F7 + GG) + AE? + BG? + 2FGH (A + B

laquelle est réductible à cette forme

[(8— A) (8— B) — H°][(y — A)(y— B) — H°] + [F(8—A)—GH][F (y — A)— se +[G(£—B)—HF]|[G(y— B) — HF] —

qu’on voit être la même chose que l'équation (*)

RSI es 13

PP +g'g +rr = 0, et qui fournit, par conséquent, des conclusions semblables.

(*) L’équation dont il s'agit ici est celle qui fait connaître la direction des axes principaux dans les surfaces du second ordre. La démonstration qui suit est la première preuve directe qui ait été donnée de la réalité des racines de cette équation. (J. Bertrand.)

(**) On voit que l'intervention des quantités p”, p”, etc., n’est nullement indispensable; 1 suffit de remarquer que la dernière équation a pour premier membre la somme des produits de trois couples d'expressions imaginaires conjuguécs. (J. Bertrand.)

Donc les trois racines x, £, y seront nécessairement toutes réelles, et les

neuf coefficients p’, g', r', p", ete., qui sont des fonctions rationnelles de ces racines, seront réels aussi.

28. Nous venons de déterminer les valeurs de ces coefficients, en sorte que l’on ait

T ax + By +yz.

er À

pP+g += +y + r __et

or, en faisant varier successivement p, g r, on aura, à cause que #, Ÿ, z Sont fonctions de ces variables,

dE dx 2 OY dz db ER do’ dT . dx. dy dz D ag OT GG TV aq d'T : " dy Z der PNUr Didi gr

mas x=p'p+gq+r'r, y=p'p+g'a+r"r, 2 p"p+qg"g+r"r, comme on l’a déjà vu plus haut; donc

dx / dx dx dy 7 dy dp P° AN de Se dp Po? dj — J'ans

substituant ces valeurs, on aura donc

dp = p'aë + p'ÊY + p" y; a = Ter+ by + gr dT

/ 7 M Je =TAR+T ÉTHET YE.

De sorte qu'en vertu des équations de condition entre les. coefficients P'; q', Fi P”; eic., Gn aura

{aT\? dT\? [dT\? , ns :

æ) +) +) =er+er+r:

d'T : 2 2 2 2 2 2 (a. dp =) + + (d. Te) + k (a. %) = a dx + Ê dy + y'dz?.

et

Par conséquent, les trois équations finales de l’art. 24 se réduiront à celles-ci, ax +By" + yz = 2, xx? + Cas + s'4 7? nf",

a dx° + (° dy + y° de? 1 4e | Ya ETES 2 pe (a + y + 2) — 4,

lesquelles sont, comme l'on voit, tout à fait semblables à celles de l’art. 25, les quantités æ, y, z, «, B, y répondant aux quantités p, q, r, À, B, C. D'où 1l suit que si l’on fait, comme dans l’article cité,

on aura, entre les variables x, y, z, u,; t, les mêmes formules que l’on avait trouvées entre p, q,r,u, t, en changeant seulement À, B,Cenez, 6,7.

Ayant ainsi les valeurs de x, y, z en w ouf, on aura les valeurs complètes de p, q,r par les formules de l’art. 27.

29. Les quantités p, q, r ne suffisent pas pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de rotation du corps, elles ne servent qu'à faire connaître sa rotation instantanée. En effet, puisque

__ dP __ d@ Ml Fe sde CC dr

il s'ensuit de ce qu'on a vu dans l’art. 10, que l’axe spontané de rotation, autour duquel le corps tourne à chaque instant, fera, avec Îles axes des coordonnées a, b, c, des angles dont les cosinus seront respectivement

P q | F ei RD + 9) ÉD ES ART DNS | Vp° FLE 7? Vp° É q° Lr Vp° : g L r°

et que la vitesse angulaire autour de cet axe sera représentée par

Vr gr Pour la connaissance complète de la rotation du corps, il faut encore déterminer les valeurs des neuf quantités £”, n”, €”, £”, etc., d’où dépendent celles des coordonnées £, », €, lesquelles donnent la position absolue de

chaque point du corps dans l’espace, relativement au centre de gravité regardé comme immobile (art. 47); c’est ce qui demande encore trois intégrations nouvelles.

Pour cet effet, je reprends les formules différentielles de l'art. 13, et met- | tant pdt, gdt, rdt, au lieu de dP, dQ, dR, j'ai ces équations, dE + (gé"— re") di

(CO) dE + (r£E — pET) di — 0, dE" + (pe"— GE!) dt = 0.

et autant d'équations semblables en #", n”, n°”, et en €”, €”, €”, en chanseant seulement £ en » et en C.

LE

Ces équations étant comparées avec les équations différentielles (A) RP AE: SOU La à

de l’art. 24, entre les quantités ——; —=, ——;ilest visible qu’elles sont entié-

? dp dg° dr |

rement semblables ; de sorte que ces quantités répondent aux quantités £”, £", &", comme aussi aux quantités »”, n”, n°”, et aux quantités €”, €”, C7.

D'où je conclus que ces dernières variables peuvent être regardées comme

. CN . M À LT dT 9 . . 0 des valeurs particulières des variables ps et qu'ainsi, puisque jes . dg° dr

équations entre ces variables sont simplement linéaires, on aura, en prenant trois constantes quelconques /, m, n, ces troiséquations intégrales complètes :