LAN
ce cas les trois quantités ON ON q do ” 4” du
trois équations précédentes sera intéerable d’elle-même: mais l’intéocration S 9 8
seront nulles aussi, et la seconde des
générale de toutes ces équations restera encore fort difficile. | En général, puisque V — SHDm, et que II est une fonction algébrique
des distances P; q , etc., (art. 48), dont chacune est exprimée par
CS an
en désignant par f, g, k les coordonnées du centre fixe des forces, il n’y aura qu’à faire dans la fonction II les mêmes substitutions que ci-dessus, et après avoir intégré relativement à toute la masse du corps, on aura l’ex-
pression de V en ®, d, w, d’où l’on tirera par la différentiation ordinaire
les y leurs d RU ui sont les mêmes que celles de AVE A es valeurs de >” SD? 30 q qu do ne
Comme ceci n’a point de difficulté, nous ne nous y arréterons point; nous remarquerons seulement que les équations précédentes reviennent à celles que J'ai employées dans mes premières recherches sur la {6ration de la lune.
22 (*). Quoique l'emploi des angles 9, À, paraisse être ce qu’il y a de plus simple pour trouver par notre méthode les équations de la rotation du corps, on peut néanmoins parvenir encore plus directement au but, et obtenir même des formules plus élégantes et plus commodes pour le calcul dans plusieurs cas, en considérant immédiatement les variations des quantités dP, dQ, dR données par les formules de l’art. 45; savoir,
JdP = diP -+ dQIR — dRIQ, SdQ= d$Q + dRSP — dPSR, SdR — diR + dPSQ — dQ6P;
dP dQ dR
substituant ces valeurs dans dT et mettant p, g, r pour —; —; Tr» ON
dt dt
(*) Ce paragraphe est un de ceux qui n’ont pas été reproduits tels qu'ils étaient dans la première édition ; les résultats auxquels on parvient sont absolument les mêmes, mais la rédaction est simplifiée par le renvoi à l’art, 45 qui ne se trouve pas dans la première édition. (J. Bertrand.)
aura
dt
AT /d0Q Se dT do'R
(Juant aux termes relatifs à la rs de V, puisque V devieni une fonction algébrique de £”, £”, £", nr”, etc., après la substitution de x + aË + DE" CE" y an + bn” + en", tal + bi" Tdi a heu de x, y, z, le signe intégral S n'ayant rapport qu’aux quantités a, b, c, i ÿ n’y aura qu'à différentier par d, et mettre ensuite pour d£”, d£”, etc., leurs
OV dV OV PA dE — 7 dE JET — FEU eltc., on aura
ir Ce + giR—r3Q)
valeurs en ŸP, 9Q, ŸR ; ainsi, puisque
dans la même au les termes suivants provenant de d'V : ‘ Te (E"OR — £"3Q) + 2 ("SP — E'3R) sh Ds (£8Q E"SP) x PE) . 8Q) 2
Donc enfin, rassemblant tous les termes multipliés par chacune des trois quantités JP, JQ, JR, on aura une équation générale de cette forme,
0 = (P) SP + (Q)$Q + (R)JR.
dans laquelle
m AN n dV / dV r àN eau de" dr 0 ae ax ‘ dq d'T dT 4,1 dV dV (Q) — di dé as FELIRE Nr 1 AV A aV 3 AR TR — . en er = Tr?
dT “dr dT 7 À D n dV Rd 7 ou fr 74 dV / dv / dV / dV
C'uer — Ë der —C er ER © der
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 209 Êt, comme les trois quantités dP, dQ, ŸR sont indépendantes entre elles, et en même temps arbitraires, on aura donc ces trois équations particulières
Bio. (Qu (jo;
lesquelles, étant combinées avec les six équations de condition entre les neuf variables £”, £”, etc. (art. 5), serviront à déterminer chacune de ces variables.
On peut mettre, si l’on veut, sous une forme plus simple, termes de ces équations dépendants de la quantité V. Car, puisque V = SHDm, on aura (à cause que le signe S ne regarde point les variables £’, £”, etc. ),
dV du dv ge SE pbm er 7 = Sr bn etc. ;
et conime II est une fonction algébrique de aË+ bE"+oE", an + br” + cn , alC'+bl"+cefr, il est aisé de voir qu’en faisant varier séparément &, D, c, on aura
dIl [1/4 dIl {! dil dit all 7 PAU 4 dil | all g" dE eh dr? C ae == b——) En dE rh PP Eu C den re SA 7
et ainsi de suite; de sorte qu’on aura, de cette manière,
RER TE =s(oT—-c%) D,
sheet es rs =S(cT%-a%)Dm,
gr AN NL pr dN gr Nr dX dV
: Re Se a ne des Ce ft Pier de TN an Ode 6 dE Miant Cac
=S(ag 6%) Dm.
Mais, si cette transformation simplifie les formules, elle ne simplifie pas Mée. anal, {L. | 21
le calcul, parce qu’au lieu de l'intégration unique contenue dans V, on en aura trois à exécuter.
25. Lorsque les distances des centres des forces au centre du corps sont très-grandes vis-à-vis des dimensions de ce corps, on peut alors réduire la quantité [T en une série fort convergente de termes proportionnels aux puissances et aux produits de a, b, c, de sorte que l'intégration STD m n'aura
‘aucune difficulté : c’est le cas des planètes, en tant qu’elles s’attirent mutuellement.
Si la force attractive P est simplement proportionnelle à la distance p, en sorte que P — kp , k étant un coefficient constant, le terme / P dp de la fonce-
: ; kp &4 . ’ Pre re tion II (art. 18) devient — =; et, comme p est exprimé, en général, par
{x —f)+(y —g)} + (2 — hk)?, en désignant par f, g, h les coordonnées du centre des forces ; le terme dont il s’agit donnera ceux-ci :
a PR Greg ed]
Donc, substituant pour +, y, z leurs valeurs x'°+ £, y + n, z°+ €, multipliant par D m, et intégrant selon S, on aura, dans la valeur de V — STD, les termes suivants :
LL AN + (8 + (8° — 4] S Dm + Ha — f)SED re
+ (y — 8) SnDm + k (2 — h)SEDm + ÈS (8 + + €?) Dm Or, | E— al + DE +HoE", nan + bn! + en”, C= al + Are de donc, SE Dm = ESaDm + E"SbDm + £"ScDm, et ainsi des autres ; et S(E+n + E)Dm—S(a +b+c)Dm (art. 5)
sera égal à une constante que nous désignerons par E.
Mais, si l’on prend pour le centre arbitraire du corps, son centre même
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 21i de gravité, on a alors
Sa Dm — 0, SbDm—o, ScDm—o,
comme nous l'avons déjà vu ci-dessus (art. 49). Ainsi, dans ce cas, la
quantité V ne contiendra, relativement à la force dont il s’agit, que les termes | Ce
Sr
naes : dV dV de sorte que toutes les différences partielles de” de” etc., seront nulles.
D'où ül s'ensuit que l'effet de cette force sera nul par rapport au mouvement de rotation autour du centre de gravité.
; ° » y | KE A | Et, comme | expression précédente V, au terme constant pres, est la
même chose que si tout le corps était concentré dans son centre, auquel cas 2 =%",ÿ —y",z—32, on aura, pour le mouvement progressif de ce centre, les mêmes équations que si le corps était réduit à un point; car les différences partielles de V, relativement aux variables +’, y’, z', seront les mêmes que dans cette hypothèse.
Si l’on veut considérer le corps comme pesant, en prenant la force accélé-
ratrice de la gravité pour l'unité, et l’axe des coordonnées z dirigé verticalement de haut en bas, on aura
P— : et p=h—3; donc
| fPdp=h—3=h—3—al"— bf"— 06";
de sorte que la quantité V contiendra, à raison de la pesanteur du corps, les termes
(A — z')S Dm — C'SaDm — ("SbDm — C"ScDm.
Ainsi, si le centre du corps est pris dans son centre de gravité, les termes qui contiennent les variables {”, {”, ete., disparaîtront, et, par conséquent, l'effet de la gravité sur la rotation sera nul, comme dans le cas précédent. La valeur de V, en tant qu'elle est due à la gravité, se réduira alors à (4 — z°)SDm, c’est-à-dire à ce qu’elle serait si le corps était réduit à un
point, en conservant sa masse SDm; donc aussi le mouvement de translation du corps sera le même que dans ce cas.
S [IL — Détermination du mouvement d'un corps grave de figure quelconque.
24. Ce problème, quelque difficile qu'il soit, est néanmoins un des plus simples que présente la Mécanique, quand on considère les choses dans l’état naturel et sans abstraction ; car tous les corps étant essentiellement pesants et étendus, on ne peut les dépouiller de l’une ou de l’autre de ces propriétés sans les dénaturer, et les questions dans lesquelles on ne tiendrait pas compte de toutes les deux à la fois, ne seraient par conséquent que de pure curiosité. |
Nous commencerons par examiner le mouvement des corps libres, comme le sont les projectiles ; nous examinerons ensuite celui des corps retenus par un point fixe, comme le sont les pendules. |
Dans le premier cas on prendra le centre du corps dans son centre de gravité, et comme alors l'effet de la gravité est nul sur la rotation, aimsi qu’on vient de le voir, on déterminera les lois de cette rotation par les trois équations suivantes (art. 22) :
4 AT dp dT dE, di Ua dev d dT
(A) dq d'T dT
du Pa Rai
1 dE d'E
__ dQ dR | ar LT he No et
= = (AP? + Bq° + Cr°)— Fgr — Gpr — Hpg.
À l'égard du centre même du corps, il suivra les lois connnes du mouve-
ment des projectiles considérés comme des points; ainsi la détermination de son mouvement n’a aucune difficulté, et nous ne nous y arrêterons point.
Dans le second cas, on prendra le point fixe de suspension pour le centre du corps, et supposant les coordonnées z verticales et dirigées de haut en bas, on aura (art. 23)
V—(a— 2) SDm — C'SaDm— C"SbDm — €"ScDm; d'ou l’on tire
Î IV LV Re CA — — SaDm ne — — SbDm, en ScDm,
dé’ ' dê dev et toutes les autres différences partielles de V seront nulles ; de sorte que les équations pour le mouvement de rotation seront (art. 22)
| ; d'T l'a dT dT P RES ie If 1} — = +q— r C"SbDm+CScDm—o, d'T (B) aq d'F d'T pl à I & SE PO me SaDm — 0, d'T Feu CH — ("SaDm + C'SbDm —o,
Cd. re dq — 4% FE
les quantités SaDm, SoDm, ScDm devant être regardées comime des constantes données par la figure du corps, et par le lieu du point de
sus pension.
25. La solution du premier cas, où le corps est supposé entièrement libre, et où l’on ne considère que la rotation autour du centre de gravité, dépend uniquement de l'intégration des trois équations (A).
Or, il est d’abord facile de trouver deux intégrales de ces équations ; ear
dT
1°, sion les multiplie respectivement par 4 ——; et qu'ensuite on les
dq” dr ajoute ensemble, on a évidemment une équation intégrable, et dont l’inté-
d'T dT\, (dt Ÿ pe pr . &, +) =f
{* étant une constante arbitraire.
grale sera
2°. Si l’on multiplie les mêmes équations par p, q,r, et qu'on les ajoute ensemble, on aura celle-ci,
laquelle, à cause que T est une fonction de p, q, r uniquement, et que par Tr AT: « dE | Fe Le conséquent d'1 — Fa dp + 4 dq + = dr est aussi intégrable, son imtégrale étant d'T d'T d'T
ee nes sn CE un JA TT Ta Le
h° étant une nouvelle constante arbitraire.
/ ee SES : GEL, AE En mettant dans ces équations, au lieu de T', ——; ——, ——;, leurs valeurs, dy” dj” à
on aura deux équations du second degré entre p, q, r, par lesquelles on pourra déterminer les valeurs de deux de ces variables en fonctions de la troisième ; et ces valeurs étant ensuite substituées dans une quelconque des trois équations (A), on aura une équation de premier ordre entre é et la variable dont il s’agit; ainsi on pourra connaître par ce moyen les valeurs de p,gq, rent. Cest ce que nous allons développer. |
Je remarque d’abord qu’on peut réduire la seconde des deux intégrales trouvées, à une forme plus simple, en faisant attention que, puisque T est une fonction homogène de deux dimensions de p, q,r, on a, par la propriété connue de ces sortes de fonctions,
D dT —-- ( d'T OT se ah Pan Pan ce
ce qui réduit l'équation intégrale dont il s’agit à T — k*, laquelle exprime la conservation des forces vives du mouvement de rotation. Je remarque ensuite que comme la quantité
AT __,4T\° dT IN dE dT \° At ado Pr) + La aq
est équivalente à celle-ci,
RE CAN dT d'T TT), (p'Eg A r") dp +) +) CS ++)
SÉCONDE PARTIE. -— LA DYNAMIQUE, 215 laquelle devient PP +g +) 4,
en vertu des deux intégrales précédentes; on aura une équation différen- ” | : A d'E tielle plus simple, en ajoutant ensemble les carrés des valeurs de d ii
A ST tone Re Tes d.——, d.—-— dans les trois équations différentielles (A), équation qu'on
dq dr pourra aussi employer à la place d’une quelconque de celles-ci.
De cette manière la détermination des quantités p, q, r en { dépendra simplement de ces trois équations |
DT —h*, dT\? /dT\2 fdT\?
D rer dT \? , dT\? A oe (d 7) + (4%) +(4T) [fi (pt+g+r)— 4h ]dE,
dans lesquelles
FN. À 2 9 D OR CD es TE [A = - (Ap + Bg+ Cr?) — Fr — Gpr — Hpg.
26. Cette détermination est assez facile, lorsque les trois constantes À, G, H sont nulles; car on a alors simplement
pv ___ Ï “08 9 Ve l' = -(Ap" + Bg° + Ur°); done d'T | d'T dT dre rade sn
de sorte que les trois équations à résoudre seront de la forme suivante : Ap° +Bg* + Or? —=ok%, A°p°+ B° q° + Dr
A'dp?+ B?dq? + C° dr? : A M = (pt + gt +) — 4.
Si donc on fait p° + g°+ r° = u, et qu’on tire les valeurs de p, g, r de
ces trois équations, |
D". SO HP: mb Ap° + Bg° + Cr? — 2 7,
A° p° + B° q° + Cr fr,
OH AUTA ; Rene ne PF —= == 9 (A — B) (A ns ACu—0h? Re qd" —= 9 7 (B—A)(B—C) (C
) D et À + f°.
(CE — À) B) ces valeurs étant substituées dans l’équation différentielle ci-dessus, le premier membre de cette équation deviendra, les réductions, A°B°C°(4h5— f°u) du
4[BCu— 2e (B+C)+f?][ACu—2R(A+C)+f ; LABu— 2h {(A+B)+ f°]d? et le second membre deviendra f?u — 4h", de sorte qu’en divisant toute l'équation par fu. — 4h", et tirant la racine carrée, on aura enfin
ABC du
— ec mn C\+f?'][ACu — 2/° (A +C)+/ AB — 2 (A + B)+/]
d'ou l’on tirera par l'intégration £ en w, et réciproquement.
27. Supposons maintenant que les constantes F, G, H ñe soient pas nulles, et voyons comment on peut ramener ce cas au BRON au moyen de quelques substitutions.
Pour cela, je substitue à la place de variables p, g, r des fonctions d’autres variables x, y, z, qu'il ne faudra pas confondre avec celles que nous avons employées jusqu'ici pour représenter les coordonnées des différents points du corps; et je suppose d’abord ces fonctions telles, que l’on ait
p° 0 4 Pie x pe er.
Il est évident que, pour satisfaire à cette condition, elles ne peuvent être que linéaires, et, par conséquent, de cette forme :
p = p'x+ p'y es q = ga gl q"z, DC SU +rly + re
Les quantités p”, p”, p"”, q', ete., seront des constantes arbitraires entre
SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 217 lesquelles, en vertu de l'équation p°+ q° e p? — 2° + V° + 7.
il faudra qu'il y ait les six équations de condition que voici : /& HI 2 HD:
p”° + q rt = 1, p" AQU Mer ts 0 + Q
