LA DYNAMIQUE

ant Ce et OR te me

db da dc dx dy dz

mt CS mnt Ed PSE ne

da de db

Faisant donc ces substitutions dans l'expression

dÀ dÀ.

dÀ

7e de;

et comparant ensuite avec l'expression identique

O1 aura

DÀ | Dre, DA a dÀ De Ada te D a! dÀ Dy 0 da DA a" d} Dy à da

Ainsi, substituant ces valeurs dans les trois équations (À) de l’art. 2, elles

deviendront de cette forme, après avoir multiplié par #,

d°x À dÀ dÀ dÀ

us Fe NS DS URET, Tee

Le ( dÛ +X) # a F db de

. | dy | , dà , dÀ , dy (G) | (SE +X)— 2 da À db de d?z H dÀ 7 dÀ 1 d?

où il n'y a, comme l’on voit, que des différences partielles relatives à a. Dons tx |

Dans ces équations, la quantité A, qui exprime la densité, est une fonction donnée de a, b, c sans t, puisqu'elle doit demeurer invariable pour chaque particule; et s1 le fluide est homogène, A sera alors une constante indépendante de a, b, c, t. Quant aux quantités X, Y, Z qui représentent les forces accélératrices, elles seront le plus souvent données en fonctions de L, V2, t

6. Mais on peut réduire les équations précédentes à une forme plus simple,

en ajoutant ensemble, après les avoir multipliées respectivement et successidy. dz dx. dy ds dx dy dz Nues

> n° da” PA po? Jp? Jp Et Par Ts =) =; Car, d’après les expressions de 0, &, B, y, «', B", etc., données ci-dessus, 1l est aisé de voir

de vement par 7

qu'on aura

ea dx ! dy H dz 5: dx / dy H - D Do de Fer Pi ___. dx y dy n dz.

ensuite, dx 21 dy » 2 Re , dy nr dz a bide dm 0 Val de.

et ainsi de suite. De sorte que PRES ces opérations et ces réductions, on d?z 7 dz dx PIRE AT Hal de d°x dx dy dy d°?z dz A je (a A x) 2 (2 +Y)$+ (T hi L)%|- db

| dx dx . {[d°y {d'z . y\dzl di Ta[(gr + Ee (O NE (DE 2) Do

(*) On aurait pu parvenir directement à ces dernières équations, en intro-

aura les transformées

| d? x dx dy dy

duisant dans les formules de l’art. 2, au lieu des variations dx, dy, 8z, celles des coordonnées de l’état initial Sa, db, 8c; car, en regardant x,y, z comme

ro

(*) Cette fin de l’art. 6 ne se trouve pas dans la première édition. (J. Bertrand.)

fonctions de «a, b, c, on aura

& dx dx dx dx — 7 da + 7 OÙ + 06

| . dy dy dy y = 04 + ST db + + êc, dz dz dz | Ôz == 7 0a + 7 OÙ +700.

On fera ces substitutions dans la formule (a) de l’art. 2, et l’on égalera à zéro les quantités multipliées par da, 8b, Ôc, en observant que À étant fonction de x, y, z, on à, par rapport ad, b,C,

dh DX dx Dà dà Dà ds

da — Dax da T Dy da | Dz de’.

d DA dx D} dy , D} dz

db — Dx db ‘ Dy db ‘ Dz db

dh DA dx DA dy D dz

de — Dx de * Dy de * Dz de On aura tout de suite les équations dont il s’agit, lesquelles, dans le cas où X dx + Ÿ dy + Ldz est une différentielle complète représentée par dV,

peuvent se mettre sous cette forme plus simple,

À (LE dx dy dy d°?z dz a.) d À