ROME

Mais, pour rendre le calcul plus simple, je substituerai immédiatement dans cette formule les valeurs de x, y, z en p, q,r, et comparant ensuite le résultat avec l'expression de T, je déterminerai non-seulement les arbitraires dont il s’agit, mais aussi les inconnues «, 8, y. Or les valeurs ci-dessus de p, q,r étant multipliées respectivement par p', g’, r’, par p’,g',r”, et par p", q"”,r”, ensuite ajoutées ensemble, donnent sur-le-champ, en vertu des équations de condition entre les coefficients p', p”, ete.,

x p'p+g'q+rr, y =p"p+9"q e r'r, z— p"p LE g"q+r"r;

| nt am Ps S la substitution de ces valeurs dans la quantité RE, et la compa-

raison avec la valeur de T de l’art. 25 donnera ainsi les six équations suivantes :

ap" 2. Bp"° ie » 711 ee À.

TE ie Bq"° de 7g"° — B, ne Br! ss Jr C, ag'r' + 8g"r" + ygr" = __F, ap'r'+ Bp"r" + pr —= 1. G, ap'q"+ 8p"qg"+ 7p"q"— e H, qui serviront à la détermination des six inconnues dont il s’agit. Méc. anal, IT. 20

Et cette détermination n’a même aucune difficulté; car si l’on ajoute ensemble la première équation multipliée par p”, la sixième multipliée par q', et la cinquième multipliée par r”, on a, en vertu des équations de condition déjà citées, | |

ap'= Ap'— Hg'— Gr'; en ajoutant la deuxième, la quatrième et la sixième, multiphées respectivement par g’, r’, p', Où aura pareillement

ag = Bg — Fr — MHp'; ajoutart enfin la troisième, la cinquième et la quatrième, multipliées respectivement par r’, p', q', On aura

ar = Cr'— Gp'—Fg';

et ces trois équations étant combinées avec l'équation de condition

serviront à déterminer les quatre inconnues «, p', q', r”.

Les deux premières équations donnent HG+F(A—e), ue (A—a)(B—e)—H,,

1 FH+G(B —e)? ? — FH+-G(B—a) °° substituant ces valeurs dans la troisième, on aura, après avoir divisé par p', cette équation en «,

(x — À) (x — B)(x — C) — F°(x — À) — Ga — B) — Ha — 0) + 2FGH — 0,

laquelle, étant du troisième degré, aura nécessairement une racine réelle. Les mêmes valeurs étant substituées dans la quatrième équation, on en tirera celles de p”, q’, r” en «, lesquelles, en faisant, pour abréger,

(x) = Y[(A— à) (B— a) —HP+THG-HF(A-a) + TFH+G(B— à),

seront exprimées ainsi :

A0 D nl eo Le

À 4 mere.

(a) CRE fe (2) D (a)

Si l’on fait de nouveau les mêmes combinaisons des équations ci-dessus,

x — FH GB a)

mn

mais en prenant pour multiplicateurs les quantités p”, q”, r” à la place de

p',qr, On en tirera ces équations-ci,

Bp"— Abe Hg" — Gr".

Bq"— Ba Fr” — Hp”, Br! HN LR Gp'— Fg”,

qui, étant Jointes à l'équation de condition p”* + g”?+ Fr"? = 1, serviront

; et comme ces équations

à déterminer les quatre inconnues 8, p”, g”,r ne diffèrent des précédentes qu’en ce que ces inconnues y sont à la place des premières inconnues «, p”, g’, r', on en conclura sur-le-champ que l’équation en f, ainsi que les expressions de p”, q”, r” en B, seront les mêmes que celles que nous venons de trouver en &.

Enfin si l’on réitère les mêmes opérations, mais en prenant p”, q”, r”

pour multiplicateurs, on trouvera de même les trois équations

auxquelles on joindra l'équation p"? + qg"° + r°? = 1; et, comme ces

équations sont en tout semblables aux précédentes, on en tirera des conclusions analogues. |

On conclura donc, en général, que l'équation en « trouvée ci-dessus, aura pour racines les valeurs des trois quantités «, £, y, et que ces trois racines, étant substituées successivement dans les expressions de p”, q', ren «, on aura tout de suite les valeurs de p’, g',r', de p”, qg”",r",et de p”,q",r"; de sorte que tout sera connu, moyennant la résolution de l'équation dont il s’agit.

Au reste, comme cette équation est du troisième degré, elle aura toujours une racine réelle, qui, étant prise pour «, rendra aussi réelles les trois quantités p', g’, r'. À l'égard des deux autres racines B et y, si elles étaient imasinaires, elles seraient, comme l'on sait, de la forme

DE CU ER et B—cy—1;

de sorte que les quantités p”, g”, r”, qui sont des fonctions rationnelles de 8,

seraient aussi de ces formes,

| pen Rr ue + n\— 1, m+n ÿ—i, m'+n V— 1;

et les quantités p”, 9”, r”, qui sont de semblables fonctions de y, seraiènt des formes réciproques

E | ne lee Mm—n\—1, m—n\/—1, m'— n'\/— 1;

donc l’équation de condition p'p"+ g"g"+r"r"= 0 deviendrait

mn m' A ne no;

"seraient

et, par conséquent, impossible, tant que m, nr, m,n,m',n réelles ; d’où il s'ensuit que 8 et y ne peuvent être imaginaires (*). Pour se convaincre directement de cette vérité, d’après l’équation même dont il s’agit, je mets cette équation sous la forme ses F{(a—A)+G{(a—B) — 2FGH PR, 17 (ae Aa Blle. #

j'y substitue successivement, au lieu de x, les deux autres racines 6 et y, et je retranche les deux équations résultantes l’une de l’autre; j'aurai, après les réductions et la division par 8 — y, cette transformée

+ (F7 G?) By — (AL + BG? + 2 FGH) (8 + y)