CARS

(y + siny).

Donc, comparant ensemble les parties algébriques et les parties transcendanies , on aura ces deux équations ? = X = L ES

e(sino—sina)=sinx—siny,

d'où l’on tirera x et y en y; ce qui n’a point de dificulté. En effet, si l'on met la seconde sous cette forme

: ‘ MN een ÿ e(sinp — sina) = 2 cos : nt

] se b e- V1 CR ] | ® El (e À e ? d l CE 9 2 , qu'ensuite on y substitue pour — sa valeur tirée de la première équation, on aura

e e e + : VA + e(sinog—sinæ)== 2 sin” COS Re mais | . . DE ss. Det sing — sinX — 2 COS sin 2 2 e . 9- e ® — % donc, divisant de part et d'autre par 2sin ZT? On aura Æ + e cos — = COS — >,

d’où l’on tire

de là, et de ce que

on tirera sur-le-champ

p—c 2 ?+a\° GR Eté S1n Æ = COS ' RE € COS — esin COS 9 2. 2

. 9 — 4 2. v+ a SIN y — COS. à I—— €° | COS

+ G. — à . D—@ DH x 2 cos x = e cos 2 cos 2 -— sin ? 1— e° | cos 9. 2 2° D: 2,

( lt 4 ) — n y) — s p Fe œ à:

COS Y == € COS Es COS —+ SIN I— €” | cos ;

ainsi on connaîtra par ces formules les arcs cherchés x et y, emvetx.

3. Je remarque maintenant que r étant le rayon vecteur qui répond à l'anomalie excentrique o dans l’ellipse proposée, si l’on nomme pareïllement p le rayon vecteur qui répond à l’anomalie excentrique « dans la même ellipse, on aura

a À r—a(i+ecoso), p—a(i+ecosæ); où l’on tire | op +a D — à COS ® + COSa T+p

€ COS —— cos = = T.

De plus, u étant l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique o, si l’on nomme aussi p l’anomalie vraie qui répond à l’anomalie excentrique «&, on aura

tang = — se ? tang = — 2 Da 1e 52° SE 1+e °2

et il est clair que u — v sera l'angle intercepté entre Îles rayons r et p; de sorte que si l’on

nomme encore © la corde qui joint les extrémités des rayons r et p, on aura par la trigo-

nométrie, | d = r°+p—02rpcos(u —+v).

Qu'on substitue dans cette expression à la place de r, p et de u, v leurs valeurs en 9 et +;

, | u É et pour cela .on remarquera que les expressions ci-dessus de tang , ©ttang= donnent

aVi—e sin e + Coso SNU = —————— 3, COSU = A ———— ; r r et de même | : a V1 — €? Sin & € + COS & SIN Y = ——— ) COSY = 4 ———— ; if P

de sorte que, comme cos(u — p) = cosu cosy + sinu sinv, on trouvera rpcos(u—p) = a?[(e + cosp) (e + cosa) + (1—e?) sinp sine] — a] cos(p — x) + e(coso + cosa) + e*(1—sinpsina)|, r+p= &[(1+ecosp) + (1+ ecosx)°] |

— a?[ 2 + 2e(cos? + cosa) + e* (cos? + cos?) |; donc enfin on aura

= a?[ 2 — 2COS(p—«x) + e* (cos*p + cosa — 2 +. 2 sin sin a) |

— a?[ 2 — 2cos(p— x) —e* (sing —sina)]

Le ? ER Le = 4e] (sin! :) — € (sin? cos? À) fÉ 2 2 2

et tirant la racine carrée

LS . — (} + & 2 Ô—92asin? : /1—6 (cs! > °

Faisant donc ces substitutions dans les expressions ci-dessus de cos x et cosy, on aura

et de là

a(i+ cosx) = TE,

r a(1+ cos ÿ) = -———;

Or x et y étant deux anomalies excentriques dans l” ellipse où e — 1, si l’on nomme p et q les rayons vecteurs correspondants, on aura

p=a(i+ cosx), g=a(i+cosy); donc

___ F+p—d r+p+ù PR, 7 7 nes

2 Fe 7 2 et le temps employé à parcourir l’are sous-tendu par la corde d dans l’ellipse dont l’excentricité est e, sera égal à la différence des temps qui répondent aux rayons vecteurs p et q dans l’ellipse où e — 1; mais nous avons déjà vu que cette ellipse se confond avec l'axe, et que ses deux foyers tombent aux extrémités de l'axe 2 a; donc le temps dont il s’agit sera égal au temps employé à parcourir dans cet axe la partie interceptée entre les abscisses p et g; ce qui est le théorème de M. Lambert.

4. Quoique la démonstration précédente soit assez simple, il semble qu’on pourrait la simplifier encore, en employant immédiatement le rayon vecteur à la place de anomalie excentrique; nous allons donc envisager la question de cette manière, et sans faire usage des propriétés connues de l’anomalie excentrique.

Pour cela, nous remarquerons que le temps employé à décrire un arc quelconque d’une section conique, par un corps attiré vers l’un des foyers de cette section en vertu d’une force en raison inverse du carré de la distance, est toujours proportionnel à l'aire du secteur compris par l'arc dont il s’agit et les deux rayons vecteurs menés du foyer aux extrémités de cet arc, divisée par la racine carrée du paramètre de la section conique; c’est ce que Newton a démontré le premier et une foule d'auteurs après lui.

Or si l’on nomme r le rayon vecteur, + l'angle de ce rayon avec le grand axe, p le demiparamètre de l'orbite, e son excentricité, on a par la nature de l’ellipse

P + ecose

donc, comme l'élément du secteur décrit par le rayon 7 est exprimé par » si l’on

Méc. anal, II. 43

substitue dans cette expression la valeur de do en r iirée de l’équation précédente, et qu'on

la divise par V p, on aura l'élément du temps employé à parcourir Parc do égal à la quantité

Maïs en nommant & le demi-grand axe de l’ellipse, on a

Le 24.

p=a(i—e); substituant donc = à la place de 1 — e?, ei multipliant le haut et le bas de la fraction par « :

k 2417 . 9 = =. on aura pour l’élément dont il s’agit VP | rdr / .

Ru ner

» On aura cette formule

Donc, si l’on fait r — az et qu’on remetie 1 — €? à la place de Ê a

différentielle

a? zdz

fer t per

€ 1 op a Pl rl 1 — 7 c 7. ——— 1} Las 4 | LEVR dont l’intégrale prise, par exemple, depuis z = m jusqu'à z— n, donnera le temps em

loyé à parcourir l’angle compris entre les ravons vecteurs ma et na. pioye à P 8 P *

Soit z —1— 4, la formule précédente deviendra

& ti

a’(udu — du) ie 3 ÿe? — u?

Ta. 499. a 7 Fr.»

et la question se réduira à faire en sorte que la différence de deux intégrales de cette espèce pour deux différentes valeurs de u , soit égale à la différence de deux autres intégrales sem-

blables, maïs dans lesquelles la constante & soit — 1. Ainsi il faudra satisfaire à l'équation

u ————. £ Res arc, COS — — Ve? U° — avc. cos - + Ve? a e e

= arc. COST — Vi-— xŸ— arc. cosy + Vi — y}, laquelle, en comparant la partie algébrique avec la partie algébrique et la transcendante avec la transcendante, se pariage en ces deux-ci : Ve? nu? yo? 5° — Vi x? — Vi ——?,

(72 $ arc. COS — —— arc. COS - — arc. COS X -——— arc.cos 1Æ £ e €.

dont la seconde donne par les théorèmes connus

us + Ve— u? Ve — s RE

et ces deux équations serviront à déterminer x et y ensetu.