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ee des Code da À A do da

de db ds db 7 de db | 4

A d'x dx dy dy d°?z dz dV dÀ ERA RS 15 Es 0,

L°% dx d°y dy d°z dz dV dA CF Por Lars à

7. On transformera, d’une manière semblable, l'équation (B) de l’art. 3, et pour cela, comme d’après la remarque de l'art. #, les différentielles dx, dy, dz ne sont relatives qu'à la variable +; on les réduira d’abord aux diffé-

° d, d dz 97 Û ° , :

rences partielles dt, . de, dt; en sorte que l’équation dont il s’agit

étant divisée par dt, sera de la forme

dx dy dz NE Te Dx Dy Dz

Méc. anal, A. 33

-; éC., on

Or, par les formes trouvées ci-dessus pour les valéurs de =; — Dx Dy

Tr dx d Lee :

aura pareillement, en substituant . étc., à la place de à,

__ dx dx dx . dx D.— : de B dr ee

NS PR EE DA a Dx 0 da 10 db F de ”

et, comme dans le second membre de cette équation, la quantité x est regardée Comme une fonction de @, b,c,t, on aura

dx d. dt __ dx da dadt

et ainsi des autres différences partielles de x; de sorte qu'on aura sim-

plement D. % | HA PAR Ps ee Dx 0 dadt ° 0 dbdt 0 dcdt ng nt On trouvera des expressions semblables pour les valeurs dé — et ; | V )z

et il n’y aura pour cela qu’à changer, dans la formule précédente, x en Yet.

Faisant donc ces substitutions dans l'équation ci-dessus, elle deviendra, après y avoir effacé le dénominateur commun 6,

d? x ; dx d?x “ PT dd 7 Ÿ do rs dY pr ÀY , dy

RE san Cd a

/ d?z Eds # d°? z

a CP bar à D de 0 Le premier membre de cette équation n’est autre chose que la valeur de ”

comme on peut s’en assurer par la différentiation actuelle de l'expression de 4 (art. 5).

ni em iZ : d0 MN Ainsi l'équation devient — — o, dont l'intégrale est 0 — fonct. (&, b, c). ; dt ? Ô : ?

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. 259 Supposons dans cette équation, £— o, et soit K ce que devient alors la quantité 4, on aura K — fonct. (a, b, c); par conséquent, l'équation

sera 0 = K.

Or nous avons supposé que lorsque { — 0, on a L' — UC, Ÿ — b, z —=C;,

donc on aura aussi alors

dx de dx De dy da — ? db: "7 de da à be dy dz Dés dz SE

Ces valeurs étant substituées dans l'expression de 9 (art. 5), on a8— 1;

donc K — 1.

Donc, remettant pour 8 sa valeur dans l'équation dont il s’agit, elle sera de la forme dx dy dz dx dy dz dz dy dz | | da d6 de db da de ‘ db dc da (E) dx dy dz | dx dy dz dx dy dz aie

le: bia dé da dé da de db

Cette équation, combinée avec les trois équations (C) ou (D) des art. 5,6, servira donc à déterminer les valeurs de à, x, y,z en fonctions de a, b, €, t.

Cette équation peut aussi se trouver d’une manière plus simple, sans passer par l'équation différentielle (B) de l’art. 3. En effet, l'équation (B) exprime seulement que la variation du volume Dx Dy Dz de la particule Dr est nulle, tandis que le temps t varie; de sorte que la valeur de Dx, Dy, Dz doit être constante et égale à la valeur primitive dadbde. Or, nous avons donné dans l’art. 5 les expressions de Dx, Dy, Dz en da, db, dc; mais il faut remarquer que dans la formule Dx DyDz, la différence Dz doit être prise en y regardant x et y comme constantes ; que, de même, la différence Dy doit être prise en regardant x et z comme constantes; et qu’enfin la différence Dx suppose y et z constantes, ce qui est évident en considérant le parallélipipède rectangle représenté par Dx Dy Dz.

Supposons done d’abord x et y constantes, et, par conséquent, Dx et Dy

nuls, on aura les deux équations

dx dx dx Ta da + 75 db —- 7 de =. GO:

dy dy dy 3, d'ou l’on tire dx dy dx dy Dee de dc db de.

nee mnt Ames nee CRE

he ns ont mes ——

da db da db

ces valeurs, substituées dans l'expression de Dz, donneront

dz {dx dy dx dy\ dz/dx dy dx dy dz {dx dy dy dx\ da\ db de de db db\ de da da de] ‘ de | da db da B) : Dz— — - ——"— —— dc.

dx dy dy dx da db da db Pour avoir de mème la valeur de Dy, on supposera Dx — o et Di: —o,

ce qui donne dx AL de de — 0 et 7. da + 7 db — 0;

{ d'ou l’on tire | dx da = = — db, 4x

et cette valeur, ainsi que celle de de — 0, étant substituées dans l'expression de Dy, donneront

dx dy dx dy da db db da

Dy — db.

Enfin, pour avoir la valeur de Dx, on fera Dy —o, Dz—o, ce qui

y œR bn

donne db = O, dc = O, et, par conséquent,

+ 2 Dr — 7. da.

Multipliant ensemble ces valeurs de Dx, Dy, Dz, on aura

de da da dc de

da\ db d de db : dadbdc.

ee . (Z dy dy 7) dc

a en mt nn ms

| dz ( dy dx a) dz (F dy dx dy | | da db da db

Faisant donc DxDyDz — dadbdc, on aura tout de suite l'équation (E).

Îl est bon de remarquer que cette valeur de DxDyDz est celle qu'on doit employer dans les intégrales triples relatives à x, y, z, lorsqu'on veut y substituer, à la place des variables x, y, z, des fonctions données d’autres

variables &, b, c.

8. Comme les équations dont il s’agit sont à différences partielles, l’intégration y introduira nécessairement différentes fonctions arbitraires; et la détermination de ces fonctions devra se déduire en partie de l’état initial du fluide, lequel doit être supposé donné, et en partie de la considération de la surface extérieure du fluide, qui est aussi donnée si le fluide est renfermé dans un vase, et qui doit être représentée par l'équation À — 0, lorsque fe fluide est libre (art. 2).

En effet, dans le premier cas, si l’on représente par À — o l'équation des parois du vase, À étant une fonction donnée des coordonnées x, y, z de ces parois, et du temps £ si les parois sont mobiles, ou d’une forme variable, en y mettant pour ces variables leurs valeurs en @, b, c, t, on aura une équation entre les coordonnées imitiales &, bd, c et le temps t, laquelle représertera par conséquent la surface que formaient dans l’état. initial les mêmes particules qui, après le temps £, forment la surface représentée par l’équation donnée À — 0. Si donc on veut que les mêmes particules qui sont une fois à la surface y demeurent toujours et ne se meuvent que le long de cette surface, condition qui paraît nécessaire pour que le fluide ne se divise pas, et qui est recue généralement dans la théorie des fluides, il faudra que lé

quation dont il s’agit ne contienne point le temps {; par conséquent, la fonction À de x, y, z devra être telle, que £ y disparaisse après la substitution des valeurs de x, y, z en a, b,c,t.

Par la même raison, équation à — o de la surface libre ne devra point contenir #; ainsi la valeur de À devra être une simple fonction de a, b, c, sans é. |

Au reste, 1l y a des cas dans le mouvement d’un fluide qui s'écoule d’un vase où la condition dont il s’agit ne doit pas avoir lieu; alors les déterminations qui résultent de cette condition ne sont plus nécessaires.

9. Telles sont les équations par lesquelles on peut déterminer directement le mouvement d’un fluide quelconque incompressible. Mais ces équations sont sous une forme un peu compliquée, et il est possible de les réduire à une plus simple, en prenant pour inconnues, à la place des coordonnées x,

dx dy dz | / y, z les vitesses er dans la direction des coordonnées, et en regar-

dant ces vitesses comme des fonctions de x, y, 2, t.

En effet, d’un côté il est clair que, puisque x, y, z sont fonctions de &, 6,

| “7 dx d dz An ‘ < .

c,t, les quantités Pr — > 7 Seront aussi fonctions des mêmes variables à,

b, c, t; done, si l’on conçoit qu’on substitue dans ces fonctions les valeurs

de a, b, c en x, y, z tirées de celles de x, y, z en «a, b, c, on aura Te?

ce ee exprimées en fonctions de x, y, z et é.

D'un autre côté, il est clair que, pour la connaissance actuelle du mouvement du fluide, il suffit de connaître à chaque instant le mouvement d’une particule quelconque qui occupe un lieu donné dans l'espace, sans qu’il soit

nécessaire de savoir les états précédents de cette particule; par conséquent, | dx dy dz dt” dt” dt D'ailleurs, ces valeurs étant connues, si on les nomme p, g, r, on aura les

il suffit d’avoir les valeurs des vitesses en fonctions de x ms. 9 y ?

équations

dx = pdt, dy —=qdt, dz— rdt, entre æ, Y, z, t, lesquelles étant ensuite intégrées, de manière que x, y, z deviennent «&, b, €, lorsque t — 0, donneront les valeurs mêmes de x, y, z en &, b,C, t.

Au reste, si l’on chasse dt de ces équations différentielles, on aura ces deux-c1,

pdy = dx, pdz = rdx,

lesquelles expriment la nature des différentes courbes dans lesquelles tout le fluide se meut à chaque instant, courbes qui changent de place et de forme d'un instant à l’autre.

10. Reprenons donc les équations fondamentales (A) et (B) des art. 9

-æ : dx dy dz D es et 3, et introduisons-y les variables p = =; q — =; r — 7, regardées comme des fonctions de x, y, z, £.

…, d'x d'y d’z IT est clair que les quantités Het at Ja.

dx dy dz d. dt d. dt Û dt | dt? dt 7 dd fonctions de a, b, ©, t.

peuvent être mises sous la

dx dy dz

Ü] \ ° ÿ | où les quantités — = sont censées des forme q TE, C

| pass | dx En les regardant donc comme telles, on aura, pour la différence de — ;

dt Fi ee PR ee dt dt dt d dt db dt F, & er NOIR CE So

et ainsi des autres; mais en les regardant comme fonctions de x, y, z,t, et les désignant par p, q, r, leurs différences — seront

P de + 2 = dx he ce ui pe + Az,

et ainsi des autres différences ; donc, si dans ces dernières expressions on met pour dx, dy, dz leurs valeurs en a, b, c, t, il faudra qu’elles deviennent identiques avec les premières; mais « étant regardé comme fonction de 4, b,c,t,on a |

de = € dt + du + À db À Z de,

dx | | \ , , LR et 3 où + est évidemment — p, en supposant qu’on mette dans p les valeurs de

t,Y,2ena,b,0C,t.

Ainsi on aura

de = pdt + .

et, de même, dy … dz dy =qdi+#da+..., dz=rdi+ da +.

Substituant ces valeurs dans l'expression de la différence complète de

d y —…. les termes affectés de dt seront

dp dp dp (Z RÉRREIFE r) de, | RS devant être identiques avec le terme correspondant — E dé, ou d° x dp dp dp.

He de +pT+a+re

et l’on trouvera de la même manière

dy __ dg aq

É = + pl da tr d°?z dr dr dr dr

ee ue Com à Las Tue On fera donc ces substitutions dans les équations (A); et comme dans ces

DA DA À / EN 4 | S Dz’ Dy’ D; leprésentent des différences partelles de à, relativement à TX, ÿ, 2, En SUpposant { constant, on y DA ra changer la caractéristique D en d.

ménes équations les termes

On aura ainsi les transformées

dp dp dp À

(TP +pE+gE+rE+x)— A

dq r dh (F) CEE 1+Y)- do

A dr cr dr ih Paz HIT +R + ne

À l'égard de l'équation (B) de l’art. 3, dans laquelle les différences marquées par d sont relatives à £, et celles qui sont marquées par D sont rela-

tives à æ, Y, z, 1l n’y aura qu’à y mettre à la place de dx, dy, dz leurs valeurs pdt, gdt, rdt, et changeant la caractéristique D en d, puisque la caractéristique est indifférente dans les différences partielles, on aura sur-le-champ, à cause de dé constant, (G) PSP

dx dy dz

On voit que ces équations sont beaucoup plus simples que les équations (C) ou (D) et (E) auxquelles elles répondent, ainsi il convient de les employer de préférence dans la théorie des fluides.

Ces quatre équations (F) et (G) donneront p, g, r et À en fonctions de x, y, z et de #, regardé comme constante dans leur intégration. Et si l’on voulait ensuite avoir les valeurs de x, Y, z en fonctions de £ et des coordonnées primitives @, b, c, comme dans la première solution, il n’y aurait qu'à intégrer les équations

dx = pdt, dy—qdt, dz—rdt,

en y introduisant comme constantes arbitraires les valeurs initiales a, b, €

de x, y, z.

14. Dans les fluides homogènes et de densité uniforme, la quantité A qui exprime la densité est tout à fait constante; c'est le cas le plus ordinaire, et le seul que nous examinerons dans la suite.

Mais, dans les fluides hétérogènes, cette quantité doit être une fonction constante relativement au temps £ pour la même particule, mais variable d’une particule à l’autre, selon une loi donnée. Ainsi en considérant le fluide dans l’état initial, où les coordonnées x, y, z sont a, b, c, la quantité A sera une fonction donnée et connue de a, b, c; donc, si l’on regarde À comme fonction de x, y, z et t, il faudra qu’en y substituant les valeurs de x, y, z en fonctions de à, b, c et t la variable £ disparaisse, et, par conséquent, que la différentielle de À par rapport à £ soit nulle. On aura donc, à cause de x, y, 2 fonctions de #, l’équation

dA | dA dx. dA dy dA dz a Ta qi du

ie L dx dy dz où il faudra mettre pou RS

Mec. anal. II, 34

leurs valeurs p, q,r.

Ainsi on aura l'équation

dei lp oide

qui servira à déterminer l’inconnue A dans les équations (F), parce que

dans ces équations on doit traiter A comme une fonction de x, y, 2. | À cet égard, elles sont moins avantageuses que les équations (G) ou (D),

dans lesquelles on peut regarder A comme une fonction connue de &, b, €.

42. Ce que nous venons de dire relativement à la fonction A, il faudra l’appliquer aussi à la fonction À, en tant que À — o est l'équation des parois du vase, et qu’on suppose que le fluide contigu aux parois ne peut se mouvoir qu’en coulant le long de ces parois, de manière que les mêmes particules restent toujours à la surface ; car cette condition demande, comme on l'a vu dans l’art. 8, que A devienne une fonction de a, b, c sans {; de sorte qu'en regardant cette quantité comme une fonction de æ, y, z, {, On aura aussi l'équation

fl | d'A æ Sn NA nn (li) ATP TT de:

Pour les parties de la surface où le fluide sera libre, on aura l'équation A — 0 (art. 2); il faudra, par conséquent, pour satisfaire à la même condition, relativement à cette surface, que lon ait aussi a À d À À LR (K) ee ai VU d pe 0

ü dx d Y

43. Voilà les formules les plus générales et les plus simples pour la détermination rigoureuse du mouvement des fluides. La difficulté ne consiste plus que dans leur intégration ; mais elle est si grande, que jusqu’à présent on a été obligé de se contenter, même dans les problèmes les plus simples, de méthodes particulières et fondées sur des hypothèses plus ou moins limitées. Pour diminuer autant qu’il est possible cette difficulté, nous allons examiner comment et dans quels cas ces formules peuvent encore être simplifiées ; nous en ferons ensuite l'application à quelques questions sur le mouvement. des fluides dans des vases ou des canaux.

#4. Rien n'est d'abord plus facile que de satisfaire à l’équation (G) de

l'art. 10; car, en faisant du dB PT 17% elle devient d°a dE

dudz | dydz +? Z = 0

laquelle est intégrable relativement à z, et donne

dax dé.

dx dy è il n’est point nécessaire d'ajouter ici une fonction arbitraire, à cause des quantités Imdéterminées « et bz Ainsi l'équation dont il s’agit sera satisfaite par ces valeurs

da dB da df

lesquelles étant ensuite substituées dans les trois équations (F) du mème

article, 11 n'y aura plus que trois inconnues, «x, f et A; et même il sera trèsfacile d'éliminer À par des différentiations partielles. De sorte que, de cette manière, si la densité À est constante, le problème se trouvera réduit à deux équations uniques entre les mconnues « et B, et si la densité À est variable, il y faudra Joindre l'équation (H) de l’art. 44. Mais l'intégration de ces équations surpasse les forces de l'analyse connue.

45. Voyons donc si les équations (F), considérées en elles-mêmes, ne sont pas susceptibles de quelque simplification. | En ne considérant dans la fonction À que la variabilité de x, y, 3, ona

d . dÀ dàÀ re / Donc, substituant pour —, —— leurs valeurs tirées de ces équations, dx’ D dz on aura |

dp dp dp dn= (À +pE+IS +r2+Xx)adr

d (a +ra+s3 Lu + Y)adr

dr dr +(T+r +4$ +rT+ Z)ade

Le premier membre de cette équation étant une différentielle complète, il faudra que le second en soit une aussi, relativement à æ, y, z; et la valeur de À qu’on en tirera satisfera à la fois aux équations (F).

Supposons maintenant que le fluide soit homogène, en sorte que la densité A soit constante ; et faisons-la, pour plus de simplicité, égale à l'unité.

Supposons, de plus, que les forces accélératrices X, Y, Z soient telles, que la quantité X dx + Y dy + Zdz soit une différentielle complète. Cette condition est celle qui est nécessaire pour que le fluide puisse être en équilibre par ces mêmes forces, comme on l’a vu dans l’art. 49 de la sect. VIT de la F® partie. Elle a d’ailleurs toujours lieu, lorsque ces forces viennent d’une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, ce qui est le cas de la nature, puisqu’en nommant les attractions P, Q, R, etc., et les distances p, g, r, etc., on a, en général (T° partie, sect. V , art. 7),

X dx + Y dy + Zdz = Pdp + Qdq +R dr +...

Faisant donc

A == 1. | et kdo NV Eds = Pan OM ER dE ere dN, l'équation précédente deviendra dp dp dp .dp | (LÉ ++ +re dx, dq dq dq dq

/ dr dr dr : dr Mia En a ae at T ) dz; et il faudra que le second membre de cette équation soit une différentielle complète, puisque le premier en est une. Cette équation équivaudra aussi aux équations (F) de l’art. 40.

Or, en considérant la différentielle de ; prise relativement à x,

Y, 4, 1 n'est pas difficile de voir qu’on peut donner au second membre de

SECONDE PARTIE. — LA OYNAMIQUE. 26g > 7 | . . , , | l'équation dont il s’agit, cette forme,

d.(p°+g'+r) , dp

; + L de + dy + Fdr do dg du cn + (FE — 2) (gdx — pdy) + (2-2) (rdx — pdz)

Tr de (2 “ &) (rdy — q di); et l’on voit d’abord que cette quantité sera une différentielle complète, toutes les fois que p dx + qdy + r dz le sera elle-même ; car alors sa différentielle à | . dp dq dr $ .

par rapport à £, savoir, — dx +- HU + dz, le sera aussi, et, de plus, les conditions connues de l’intégrabilité donneront Pi, gd dy das ut dz dx ? dz dy

D'ou il suit qu'on pourra satisfaire à l'équation (L) par la simple supposition que pdx + qdy + rdz soit une différentielle complète; et le calcul du mouvement du fluide sera par là beaucoup simplifié. Mais, comme ce n’est qu'une supposition particuhère, 1l importe d'examiner, avant tout, dans quels cas elle peut et doit avoir lieu.