lesquelles la caractéristique S dénote des intégrales totales relatives à toute la masse du corps; et ces équations serviront, comme l’on voit, à déterminer le mouvement du centre de gravité.

En second lieu, si l’on désigne par £, n, € les coordonnées rectangles de chaque élément Dm, prises depuis le centre de gravité, et parallèles aux mêmes axes des coordonnées x’, y’, 3’ de ce centre, on aura ces trois autres équations (section citée, art. 12),

(87 he RE Hu (ET Pr Te ÇX )Dm = 0, (1% nr — {Y)Dm= 0.

Or nous avons prouvé, dans le paragraphe précédent, que les valeurs des quantités £, n, € sont toujours de cette forme,

£ a£! + DE + CE”, n— an + bn” + cn”, C=al+bl"+ cel",

et nous y avons vu que, pour les corps solides, les quantités a, b, c sont

nécessairement constantes par rapport au temps, et variables uniquement

par rapport aux différents éléments Dm, puisque ces quantités représentent

les coordonnées rectangles de chacun de ces éléments, rapportées à trois axes

qui se croisent dans le centre du corps, et qui sont fixes dans son intérieur ; Méc. anal. XI. 26

qu’au contraire, les quantités £”, £”, etc., sont variables par rapport au temps, et constantes pour tous les éléments du corps, ces quantités étant toutes des fonctions de trois angles ®, d, w, qui déterminent les différents mouvements de rotation que le corps avait autour de son centre. Si donc on fait, dans les équations précédentes, ces différentes substitutions, en ayant soin de faire sortir hors des signes $ les variables ®, À, « et leurs différences, on aura trois équations différentielles du secona ordre entre ces mêmes variables et le temps f, lesquelles serviront à les déterminer toutes trois en fonctions de £.

Ces équations seront semblables à celles que M. d’Alembert a trouvées le premier, pour le mouvement de rotation d’un corps de figure quelconque, et dont 1l a fait un usage si utile dans ses recherches sur la précession des équinoxes.

Par cette raison, et parce que d’ailleurs la forme de ces équations n’a pas toute la simplicité dont elles sont susceptibles, nous ne nous arrêterons pas ici à les détailler ; mais nous allons plutôt résoudre directement le problème, par la méthode générale de la sect. IV, laquelle donnera immédiatement les équations les plus simples et les plus commodes pour le calcul. |

48. Pour employer ici cette méthode de la manière la plus générale et la plus simple, on supposera, ce qui est le cas de la nature, que chaque partcule Dm du corps soit attirée par des forces P, Q, R, etc., proportionnelles

à des fonctions quelconques des distances p, q, r, ete., de la même particule aux centres de ces forces, et en formera de là la quantité algébrique

N = f{Pdp + Qdg + Rdr + ...).

On considérera ensuite les deux quantités

Lee se er Æ) Dur, V — SIDm,

en rapportant la caractéristique intégrale S uniquement aux éléments Dr du corps, et aux quantités relatives à Ja position de ces éléments dans le corps. | |

On réduira ces deux quantités en fonctions de variables quelconques, £, dl, ®, etc., relatives aux divers mouvements du corps, et l’on en formera la.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 203 formule générale suivante (sect. IV, art. 10), | hi OT OV dE ol OV ue nn il

OT ÔT oV + (dar 2 +3)

Si les variables £, À, ®, etc., sont, par la nature du problème, indépendantes entre elles (et l’on peut toujours les prendre telles qu’elles le soient), on égalera séparément à zéro les quantités multipliées par chacune des variations indéterminées 6€, dd, d®, etc., et l’on aura ainsi autant d'équations entre les variables £, d, ®, etc., qu’il y aura de ces variables.

Si les variables dont il s’agit ne sont pas tout à fait mdépendantes, mais

qu'il y ait entre elles une ou plusieurs équations de condition, on aura, par la différentiation de ces équations, autant d'équations de condition entre les variations Ô£, d\, d@, etc., par le moyen desquelles on pourra réduire ces variations à un plus petit nombre.

Ayant fait cette réduction dans la formule générale, on y égalera pareille ment à zéro chacun des coefficients des variations restantes ; et les équations qui en proviendront, jointes à celles de condition données, suffirent pour résoudre le problème.

Dans celui dont il s’agit ici, il n’y aura qu’à faire usage des transformations enseignées dans le paragraphe précédent. Aïnsi on substituera d’abord d'H+Ë, y'+n, z'+ 0, au lieu de x, y, z; ensuite aË'+ bE" + CE", an + bn" + cn”, al + bl" + cl", au lieu de £, 1, C (art. 4); enfin, mettant pour £”, #’, etc., leurs valeurs en ?, À, w de l’art. 7, on aura les quantités T', V exprimées en fonctions des six variables indépendantes x’, y’, z’, ?, Ÿ, w, à la place desquelles on pourra encore, si on le juge à propos, en introduire d’autres équivalentes ; et chacune d'elles fournira, pour la détermination du monvement du corps, une équation de cette forme,

JT OT dv.

RS ET ESP TE — ©, dd a da 7 da

« étant une de ces variables.

19. Commençons donc par mettre dans l’expression de T, à la place de x, Y, 2, ces nouvelles variables x’ +- £, y" + n, "+ Ü, et faisant sortir hors du signe S les x”, y’, z', qui sont les mêmes pour tous points du corps, puisque ce sont les coordonnées du centre du corps, la fonction T deviendra

o dt? 2 dt?

dx'S dE Dm + dy'SdnDm + dz'SdéDm Di CE Re D 0 QG a Lo

A2 /2 /2 r2 1? 2 D SD + (ETS a SAS Dm

Cette expression est composée, comme l’on voit, de trois parties, dont la première ne contient que les seules variables x”, y”, z’, et exprime la valeur de T dans le cas où le corps serait regardé comme un point. Si donc ces variables sont indépendantes des autres variables £, n, €, ce qui a lieu lorsque le corps est libre de tourner en tous sens autour de son centre, la formule dont il s’agit devra être traitée séparément, et fournira pour le mouvement de ce centre les mêmes équations que si le corps y était concentré ; ainsi cette partie du problème rentre dans celui que nous avons résolu dans les sections précédentes, et auquel nous renvoyons.

La troisième partie de l'expression précédente, celle qui contient les differences dx’, dy’, dz', multipliées par les différences d£, dn, dû, disparaît d'elle-même dans deux cas : lorsque le centre du corps est fixe, ce qui est évident, parce qu’alors les différences dx’, dy", dz' des coordonnées de ce centre sont nulles ; et lorsque ce centre est supposé placé dans le centre même de gravité du corps, car alors les intégrales Sd£ Dm, SdnDm, SdCDm deviennent nulles d’elles-mêmes. En effet, en y substituant pour d£, dn, dÛ leurs valeurs ad£'+ bd£" + cd£", adn + bd” + cdn”, adl'+ bd" + cd” (article précédent), et faisant sortir hors du signe S les quantités d£”, dE”, etc., qui sont indépendantes de la position des particules dm dans le corps, chaque terme de ces intégrales se trouvera multiplié par une de ces trois quantités, SaDm, SbDm, ScDm; or, ces quantités ne sont autre chose que les sommes des produits de chaque élément dm, multiplié par sa distance à trois plans passant par le centre du corps, et perpendiculaires aux axes des coordonnées a, b, c; elles sont donc nulles, quand ce centre coïncide avec celui de gravité de tous les corps, par les propriétés connues de ce

dernier centre. Donc aussi les trois intégrales Sd£Dm, SdnDm, Sd(Dm seront nulles dans ce cas. |

Dans l’un et dans l’autre cas, il ne restera donc à considérer dans l’ex-

: de + dr + dû | pression T, que la formule S (EE) Dm, qui est uniquement

relative au mouvement de rotation que le système peut avoir autour de son

centre, et qui servira par conséquent à déterminer les lois de ce mouvement, indépendamment de celui que le centre peut avoir dans l'espace.

20. Pour rendre la solution la plus simple qu'il est possible, il est à propos de faire usage des expressions de d£, dn, dÛ de l'art. 14, lesquelles donnent, en faisant da = 0, db — 0, de — 0,

dE + di + dE = (cdQ — bdR} + (adR — cdP}° + (bdP — adQ} = (8° + c)dP° + (a° + c°) dQ° + (a? + bd?) dR? — 20cdQdR — 2acdPdR — 2 abdPdQ.

Or, les quantités a, db, c étant 1c1 les seules variables, relativement à la position des particules Dr dans le corps, 1l s'ensuit que pour avoir la valeur de S (dE? + dn° + d€?) Dm, 1 n'y aura qu'à multiplier chaque terme de Ja quantité précédente par Dm, et intégrer ensuite relativement à la caractéristique S, en faisant sortir hors de ce signe les quantités dP, dQ, dR qui

, ; RE 43 der di + dA?\. ; en sont indépendantes. Ainsi la quantité S ( = 6 ) Dm deviendra

2 di?

À dP? + BdQ° + CdR? FaQdR + GdPdR + HdP4Q a dt? di? É

en faisant, pour abréger, |

A—S(P+c)Dm, B—S(a+c)Dm, C—=S(a +b?)Dm,

EF — SbhcDm, G=— SacDm, — SabDm.

Ces intégrations sont relatives à toute la masse du corps, en sorte que A, B,C, F, G, H doivent être désormais regardées et traitées comme des constantes données par la figure du corps.