Il est aisé de satisfaire à l’équation (g), en supposant

«, BB, y étant des fonctions de x, y, z, t. Par ces substitutions, l'équation dont il s’agit deviendra

dA d'a d’B . d', de À didx * dy | ds °?

laquelle est intégrable relativement à #, et dont l'intégrale donnera

F étant une fonction de x, y, z sans {, dépendante de la loi de la densité initiale du fluide.

On aura ainsi

dc EEE 9 Fr & Ed dx dy dz dE — de 7 TS de dl :@ Sr ra dy = dt | 7, d &Œ à

Donc, substituant ces valeurs dans les équations ( f), et mettant de plus pour « sa valeur en fonction de A, x, y, 3, t (art. 2), on aura trois équations aux différences partielles entre les inconnues «, f, y et les quatre variables æ, Y, 2, t, et la solution du problème ne dépendra plus que de l'intégration

de ces équations; mais cette intégration surpasse les forces de l'analyse connue.

6. En faisant abstraction de la chaleur et des autres circonstances qui peuvent faire varier l’élasticité indépendamment de la densité, la valeur de

; EmILNE ; ; 2 de l’élasticité « sera donnée par une fonction de la densité A, de sorte que À

sera une différentielle à une seule variable, et, par conséquent, intégrable, dont nous supposerons l'intégrale exprimée par E.

Soit, de plus, la quantité X dx + Y dy + Zdz une différentielle complète, dont l'intégrale soit V, comme dans l’art. 45 de la section précédente.

Les équations (f) de l’art. 4 étant multipliées respectivement par dx, dy, dz, et ensuite ajoutées ensemble, donneront, après la division par A, une équation de la forme

dp d d (L+rE+ +q2+re)d d d d (l) — dE — dV — LEE.

dr dr ; d Re ARE RE Eee PE É

dont le premier membre étant intégrable, il Hd à que le second le soit aussi. Ainsi on aura de nouveau le cas de l'équation (L) de l’art. 45 de la section précédente, et l’on parviendra, par conséquent, à des résultats sem-

blables.

7. Donc, en général, si la quantité pdx + qdy + r dz se trouve dans un instant quelconque une différentiellé complète, ce qui a toujours lieu au commencement du mouvement, lorsque le fluide part du repos, ou qu'il est mis en mouvement par une impulsion appliquée à la surface, alors la même quantité devra être toujours une différentielle complète (art. 47, 18, section précédente).

Dans cette hypothèse on fera, comme dans l'art. 20 de la section précédente, pdx + qdy + rdz — do,

ce qui donne

et l’équation (/) étant Intégrée, après ces substitutions, donnera

d 1 /do\? 1 / do\? 1 / do\?

# TT Ie Ce Le TN RTE EC t) E \ ( è (2) (a) :

dt 2 \ dx valeur qui satisfera en même temps aux trois équations ( f) de l’art. 4.

Or E étant — Î A sera une fonction de A, puisque « est une fonction

connue de A; donc À sera une fonction de E. Substituant donc la valeur de A tirée de l’équation précédente, ainsi que celles de p, q, r, dans l’équation (g) de l’art. 4, on aura une équation en différences partielles de ®, laquelle ne contenant que cette inconnue suffira pour la déterminer. De sorte que toute la difficulté sera réduite à cette unique intégration.

8. Dans les fluides élastiques connus, l’élasticité est toujours proportionnelle à la densité ; de sorte qu’on a pour ces fluides & — 1A, à étant un coefficient constant qu’on déterminera en connaissant la valeur de l’élasticité pour une densité donnée. |

Aïnsi, pour l'air, l’élasticité est égale au poids de la colonne de mercure dans le baromètre; done, si l’on nomme FH la hauteur du baromètre pour une certaine densité de l’air qu’on prendra pour l’unité, n la densité du mercure, c'est-à-dire le rapport numérique de la densité du mercure à celle de l’air, rapport qui est le même que celui des gravités spécifiques, et g la force accélératrice de la gravité, on aura, lorsque A — 1,

e— gnH; par conséquent, : — gnH,

où l'on remarque que 2H est la hauteur de l’atmosphère supposée homogène. De sorte qu’en désignant cette hauteur par k, on aura plus simplement

1—gh, et, de à, <— ghA.

SECONDE PARTIE. — LA DYNAMIQUE. | 303 onc, puisque Ê — | -j> on aura FE — gh.lA.

Or, l'équation ( g) de Part. : 4 peut se mettre sous la forme

dIA 4.JA d.1A dia, dp, dg. dr de de PT Te de dy de me. E do do do, nd Donc, substituant honda à la place de /A, p, q,r, et multipliant

par £h, elle deviendra

do d? ” d?o dE dE do dE do dE do ga er neo De

dx”? dz?

dt dr de dj dy | de dd —

I n’y aura donc plus qu’à substituer pour E sa valeur trouvée ci-dessus ; et cette substitution donnera l’équation finale en +,

ÉD

ms pe nine mn ms mn mmemenme…s — ee ee, PER

di? dx dx dy dy dz dz

do do à 47 d°? o. , 49 d?o de dei? dy dydi ? de dédi

de\? d'o dœ xd ® de \? d°o \ dx Le dy — 7 \dz dz° ni do d?o à LP do d?o ” do dp. d'œ

ms À" mere ———

rh (TE do 7) d?o AV do dV do d V do £ ol ne

mans

7? dx dy dxdy dx dz dxdz dy dz' dydz’

laquelle contient seule la théorie du mouvement des fluides élastiques dans l'hypothèse dont il s’agit.

9. Lorsque le mouvement du fluide est très-petit, et qu'on n’a égard qu'aux quantités très-petites du premier ordre, nous avons vu, dans l’art. 24 de la section précédente, que la quantité pdx + qgdy + rdz est aussi nécessairement une différentielle complète. Dans ce cas done, les formules précédentes auront toujours lieu, de quelque manière que le mouvement du fluide ait été engendré, pourvu qu'il soit toujours très-petit, et que, par conséquent, la fonction & soit elle-même très-petite.

Dans la théorie du son, on suppose que le mouvement des particules de l'air est très-petit; ainsi, regardant dans l’équation (2) la quantité & comme

très-petite, et négligeant les termes où elle monte au delà de la première dimension, on aura pour cette théorie l’équation générale

dx? dy * dz?

n(d9. de de do d\ do dVdo dN ds dés pre dy dy dz dz

Or, en négligeant de même les secondes dimensions de @ dans la valeur de E de l’art. 7, on aura simplement

E——V-—%—ghla (art. 8).

On peut supposer que la fonction & soit nulle dans l’état de repos ou d'équilibre. On aura donc aussi dans cet état

COR | | me et, par conséquent, | or gh.lA—=—V et A—ef.

Lorsque l’air est en vibration, soit sa densité naturelle augmentée en raison de 1 + 5 à 1, s étant une quantité fort petite, on aura donc, en général, V A—eñ (1 + ‘or

et de là, en négligeant les carrés de s, on aura

Nr : __ d9 RES donc or d

À l'égard de la valeur de V qui dépend des forces accélératrices, en supposant le fluide pesant, et prenant, pour plus de simplicité, les ordonnées z verticales et dirigées de haut en bas, on aura, par la formule de l’art. 23 (section précédente), |

Vas

g étant la force accélératrice de la gravité. Donc l'équation du son sera

do d°o do do d?o (Ti + +)+si— de

Ayant déterminé & par cette équation, on aura les vitesses p, q, r de l’air,

SECONDE PARTIE. -— LA DYNAMIQUE. 305 ainsi que sa condensation s par les formules

d d d d P= en Met SRE

10. Si l’on ne veut avoir égard qu’au mouvement horizontal de l'air, on supposera que la fonction @ ne contienne point z, mais seulement x, y, £. Alors l’équation en + deviendra

d'g , d’q\ __d’g sh(+ =

Mais avec cette simplification même, elle est encore trop compliquée pour pouvoir s'intégrer rigoureusement (*).

Au reste, cette équation est entièrement semblable à celle du mouvement des ondes dans un canal horizontal et peu profond. l’oyez la section précédente, art. 37.

Jusqu'à présent, on n’a pu résoudre complétement que le cas où l’on ne. considère dans la masse de l’air qu’une seule dimension, c’est-à-dire celui d’une ligne sonore, dont les particules ne font que des excursions longitudinales.

Dans ce cas, en prenant cette même ligne pour l’axe x, la fonction @ ne contiendra point y, et l'équation ci-dessus se réduira à

ad? d?

gh a Ta

laquelle est semblable à celle des cordes vibrantes et a pour intégrale com-

plète = F(x+iygh)+ f(x —1tVgh),

en dénotant par les caractéristiques ou signes F et f deux fonctions arbitraires. |

Cette formule renferme deux théories importantes, celle du son des flûtes ou tuyaux d’orgue, et celle de la propagation du son dans l'air libre. Il ne

(*) Cette équation a été intégrée par Poisson, ainsi que l’équation plus générale dans laquelle on suppose + fonction de æ, y et z. Voyez les nouveaux Mémoires de l’Académie des Sciences, tome III. | | (J. Bertrand.)

Méc. anal. TI. 39

s’agit que de déterminer convenablement les deux fonctions arbitraires ; et voici les principes qui doivent guider dans cette détermination.

411. Pour les flûtes, on ne considère que la ligne sonore qui y est contenue; on suppose que l’état initial de cette ligne soit donné, cet état dépendant des ébranlements imprimés aux particules, et l’on demande Îa loi des oscillations.

Faisons commencer les abscisses x à l’une des extrémités de cette ligne, et soit sa longueur, c’est-à-dire celle de la flûte, égale à a. Les condensations s et les vitesses longitudinales p seront donc données, lorsque t — 0,

depuis x == o jusqu’à x — a; nous les nommerons $ et P. Maintenant, puisque s — -2?,, et P= 12, si l'on différentie l'expres- | x PAS gh dt dx F sion générale de + de l’article précédent, et qu'on désigne par F” et f” les pe 1 . / : dE x différentielles des fonctions marquées par F et f, en sorte que F’x —- EL CEA dfx P — SE. on aura dx

p= Fe + V9) + Je —eVeh), VER Po + V8) — fe — eg) Faisant £ — o et changeant p en P et s en 8, on aura PAF Sy t'rflr

Ainsi, comme P et S sont données pour toutes les abscisses x depuis D = :0 jusqu’à x — a, On aura aussi dans cette étendue les valeurs de F’x et de f”x; par conséquent, on aura les valeurs de p et s pour une abscisse et un temps quelconques, tant que x tV sh seront renfermées dans les limites o et a.

Mais le temps £ croissant toujours, les quantités x + # Veh et x —t " gh sortiront bientôt de ces limites, et la détermination des fonctions

F'(x+iysh), f(x —1:Vgh)

dépendra alors des conditions qui doivent avoir lieu aux extrémités de la ligne sonore, selon que la flüte sera ouverte ou fermée.

12. Supposons d’abord la flñte ouverte par ses deux bouts, en sorte que la ligne sonore y communique immédiatement avec l'air extérieur ; il est clair que son élasticité, dans ces deux points, ne pouvant être contre-balancée que par la pression constante de l’atmosphère, la condensation s y devra toujours être nulle. Il faudra donc que l’on aït, dans ce cas, s — 0,

lorsque x — o et lorsque x — «&, quelle que soït la valeur de #, ce qui donne les deux conditions à remplir,

F'(eygh) —f'(—1Vgh)= 0, F'(a+tVgh)—f'(a—tVgh)= 0,

lesquelles devront subsister toujours, £ ayant une valeur positive quelconque.

Donc, en général, en prenant pour z une quantité quelconque positive, où aura | |

F'(a+z)=f'{a—z) et PC 2) = F'z.

Donc, 1° tant que z est < a, on connaîtra les valeurs de F’{a + z) et de f'{— z), puisqu'elles se réduisent à celles de f’(a — z) et de F'z, qui sont données.

Mettons dans ces formules a + z au lieu de z, elles donneront

F'iaa+z)=f(—23)= Fe, fa) = F(a+z) = f'(a— 2) Donc, 2° tant que z sera <C a, on connaîtra aussi les valeurs de F'(2 a + 7)

et de f’(— a — z), puisquelles se réduisent à celles de F’z et de f’(a& — 2), qui sont données.

Mettons de nouveau dans les dernières formules à + z pour z, et les combinant avec les premières, puisque z peut être quelconque, on aura F(Sa+z) —=F'(a+ 2) = f'(a — 2), f'(—aoa—z)= f(— 2) = F'z.

Donc, 5° tant que z sera <a, on connaîtra encore les valeurs de

F'(3a +2) et de f’(— 2a — x), puisqu'elles se réduisent aux valeurs données de F’z et de f”"{(a — z). |

On trouvera de même, en mettant derechef a + z pour z, F(4a+s) =f(— 2)= Fa; f'(—3a—z)=F'(a+z) = f'(a — 2).

D'où l’on connaîtra les valeurs de F’(4 a + z) et de f”(— 3 a — 3), tant que z sera << @; et ainsi de suite. | | On aura donc de cette manière les valeurs des fonctions F'(x + tV gh) et de f” (x — +\/gh je quel que soit le temps £ écoulé depuis le commencement du mouvement de la ligne sonore; ainsi on connaîtra pour chaque instant l’état de cette ligne, c’est-à-dire les vitesses p et les condensations s de chacune de ses particules.

Il est visible, par les formules précédentes, que les valeurs de ces fonctons demeureront les mêmes, en augmentant la quantité é\/ gh de 2 &, où

de 4 a, 6 a, ete. De sorte que la ligne sonore reviendra exactement au même état, après chaque intervalle de temps déterminé par l'équation

C V oh —= 24, 24€ Va Ainsi la durée des oscillations de la ligne sonore est indépendante des

ce qui donne pour cet intervalle.

ébranlements primitifs, et dépend seulement de la longueur a de cette ligne et de la hauteur de l'atmosphère. | |

En supposant la force accélératrice de la gravité g égale à l’unité, il faut prendre pour l’unité des espaces le double de celui qu’un corps pesant parcourt librement dans le temps qu’on prend pour l’unité (sect. IF, art. 2). Donc si l’on prend, ce qui est permis, À pour l’unité des espaces, l’unité

à . \ h des temps sera celui qu'un corps pesant met à descendre de la hauteur =

et le temps d’une oscillation de la ligne sonore sera exprimé par 2 a, ou, ce qui revient au même, le temps d’une oscillation sera à celui. de la chute d’un

h | & corps par la hauteur ; comme 2 a à À.

13. Si la flûte était fermée par ses deux bouts, alors les condensations s

pourraient y être quelconques, puisque l’élasticité des particules y serait soutenue par la résistance des cloisons; mais, par la même raison, les vi-

tesses p y devraient être nulles, ce qui donnerait de nouveau les conditions

F8) + f'(— Vgh) = 0, F'(a+tygh) + f'(a+tVgh)=0.

Ces formules reviennent à celles que nous avons examinées ci-dessus, en y supposant seulement la fonction marquée par f” négative. Aïnsi, il en résultera des conclusions semblables, et l’on aura encore la même expression pour la durée des oscillations de la fibre sonore.

Il n’en serait pas de même si la flûte était ouverte par un bout et fermée par l’autre.

1] faudrait alors que s füt toujours nulle dans le bout ouvert, et que p le fut dans le bout fermé.

Ainsi, en supposant la flûte ouverte, où æ — 0, et fermée, où x — a, on aurait les conditions

P(e V8) — PV) — 0.

F'(a+tVgh)+ fa —tV8h)= 0

D'où, par une analyse semblable à celle de l’art. 42, on tirera les formules suivantes : |

et ainsi de suite.

Or, tant que z est < a, les fonctions F'z et f”(a — z) sont données par l’état primitif de la fibre sonore; donc on connaîtra aussi par leur moyen les valeurs des autres fonctions |

Fa+z), F'(2a+2),..., UE

et, par conséquent, on aura l’état de la fibre, après un temps quelconque £. Mais on voit, par les formules précédentes, que cet état ne reviendra le

même qu'après un intervalle de temps déterminé par l'équation

t\/gh — À & ;

d'ou 1l s’ensuit que la durée des vibrations sera une fois plus longue que dans les flûtes ouvertes où fermées par les deux bouts, et c’est ce que l’expérience confirme à l’égard des jeux d'orgue qu’on nomme bourdons, et qui, étant bouchés par leur extrémité supérieure opposée à la bouche, donnent un ton d’une octave plus bas que s'ils étaient ouverts.

Foyez au reste, sur la théorie des flûtes, les deux premiers volumes de Turin, les Mémoires de Paris pour 1762, et les Vovi Commentaru de Pétersbourg, tome X Vi.

44. Considérons maintenant une ligne sonore d’une longueur indéfinie, qui ne soit ébranlée au commencement que dans une très-petite étendue, on aura le cas des agitations de l’air produites par les corps sonores.

Supposons donc que les agitations initiales ne s'étendent que depuis x = 0 jusqu'à æ — 4, a étant une quantité très-petite. Les vitesses et les condensations initiales P, $ seront donc données pour toutes les abscisses w, tant positives que négatives; mais elles n'auront de valeurs réelles que depuis x — oO jusqu'à x — 4; hors de ces limites, elles seront tout à fait nulles. fl en sera donc aussi de même des fonctions F’x et f’x, puisqu'en faisant t—0,O0na 8

Pr fa, SVeh—="F'x—f'a, et, par conséquent, ! P+S eh P—SVeh Fu —P+Svsh Fe em

D'où il s'ensuit qu'en prenant pour z une quantité positive, moindre que @, les fonctions F” (x + À V£A) et f” (x — t/gh) n'auront de valeurs réelles que tant qu'on aura x Æ #4/gh — z. Par conséquent, après un temps quelconque t, les vitesses p et les condensations s seront nulles pour tous les points de la ligne sonore, excepté pour ceux qui répondront aux abscisses

22 t\/gh.

On explique par là comment le son se progage, et comment il se forme

successivement de part et d'autre du corps sonore, et dans des temps égaux, des fibres sonores, égales en longueur à la fibre initiale a. La vitesse de la propagation de ces fibres sera exprimée par le coefficient

V gh; elle sera, par conséquent, constante et mdépendante du mouvement primitif, ce que l’expérience confirme, puisque tous les sons forts ou faibles paraissent se propager avec une vitesse sensiblement égale.

Quant à la valeur absolue de cette vitesse, en faisant, comme dans l’art. 49, g == 1 et k — 1, elle deviendra aussi — 1. Or l'unité des vitesses est ici celle qu’un corps pesant doit acquérir en tombant de la moitié de l’espace /, qui est pris pour l'unité (sect. IT, art. 2). Donc la vitesse du son sera due à la

k hauteur <

15. En supposant, avec la plupart des physiciens, l'air 850 fois plus léger que l’eau, et l’eau 14 fois plus légère que le mercure, on a 1 à 11900 pour le rapport du poids spécifique de l'air à celui du mercure. Or, prenant la hauteur moyenne du baromètre de 28 pouces de France, il vient 333200 pouces, ou 27766 © pieds pour la hauteur 2 d’une colonne d'air uniformément dense et faisant équilibre à la colonne de mercure dans Île baromètre. Donc la vitesse du son sera due à une hauteur de 13883< pieds, et sera, par conséquent, de 915 par seconde.

- L'expérience donne environ 1088, ce qui fait une différence de près d’un sixième ; maïs cette différence ne peut être attribuée qu’à l’mcertitude des résultats fournis par l'expérience. Sur quoi voyez surtout un Mémoire de feu M. Lambert, parmi ceux de l’Académie de Berlin, pour 1768 (*).

16. Si la ligne sonore était terminée d’un côté par un obstacle immobile, alors la particule d’air contiguëé à cet obstacle n'aurait aucun mouvement; par conséquent, si a est la valeur de l'abscisse x qui y répond, il faudra que la vitesse p soit nulle, lorsque x — a, quel que soit £, ce qui donnera la condition

me nn mt

(*) Laplace a fait connaître la cause probable de cette discordance entre le calcul et l’observation. Foyez le cinquième volume de la Mécanique céleste, livre XIT, chapitre TT. (J, Bertrand.)

Or on a vu que la fonction f” ( a — t V gh ) a une valeur réelle tant que

a — t\/gh— 72 (art. 44);

donc, puisque

Pa +8) = —f'(a —tVgf)

la fonction F’ (a + tV gh) aura aussi des valeurs réelles, lorsque

a — t\gh — 2,

c’est-à-dire lorsque A V gh ES À

Par conséquent, la fonction F° ( t + gh) sera non-seulement réelle lorsque x + t\/gh = 2,

x + EVgh— 2 a — 7;

mais encore lorsque

d’où il suit que, dans ce cas, les vitesses p et les condensations s seront aussi réelles pour les abscisses

x—2a—2—t\/gh.

Ainsi la fibre sonore, après avoir parcouru l’espace a, sera comme réfléchie par l'obstacle qu’elle rencontre, et rebroussera avec la vitesse, ce qui donne l'explication bien naturelle des échos ordinaires.

On expliquera de la même manière les échos composés, en supposant que la ligne sonore soit terminée des deux côtés par des obstacles immobiles qui réfléchiront successivement les fibres sonores et leur feront faire des espèces d’'oscillations continuelles. Sur quoi on peut voir les ouvrages cités plus haut (art. 13), ainsi que les Mémoires de l’Académie de Berlin pour 1759 et 17065.