SEPTIÈME SECTION

SUR LE MOUVEMENT D'UN SYSTÈME DE CORPS LIBRES, REGARDÉS COMME DES POINTS, ET ANIMÉS PAR DES FORCES D ATTRACTION.

On peut ranger en trois classes tous les systèmes de corps qui agissent les uns sur les autres, et dont on peut déterminer le mouvement par les lois de la Mécanique; car leur action mutuelle ne peut s'exercer que de trois manières différentes qui nous soient connues : ou par des forces d'attraction, lorsque les corps sont isolés, ou par des liens qui les unissent, où enfin par la collision immédiate. Notre système planétaire appartient à la première classe, et par cette raison les problèmes qui s’y rapportent doivent tenir le premier rang parmi tous les problèmes de la Dynamique. Nous allons en faire l’objet de cette Section.

Quoique dans les systèmes de cette classe, où les corps sont supposés se mouvoir librement, il soit très-facile de trouver les équations de leur mouvement, puisqu'il ne s’agit que de réduire toutes les forces à trois directions perpendiculaires entre elles, et d’égaler, par le principe des forces accélératrices, la force suivant chacune de ces directions, à l'élément de la vitesse relative à la même direction, divisé par l'élément du temps; néanmoins, l'usage des formules données dans la sect. IV est toujours préférable, parce

Mec, anal. I, à

3 ES 2 L < ris a Ë qu'elles fournissent directement, et sans aucune décomposition préalable de forces, les équations différentielles les plus simples, quelles que soient les coordonnées qu’on emploie pour déterminer la position des corps, même lorsque les corps, au lieu d’être tout à fait libres, sont contraints de se mouvoir sur des surfaces ou des lignes données.

Nous commencerons par rappeler les formules dont nous ferons usage.

4. Soient m,m',m,ete., les masses des différents corps regardés comme des points, x, y, z les coordonnées rectangles du corps m, x”, y”, z' celles du corps 7#', et ainsi de suite, ces coordonnées étant toutes rapportées aux mêmes axes fixes dans l’espace. On fera

js dx? + dy° + dz° AR sd dr" Ï I ——— — —— TR ee

mi

2 di? a di?

Et si à la place des coordonnées rectangles x, y, z, on veut employer d’autres coordonnées quelconques £, 1, €, il n’y aura qu’à substituer les valeurs de L,Y, 2 en £,n, C dans la formule dx° + dy* + dz°; de même, on substituera dans dx”? + dy"°+ dz° les valeurs de x”, y’, z' en £", n, €”, si l’on veut transformer les coordonnées rectangles x”, y”, z", en £’, n°, (”, et ainsi de suite. De cette manière, la quantité 'T deviendra une fonction des variables E,n, (, E',n, (”,etc., et de leurs différences premières.

Soient maintenant R, Q, P, etc., les forces avec lesquelles chaque point de la masse m tend vers des centres fixes ou non, dont les distances soient

r, Q, p, etc., lesquelles étant données en x, y, z deviendront aussi des fonctions de £, n, [; on fera

ON = Rèr + Qdg + Pôp + ...,

soit que ÔII soit une différentielle complète ou non; et dénotant par les mêmes lettres marquées d’un trait, de deux traits, etc., les quantités analogues relatives aux corps n°, m”, etc., on fera de plus

OV — mÔI + m'ÔIL + m’êI + ....

Si, outre ces forces dirigées vers des centres donnés, il y avait des forces d'attraction mutuelle entre toutes les molécules des corps m et m', en nommant r la distance de ces corps regardés comme des points, et R la force

SECONDE PARTIE, — LA DYNAMIQUE. 3 d'attraction dépendante de la distance ou non, il faudrait ajouter à 0 V le terme mm RÔr, et ainsi pour tous les autres corps qui s'attireraient mutuellement.

Or, les corps étant supposés libres, les coordonnées qui déterminent leur position dans l’espace sont indépendantes, et chacune d'elles, comme £, donnera une équation de la forme