TZ O

et, par suite, | d'joga __ pt—:

d? log a ce sa —— eEsi une quantite positive, et

Le nombre p surpassant l’unité, on voit par là que aa

qu’ainsi la valeur 0,662... de a, correspondante à £ — se est bien un minimum.

La troisième solution nous donnerait

sné —0, C0 où:

on aurait en même temps

eP+eTP rs mn:

par suite

Il s’ensuivrait a — 1, maïs cette valeur de à ne peut être qu'un maximum, puisque pour FT Li e- 9 T C2 9 e = = & est un minimum, et qu entre é—=o et £—-iln'y a pas de maximum, non plus | 2 d'éntré Ce 7 et CEST { 2 Le nombre trouvé ci-dessus 0,6627432... est donc bien le seul minimum de a, et ce . . , « TK . . : ? « a minimum répond à é = = Ainsi les développements en série dont on fait usage dans la

théorie du mouvement elliptique sont toujours convergents, tant que l’excentricité e est inférieure à 0,662 7432...; dès que l’excentricité dépasse cette limite, les séries cessent d’être convergentes, si l’anomalie moyenne est égale à 90 degrés. Maïs si l’anomalie moyenne est différente de 90 degrés, ces mêmes séries resteront convergentes jusqu’à des valeurs de e supérieures à 0,6627432..., et d'autant plus voisines de x que l’anomalie moyenne est elle-même plus voisine de zéro ou de 180 degrés.

ani mn RER COQ Erreur

NOTE If.

Histoire du problème de la détermination des orbites des comètes,

antérieurement à la première édition de la Mécanique analytique; par LAGRANGE.

Le fameux problème de la détermination de l'orbite d’une comète d’après trois observations, sur lequel Newton s’est exercé le premier et dont il ne nous a laissé que des solutions imparfaites, a occupé depuis plusieurs grands géomètres ; maïs leurs efforts n’ont presque abouti jusqu’à présent qu’à varier et à simplifier à quelques égards les méthodes proposées par Newton, sans les rendre plus exactes et plus commodes pour la pratique.

Je me propose d'exposer dans ce Mémoire l’état de la question, et le résultat des principales recherches qu'on a faites pour la résoudre.

‘Le problème considéré analytiquement n’a point de difficulté, rien n'étant plus aîïsé que de le rappeler à deux équations algébriques entre deux inconnues. Car chaque observation de la comète donne immédiatement la position de la droite visuelle qui joint les centres de la Terre et de la comète: de sorte qu’en prenant les distances de la comète à la Terre au temps des deux premières observations pour les deux inconnues du problème, on peut déterminer algébriquement les lieux de la comète par rapport aux lieux du Soleil qu'on suppose connus par les Tables. Ayant ainsi la position de deux points de l'orbite de la comète pour deux instants donnés, on détermine: 1° la position du plan de cette orbite, c’est-à-dire le lieu du nœud et l’inclinaison; 2° les distances de la comète au Soleil , ou les rayons vecteurs de l’orbite, avec l’angle intercepté entre ces rayons; d’où, par les propriétés connues du mouvement parabolique, on déduit aisément le paramètre de la parabole, la position de son grand axe, et l'instant du passage de la comète par son sommet ou par le périhélie; et enfin l'expression du temps écoulé entre les deux observations, expression qui, étant égalée à l'intervalle observé, fournit une première équation algébrique.

On trouve ensuite une seconde équation par le moyen de la troisième observation en comparant le lieu observé de la comète avec celui qu’on trouve pour le même instant d’après les propriétés du mouvement parabolique. Et l’on voit même que cette comparaison doit fournir deux équations, l’une relative à la longitude de la comète, et l’autre à sa latitude; en sorte qu'il suffit, pour la détermination du problème, que l’on connaïsse seulement la longitude ou la latitude géométrique de la comète au temps de la troisième observation.

Au lieu d'employer pour inconnues les deux distances de la comète à la Terre au temps de deux observations, on pourrait prendre d’autres quantités quelconques , pourvu que ces quanütés, combinées avec les données, déterminassent entièrement la position des deux lieux de la comète dans son orbite autour du Soleil. On pourrait, par exemple, prendre pour inconnues les deux rayons vecteurs de l'orbite, ou les deux longitudes héliocentriques de la comète, ou, etc. ou enfin le lieu du nœud et l’inclinaison de l'orbite à l’écliptique,

ce qui parait au premier aspect plus simple et plus naturel, puisque ces deux dernières quantités sont indépendantes des lieux de la comète au temps des observations; maïs il est facile de se convaincre que ce dernier choïx des inconnues rendrait le calcul plus long et plus compliqué.

Ayant ainsi réduit le problème à deux équations algébriques entre deux inconnues, il ne s’agit plus que de traiter ces équations par les règles connues de l’algèbre : il faudra donc éliminer d’abord une des deux inconnues et ensuite résoudre l'équation finale. Mais, 1° les deux équations auxquelles on parvient par l’analyse précédente se présentent sous une forme très-compliquée et embarrassée de radicaux qu’il faudrait faire disparaître avant d'entreprendre l'élimination; 2° cette élimination demanderait des calculs irès-longs et ferait monter l'équation finale à un degré si élevé, qu’il serait absolument impossible d'en tirer aucun parti. |

Tels sont les obstacles qui rendent la méthode directe tout à fait impraticable et qui oni forcé les géomètres à recourir aux méthodes d'approximation. Maïs l’approximation même présenie de grandes difficultés; car pour pouvoir l’employer avec succès il faui connaître d’avance les premières valeurs approchées des inconnues dont on cherche la valeur exacte. Or dans le problème des comètes rien ne peut nous faire connaître à priori ces valeurs approchées dont il faut partir : ainsi il ne reste qu’à tâcher de simplifier le problème par le moyen de quelque supposition convenable; et celle qui se présente le plus naturellement est de regarder la portion de l'orbite décrite dans l'intervalle des troïs observations comme rectiligne et parcourue d’un mouvement uniforme. Cette hypothèse doit même paraître d'autant plus plausible qu’elle a été pendant longtemps l'hypothèse favorite des astronomes, pour le mouvement des comètes, avant que Newton eüt démontré que ces astres étaient soumis aux loïs générales du mouvement des planètes, et que leurs orbites étaient à très-peu près paraboliques. Le grand avantage de cette hypothèse est de réduire la recherche des vrais lieux de la comète, au temps des observations, à des équations du premier degré, Si l’on n’emploie que des observations de la longitude, il en faut quatre, ainsi qu'on le voit dans le problème 56 de l’Ærithmétique universelle; maïs, en tenant aussi compte des latitudes, trois observations suffisent pour la solution du problème : et ce qu’il y a de singulier, c’est que si l’on prend pour inconnues le lieu du nœud et l'inclinaison de l'orbite, on tombe dans une équation finale du neuvième degré, au lieu qu'en prenant pour inconnues deux distances de la comète à la Terre, on parvient directement à des équations du premier degré, comme on le voit par la solution que M. Bouguer a donnée le premier de ce problème dans les Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris pour

Il est visible que l'hypothèse dont il s’agit s’écartera d’autant plus de la vérité que Pare parcouru par la comète dans l’intervalle des observations sera plus grand; maïs aussi, par la raison contraire, elle doit s’en approcher d’autant plus que cet arc sera moindre : ainsi, en employant des observations peu distantes entre eiles, il semble qu’on pourrait du moins trouver de cette manière les premières valeurs approchées des inconnues du problème. Mais malheureusement ce moyen si simple d'arriver à ce but est trop défectueux pour qu on puisse s'en servir sans s'exposer à de très-grandes erreurs. C'est ce que quelques

géomètres ont déjà remarqué, et ce que je me propose de prouver rigoureusement dans le cours de ce Mémoire (*).

L'hypothèse dont nous venons de parler en renferme réellement deux, l’une que la portion de l’orbite de la comète soit rectiligne, l’autre qu’elle soït parcourue d’un mouvement uniforme : voilà pourquoi cette hypothèse seule suffit pour déterminer tout d’un coup les deux inconnues du problème. Si l’on n’adoptait qu’une partie de cette hypothèse, on ne pourrait alors déterminer qu’une seule inconnue, et il faudrait chercher l’autre, ou par la résolution directe d’une équation fort élevée, ou par plusieurs fausses positions.

Dans la solution que Newton propose à la fin de son petit Traité De systemate mundi, il regarde l’orbite de la comète comme rectiligne, maïs il suppose que les parties décrites dans les deux intervalles entre Îles trois observations soient parcourues avec les vitesses réelles que la comète doit avoir au temps de la première et de la seconde observation: vitesses qui, par la théorie du mouvement parabolique, sont en raison inverse des racines des distances de la comète au Soleil au temps de ces observations; et il emploie la méthode de fausse position pour déterminer une des distances de la comète à la Terre.

Maïs si l’on évite par ce moyen une partie de l’inexactitude attachée à l'hypothèse du mouvement rectiligne et uniforme, il y reste néanmoïns encore une trop grande source

d'erreur pour qu'on puisse lemployer avec succès. C’est apparemment ce qui a engagé

(*) Le Mémoire dont parle ici Lagrange fait partie des Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1779. On y trouve, en effet, la preuve analytique de l'insuffisance des considérations dont il est ici question. On peut, du reste, substituer à un calcul de Lagrange le raisonnement géométrique suivant. Lorsque l’on connaît trois observations de la comète, on peut déterminer les positions absolues de trois droites sur lesquelles elle s’est successivement trouvée à des époques connues; si donc on regarde son mouvement comme rectiligne et uniforme, la droite parcourue est assujettie à la double condition de rencontrer trois droites données et de former entre ces droites deux segments dont le rapport soit donné. Le problème est en général déterminé; pour le résoudre, on peut remarquer qu’en menant par les droites sur lesquelles se trouvent les positions extrêmes, deux plans parallèles entre eux, la position intermédiaire de la comète sera sur un plan parallèle à ceux-là et dont les distances à chacun d’eux sont dans le rapport donné. L’intersection de ce troisième plan avec la droite sur laquelle se trouve la position intermédiaire de la comète, détermine complétement cette position; malheureusement, il arrive dans le cas considéré que le plan et la droite qui, par leur intersection, fournissent le point cherché, se coupent sous un très-petit angle : si, en effet, on considérait pendant le petit intervalle qui sépare les observations, le mouvement de la Terre comme rectiligne et uniforme, les trois rayons vecteurs dirigés vers la comète, animée elle-même d’un mouvement rectiligne et uniforme, seraient rigoureusement parallèles À un méme plan, et le rayon vecteur intermédiaire ferait un angle nul avec le plan parallèle aux deux autres. Mais l’hypothèse n'étant pas rigoureusement exacte, la conclusion ne l’est pas non plus, et l’on doit dire seulement que cet angle est très-petit. Or un point déterminé par l'intersection d’une droite et d’un plan trèspeu inclinés l’un sur l’autre est, comme on sait, fort mal déterminé, et la plus légère variation dans les données peut lui faire subir un changement considérable, en sorte que les conditions dont nous avons fait usage n'étant vraies qu’approximativement, il n’y a aucun parti à tirer de la solution qu’elles fournissent. (J. Bertrand.)

Newton à donner une autre solution du problème des comètes, entièrement indépendante de l'hypothèse dont il s’agit, et dans laquelle on aurait égard en même temps à la courbure de l’arc parabolique et à la variation du mouvement.

Telle est celle qu’on lit à la fin du troisième livre des Principes, et dans laquelle le génie inventeur ne brille pas moins que dans le reste de cet admirable ouvrage.

Newton y donne d’abord un moyen de couper la corde qui sous-tend l’arc parabolique parcouru entre la première et la troisième observation , de manière que les parties soient à trés-peu près proportionnelles aux aires parcourues, et, par conséquent, aux temps employés par la comète à décrire deux portions quelconques de cet are; et il remarque que cette proportion devient rigoureusement exacte, lorsque le point qui sépare les deux parties de l'arc tombe au sommet du diamètre qui partage la corde donnée en deux également. Il détermine ensuite la vitesse avec laquelle la même corde pourrait être parcourue uniformément dans un temps égal à celui que la comète emploie à décrire l'arc; enfin il détermine la force accélératrice qui dans le même temps ferait décrire, d’un mouvement unifor- mément accéléré, une ligne égale à la flèche du même arc, comprise entre le sommet de l'arc et la corde. Newton n’emploie dans ces déterminations d’autres données que la distance du sommet de l’are au foyer de la parabole, et la longueur de la corde, ou celle de la flèche; de sorte que comme par les propriétés de la parabole la flèche est égale au carré de la corde divisée par 16 fois la distance du sommet de l’arc au foyer, et que cette distance plus la flèche est égale à la demi-somme des distances des extrémités du même arc au foyer, on peut, par le moyen de ces théorèmes, déterminer immédiatement le temps employé à décrire l'arc parabolique, par la corde qui sous-tend cet are, et par la somme des rayons vecteurs qui répondent aux deux extrémités de l’arc. C’est ce que M. Lambert a fait depuis dans son beau Traité De orbitis cometarum, où il est parvenu à un des théorèmes les plus élégants et les plus utiles qui aient été trouvés jusqu'ici sur ce sujet, et qui a en même temps l’avantage de s'appliquer aussi aux orbites elliptiques.

Pour en revenir à la solution de Newton, voici comment il la déduit des principes qu'il a posés. Il choisit trois observations de la comète, dont les intervalles soient peu différents, afin qu'au temps de la seconde observation la comète se soit trouvée peu éloignée du sommet de l’arc décrit entre la première et la troisième. Il mène, dans un plan qu'il regarde comme celui de l’écliptique, trois droites qui soient les projections des rayons visuels tirés de la Terre à la comète dans les trois observations, et dont la position est par conséquent connue. 1] prend dans la droite qui répond à la seconde observation un point arbitraire pour la projection du lieu de la comète; de ce point il coupe, dans la droite qui va au Soleil , une partie égale à la projection de la flèche qui doit sous-tendre l'arc parcouru dans l’intervalle donné entre la première et la troisième observation; et par l'extrémité de cette partie coupée il mène une droite dont les parties coupées par les deux lignes qui sont les projections des rayons visuels dans la première et dans la troisième observation, soient entre elles comme les intervalles entre ces observations et la seconde. Il est visible que cette droite serait la projection de la corde qui sous-tend le véritable arc parabolique décrit par la comète depuis la première jusqu’à la troisième observation, si 1° le point pris arbitrairement pour le lieu de la comète dans l’écliptique au temps de Ja deuxième observation était le véritable; 2° si

Méc, anal. TI, fr

la comète au temps de cette observation s'était trouvée précisément au sommet de l'arc; 3° si la corde qui sous-tend cet arc était coupée par le rayon vecteur du sommet en deux parties exactement proportionnelles aux temps employés à décrire les deux parties de l'arc qui sont de part et d’autre du sommet. Comme ces deux dernières conditions ont lieu à peu près, Newton se sert de cette première détermination de-la corde pour en trouver une plus exacie, au moyen du théorème qu’il a donné pour couper la corde dans une raison trèsapprochante de celle des temps. |

Connaissant ainsi la longueur et la position de la corde projetée, il en déduit, au moyen des latitudes observées, celles de la véritable corde dans l'orbite, et il compare cette longueur avec celle que la mème corde doit avoir pour répondre au temps écoulé entre la première et la troisième observation. Si ces deux quantités s'accordent, c’est une marque que les déterminations précédentes sont exactes; et il n’y a plus qu’à décrire l'orbite parabolique par la condition qu’elle passe par les deux extrémités de la corde: ce qui est un problème déterminé et résoluble par les principes que Newton a établis dans le premier livre. Mais comme il est presque impossible que cet accord ait lieu dans la première opération, Newton prescrit de réitérer la même opération en prenant deux différents points pour le lieu de la comète dans l’écliptique au temps de la seconde observation ; ensuite il coupe, dans les cordes projetées, des parties respectivement égales aux erreurs des opérations, et faisant passer un arc de cercle par les points correspondants, il prend l'intersection de cet arc de cercle avec la droite qui est la projection du rayon visuel dans la première ou dans la troisième observation, pour le vrai lieu de la comète dans l’écliptique au temps de cette observation. De cette manière, Newton détermine les lieux de la comète dans l’écliptique au temps de la première et de la dernière observation, et de là il déduit ensuite par un calcul direct tous les éléments de l'orbite.

Ce procédé de Newton serait sans doute plus exact, si au lieu d’un cercle il faisait passer une ligne parabolique par les points correspondant aux erreurs des différentes opérations; mais il faudrait alors avoir un plus grand nombre d’erreurs, et par conséquent multiplier davantage les opérations, ce qui allongerait considérablement la recherche dont il s’agit. D'ailleurs Newton ne regarde encore ces résultats que comme des approximations, ei il enseigne ensuite à les corriger par des doubles parties proportionnelles.

Telle est en substance la méthode de Newton, que la plupart de ceux qui ont traité le problème des comètes après lui ont passée sous silence, ou n’ont regardée que comme une méthode graphique peu exacte et d’un usage difficile. Par le détail où nous venons d'entrer sur cette méthode, il est facile de juger que les difficultés qu’elles renferment naissent du fond même du sujet, et qu’on ne saurait employer plus de sagacité et d'adresse pour les surmonter. Le but de Newton est de réduire le problème à une seule inconnue, et il y parvient par la considération de la corde qui sous-tend l’arc parcouru entre la première et la troisième chservation, et par le moyen qu’il donne pour la partager en deux parties proportionnelles aux aires paraboliques correspondantes. Si Newton avait voulu se contenter de supposer que le rayon vecteur qui répond à la seconde observation partage la corde en parties proportionnelles aux intervalles de temps entre cette observation et les deux autres, sa solution serait devenue beaucoup plus simple ; mais il a peut-être regardé cette suppo-

NOTES. 329 sition comme trop peu exacte, et il ne s’en est servi que pour trouver une première approximation, qu’il a soin de corriger aussitôt. |

Cependant, comme dans toute cette recherche il ne s’agit à proprement parler que de trouver des valeurs approchées qu’il est facile de corriger ensuite, il paraît qu on peut s'en tenir à cetie supposition, qui revient dans le fond à prendre, à la place des vrais secteurs paraboliques décrits entre les deux premières et les deux dernières observations ; les secteurs triangulaires formés par les mêmes rayons vecteurs et par les cordes des ares parcourus entre ces observations; car il est aisé de voir que ces secteurs sont exactement en raison des parties de la corde qui sous-tend l'arc entier, décrit entre Îa première ei la troisième observation.

Cette remarque importante est due à M. Lambert, qui en a fait le plus heureux usage dans son Traité déjà cité. Mais avant de parler de cet ouvrage je dois faire mention de celui que M. Euler a donné en 1744 sous le titre de Theoria motus Planetarum et Cometarum, et qui paraît être le premier où le problème des comètes ait été traité analytiquement.

M. Euler suppose d’abord que l’arc parcouru par la comète dans l'intervalle des observations est très-petit, moyennant quoi il prouve facilement par la théorie des forces centrales que dans les points intermédiaires la corde de l'arc est coupée par le rayon vecteur

en raison des temps, et il donne une formule assez simple, mais seulement approchée pour exprimer la flèche correspondante.

D'après ces principes et en prenant pour inconnue la distance de la comète à la Terre dans la seconde observation , il détermine la position et la longueur de la corde qui soustend l'arc parcouru entre la première et la troisième observation; par conséquent, il trouve les lieux de la comète dans son orbite au temps de ces observations ; d'où il conclut ensuite tous les éléments de l'orbite.

Jusqu'ici la solution de M. Euler est analogue à celle de Newton; mais pour déterminer la valeur de l’inconnue, M. Euler demande une quatrième observation, et en comparant le lieu donné par cette observation avec celui que la comète doit avoir dans le même instant dans l'orbite trouvée, il parvient à la détermination dont il s’agit par la méthode ordinaire de fausse position.

Cette manière de trouver la valeur de l’inconnue est peut-être plus exacte que celle de Newton, surtout si, comme M. Euler le prescrit, on choisit une observation assez distante des premières. Maïs en mème temps on doit avouer qu’elle est moins directe, puisqu'on y emploie plus de données qu’il ne faut pour la solution complète du problème.

L'hypothèse de la proportionnalité des parties de la corde aux temps correspondants est aussi la base de la solution que M. Lambert a donnée du problème des comètes dans le Traité déjà cité. Mais deux choses distinguent surtout cette solution : l’une, c’est le beau théorème que M. Lambert y donne pour exprimer le temps employé à parcourir un arc quelconque, au moyen de la corde qui sous-tend cet are et de la somme des deux rayons vecteurs qui répondent aux extrémités du même arc, théorème qui par sa simplicité et par

sa généralité doit être regardé comme une des plus ingénieuses découvertes qui aient été

Ar,

faites dans la théorie du système du monde (*\ ; l’autre, c’est le moyen que M. Lambert imaginé pour se dispenser de tenir compte de la flèche de l’arc parcouru, en considérant la projection des lieux de la Terre et de la comète sur un plan perpendiculaire à celui dans lequel la Terre, le Soleil et la comète se trouvent au temps de la seconde observation, et qui est déterminé par les deux lignes qui vont de la Ferre au Soleil et à la comète. Car il est visible que la projection du rayon vecteur de la comète sur le plan dont il s’agit doit se confondre avec la projection de Îa ligne visuelle menée de la Terre à la comète, et dont la position est connue par l'observation. D'ailleurs il est clair que si la corde est coupée par le rayon vecteur qui répond à la seconde observation en parties proportionnelles aux intervalles de temps, la projection de cette corde sur un plan quelconque doit être coupée de même par la projection du rayon vecteur. Donc la projection de la corde sur le plan dont nous venons de parler sera coupée en parties proportionnelles aux temps, par la projection de la ligne menée de la Terre à la comète dans la seconde observation. Il s'ensuit de là qu’il n’y a qu’à prendre pour inconnue la partie de cette ligne projetée qui est comprise entre le lieu de la Terre et le point d’intersection de la corde projetée, et mener par ce point dans le plan de projection une droite telle, qu'elle soit coupée par lignes visuelles menées de la Terre à la comète dans la première et dans la troisième observation, et projetée également sur le même plan, de manière que les parties soient proportionnelles aux temps écoulés entre les trois observations. Cette droite sera la projection de la corde, dont on connaîtra par conséquent la position et la grandeur. De Îà on trouvera les valeurs des deux rayons vecteurs qui joignent cette corde, et enfin le temps que la comète a dû employer à parcourir l'arc sous-tendu par la même corde. Ce temps étant comparé avec l’intervalle entre la preinmière et la troisième observation, donnera une équation qui servira à déterminer l’inconnue. | | M. Lambert trouve que lorsque l’arc parcouru est assez petit, l'équation dont il s’agit ne monte qu’au sixième degré; mais nous avons prouvé (**) qu'il est impossible d’abaïsser l’équation finale au-dessous du septième degré, quand même on supposerait les intervalles écoulés entre les trois observations infiniment petits. Avant examiné d’où peut venir l’inexacütude de ce résultat, j’ai reconnu que c’est uniquement parce que M. Lambert prend la distance du point du milieu de la corde au Soleil pour la demi-somme des distances des extrémités de la même corde au Soleil, c’est-à-dire pour la demi-somme des rayons vecteurs: ce qui n’est pas rigoureusement exact. [Îl est vrai que l'erreur doit être d'autant moindre que la corde est plus petite, de sorte qu'il semble qu'elle devrait disparaître dans l'infiniment petit; mais comme cette erreur a toujours une proportion finie avec les autres uantités qui deviennent aussi infiniment petites et d’où dépend la solution du problème, il n’est pas plus permis de la négliger qu’il ne le serait de négliger les carrés des différences

prennères dans les équations différentielles du second ordre.

(*) Nous avons déjà fait rémarquer, page 28, que le véritable auteur de ce beau théorème est

Euler. (J. Bertrand. ) | (**) Mémoires de Berlin, 1979. (J. Bertrand.)

Au reste, M. Lambert ne fait point usage de cette équation approchée, ni mème de l’équation générale, pour déterminer l’inconnue. Il abandonne au contraire l’analyse et fui substitue une construction, dans laquelle, au moyen de la description d'une courbe qu’il fait passer par différents points déterminés par plusieurs opérations successives, il détermine les vrais lieux de la comète et les éléments de son orbite; ensuite il corrige ces valeurs approchées par la méthode différentielle connue. On trouve cette méthode plus détaillée et appliquée en même temps à différents exemples dans la TIT* partie des Beyträge zum Gebrauche der Mathematik, etc.

Ce que M. Lambert n’a point fait, a été entrepris depuis avec succès par M. Tempelhoff dans la pièce qui vient de partager le prix de l’Académie. En partant du même principe de la proportionnalité des parties de la corde aux temps, et en employant le théorème de M. Lambert pour déterminer le temps par la corde et par la somme des rayons vecteurs, M. Tempelhoff (*) parvient à une équation finale qui ne contient qu'une seule inconnue et qu'il résout par la méthode ordinaire de fausse position, L'application qu'il a faite de sa solution à la comète de 1769 en prouve la bonté et l'utilité.

Les découvertes de M. Lambert, dont nous venons de rendre compte, ne sont pas les seules dont la théorie des comètes lui ait obligation. Ce savant a donné depuis, dans le volume de l’Académie pour l’année 1971, un moyen très-ingénieux pour trouver directement les‘ distances de la comète au Soleil dans la seconde observation , en considérant la déviation du lieu apparent de la comète dans cette observation, par rapport au grand cercle de sphère qui passerait par les deux lieux apparents de la première et de la troisième observation. M. Lambert remarque que cette déviation est l’effet combiné de la courbure de l'arc parcouru par la Terre, et de celle de l’arc parcouru par la comète dans le même temps. Or la première courbure est connue; la seconde l’est aussi à très-peu près par la théorie des forces centrales, du moins tant que l'arc est supposé fort petit: ainsi l’on peut former une équation qui servira à déterminer le vrai lieu de la comète. M. Lambert réduit le problème à trouver sur une droite donnée de position un point tel, que la partie déterminée par ce point fasse avec le cube de la distance de ce même point à un autre point donné hors de a droite dont il s’agit, un solide donné; et il est facile de se convaincre, en réduisant ce probilème au calcul, qu'il conduit à une équation du septième degré: ce qui confirme ce que nous avons déjà avancé plus haut touchant la limite du degré de équation finale. On trouve un exemple de cette méthode dans les Éphémérides de 1997.

els sont les principaux pas que l’on a faits Jusqu'ici dans la solution du problème des comètes. Comme la solution directe et rigoureuse est impossible, du moins dans l’état d'imperfection où est encore la théorie des équations, le seul objet qu’on puisse se proposer est de résoudre Le problème par approximation. On ne manque pas de méthodes pour cor-

(*) Le prix proposé par l’Académie fut partagé entre Tempelhoff et le célèbre Condorcet. On éprouve quelque surprise en lisant la solution de Condorcet, de la trouver fondée sur l'hypothèse d’une première approximation obtenue en supposant le mouvement rectiligne et uniforme. On a vu plus haut que cette hypothèse est absolument inadmissible. (J. Bertrand.)

riger par des approximations successives les premières valeurs trouvées. Ainsi la difficulié ne consiste qu'à parvenir à une première approximation, et c'est le but des différentes méthodes dont nous venons de rendre compte. Maïs ces méthodes, quelque ingénieuses qu’elles soient, me paraissent laisser encore beaucoup à désirer. Car, 1° ces méthodes ne sont pas assez directes, n'étant pas tirées des principes de la question envisagée d’une manière générale et rigoureuse, mais plutôt de considérations particulières et de suppositions précaires ; 2° elles sont assez compliquées et ne peuvent donner que des résultats incertains, puisqu'on n’y apprécie point l'effet des erreurs qui doivent naître des suppositions sur lesquelles elles sont fondées. La seule circonstance d’où l’on puisse déduire une première approximation, est que les observations soïent peu distantes entre elles ; il faut donc faire voir à priori, et par la nature même des équations fondamentales du problème, comment cetté supposition seule peut servir à trouver des valeurs approchées des inconnues ; ensuite il faut encore assigner des limites entre lesquelles on soït assuré que doivent tomber les véritables valeurs. Ce n’est qu’en observant ces conditions qu’on peut se flatter de parvenir à une solution satisfaisante du problème des comètes ; et c’est l’objet que l’Académie avait eu en vue en proposant ce problème pour le sujet du dernier prix de Mathématique. Quoique les deux pièces couronnées, et celles qui ont eu l’accessit, aient répandu beaucoup de nouvelles lumières sur cette question, il paraît néanmoïns qu’elle n’y a pas été envisagée sous le point de vue dont je viens de parler, et qu’on peut à cet égard la traiter encore comme un sujet entièrement nouveau. Ce sera l’objet d’un autre Mémoire (*).

ne A 0 RE DR ge PEN Le END

(*) Cette Notice remarquable de Lagrange fait partie de la collection des Mémoires de Berlin pour 1798; on y retrouve la netteté et la profondeur des admirables Notices historiques qu'il a placées dans le premier volume de la Mécanique analytique. Nous avons cru devoir la reproduire, parce qu’elle est le développement de ce qui a été dit sur le même sujet à la page 37 du présent volume. I faudrait y ajouter aujourd’hui bien des pages pour compléter l’histoire de ce célèbre problème. Qu'il nous suffise de dire que les méthodes mentionnées dans cet article ne sont plus considérées aujourd’hui comme méthodes pratiques. Les astronomes emploient presque exclusivement, dans le cas des orbites paraboliques, la méthode d’Olbers dont les principes reviennent, au fond, à ceux proposés par Lambert. Lorsque l'orbite est elliptique, on a recours le plus ordinairement à la méthode de M. Gauss, | si clairement et si complétement exposée dans l'ouvrage intitulé Theoria motus corporum cœlestium. Il est intéressant de rapprocher, de la Notice qu'on vient de lire, la preface dans laquelle l’illustre géomètre de Gôttingue aborde l’histoire du problème qu’il veut résoudre. Nous devons mentionner aussi la méthode proposée par Laplace, qui devient avantageuse lorsqu'on dispose d’un grand nombre d'observations très-exactes et très-rapprochées. (J. Bertrand.)

NÔTE IT.

Sur la solution particulière que peut admettre le problème du mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances; par M. J.-A. Serrer.

Lagrange a remarqué, au chapitre LIT de la sect. VIT (*), que, dans le problème du mouvement d’un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances, la trajectoire du mobile peut être une ellipse ou une hyperbole qui a pour foyers les deux centres fixes. Et la mème chose peut encore avoir lieu, si l’on ajoute un troisième centre fixe placé au milieu de la droïte qui joint les deux premiers et doué d’une action proportionnelle à la simple distance. Le raisonnement employé par Lagrange pour établir cette proposition laisse quelque chose à désirer, ainsi que nous en avons déjà fait l’observation; l’objet que nous avons en vue dans cette Note est de donner une démonstration rigoureuse du point dont il s’agit.

Nous conserverons toutes les notations de l’auteur : aïnsi la distance des deux premiers centres fixes sera L; nous prendrons pour coordonnées du mobile les distances r, q à ces deux centres et l'angle o© que forme la projection de » sur un plan perpendiculaire à k, avec une droite fixe située dans ce même plan ; enfin, nous poserons r + g= setr— q=u. La force proportionnelle à la distance, et qui est dirigée vers le troisième centre fixe dont nous avons parlé plus haut, peut être décomposée en deux autres dirigées suivant les rayons r etgq et respectivement proportionnelles à ces rayons; en sorte que le mobile sera sollicité par les deux seules forces

œ 6 | ee LE at

æ, B, y désignant des constantes données. En nommant B, C, H les constantes introduites par les trois premières intégrations et en faisant, pour abréger,

… le? 2 S=— st (+ D) RC ui he?

U=— us (H 4 1) + (a — 6}u+ Cut h (a — E}u— Hhs— B?, le problèmese trouve ramené aux équations suivantes, où les variables sont séparées, savoir: | ds du VS VU BA? ds À (1) do À — B’'du (s— R\VS (u—#°) VU ee ee . u? du 4VS AVU

rome mere ten Dot

(*) Page r00 de ce volume.

les deux premières de ces équations appartiennent à la trajectoire et la troisième fait connaître l'élément du temps. Les constantes B, €, H peuvent être déterminées en se donnant la position du mobile et sa vitesse au commencement du mouvement. Nous supposerons que cette détermination ait été faite, et alors, en désignant par r, 55, & les valeurs

l se du (2) Penn B 2° | | | se 5 (s— 27) VS sa, (u?— h?) TU — [ Ss° ds 1 Un du À VS 4) VU

Dans le cas général les intégrales contenues dans les équations (2) sont des fonctions abéliennes , maïs elles se réduisent à de simples fonctions elliptiques dans le cas de Ve ds On voit que généralement les coordonnées s et u dépendent l’une de l’autre; en d’autres termes, ces quantités sont toutes deux variables. Cependant il peut arriver que la trajectoire du mobile soit une ellipse ou une hyperbole ayant pour foyers et pour centre les trois centres fixes ; c’est ce que nous allons expliquer.

La première des équations (1), où B, €, H ont des valeurs déterminées, admet, outre son

intégrale générale, la solution particulière, SÛ — O,

en sorte qu'on pourra la vérifier en prenant pour s l’une des racines de $ — 0, ou pour & l’une des racines de Ü — o. Mais, pour que cette solution particulière puisse convenir à

notre problème, il faut d'abord que la valeur initiale S, ou U, de $ ou U soit nulle; il faut

ds er A ‘du 2:

dt 0 ne Fe 0 ESS 9:

l'indice o indiquant qu'il faut substituer 5, ou &, à s ou à w.

donc que l'on ait

En outre, cette condition, qui est nécessaire, n’est pas suflisante; car la solution particulière ne peut résoudre notre problème que si la solution générale indiquée par les équations (2) est en défaut : ce qui ne peut arriver que si les intégrales définies qu elles contiennent, deviennent infinies. Or, pour que les intégrales

À S ds PS ds f à ds ee F0) MT os 1 CA VS Se ÿS 5, (s° Fr he?) VS

doni l’élément est supposé infini pour s — s,, soient elles-mêmes infinies, il faut évidemment que le polynôme S contienne le facteur $s — 5, au moins à la seconde puissance; en d’autres termes, il faut que l'équation $ — o ait au moins deux racines égales à s,.

NOTES. 329 Âïinsi l’une des équations de la trajectoire sera

S—=S) ou U = Us, e ?

si l’on a

dU Lo O, (SR )= O

On conclut de là, comme l’a fait Lagrange, que la même section conique qui peut être décrite en vertu d’une force tendante à l’un des foyers et agissant en raison inverse du carré de la distance, ou tendante au centre et agissant en raison directe de la distance, peut l'être encore en vertu de trois forces pareïlles tendantes aux deux foyers et au centre.