Faisons, pour abréger

Ve — ui — Ve — 5 — m,

Us + Ve? — u? Ve! — s°

e? MES et les équations dont il s’agit deviendront a) LL + diese Ver (2) zy + Vi Et Vi—y'=n.

Or l'équation (1) étant carrée et ensuite ajoutée à l’équaiion (2) multipliée par 2, on aura 2 L°— VHOxXY = nm +In;

d'où l’on tire sur-le-champ

Ensuite l'équation (1) étant multipliée par Vi —x°+ V1— y? et divisée par m donne

RE = <e2. fs

cette équation étant carrée et ensuite retranchée de l’équation (2) multipliée par 2, on a

(y? x} 2 XY — 9 + XL? À D pe AN E : Sue rai ne savoir (x + 2 (x — ee (x + y} = 2 + PR a,

et substituant pour (x — y} sa valeur ci-dessus

rs : 92 — 27 — M.

(D pe 2 home paf) .

d’où l’on tire immédiatement Mir.

Ainsi, connaissant la somme et la différence de x et y, où aura chacune de ces deux quantités. |

Donc le temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs a(1—u), a(i—s), dans une ellipse dont le demi-grand axe serait à et l’excentricité e, sera égal au temps employé à parcourir l’arc compris entre les rayons vecteurs a(1—x), a(1— y), dans une autre ellipse qui aurait le même grand axe et où l’excentricité serait — 1, c'està-dire égale au temps employé à parcourir dans le grand axe même la différence de ces

rayons ‘

1. Il reste encore à prouver qu'en nommant ag la corde qui joint les deux rayons vecteurs a(1—u) et a(i—s), on aura a(i—u)+a(i—s)+aq

et Sie C

a(i—u)+a(i—s)— aq

savoir

: | U $ m ; à Pour cela, je remarque d’abord que l’on a entre -; -; —, n les mêmes équations : | e € € s e CEE CR! é Lé Lé qu'entre x, y, m,n, ce qui est visible par les premières formules du numéro précédent; donc en changeant ces dernières quantités en celles-là dans les formules finales du même

numéro, On aura aussi

U —S m° u +Ss m 1—+ ne 2 — QT — — et mes - , e e? e e I — /2 savoir > ————— 1 + 7 u—s—=#{(2—92n)e— 1m. et u+s=m/ ; I—— 7 mails on a ET RS I + 7 x—y=V2—on—m et r+y=m/ ; , ÏI — donc

T+yY=u+S et le

Pour introduire maintenant la corde ag, je remarque que si l’on nomme £ et » les coordonnées rectangles de l’ellipse prises depuis le foyer, et dont l’une E soit dans le grand axe,

on aura hr r et Ë —rcosy,

de sorte que par l'équation de l’ellipse

p=r(i+ecoso), on aura p=r+eé; donc

D p / es 2 EL et = VE | e é

Mettant a(1—e?) à la place de p, et az — a(i—u) à la place de 7, on aura —— p° me = (u—e), ei Ve? — 1;

nommant de même £, n’ les coordonnées qui répondent au rayon vecteur a(t—5s}), on aura

— p? Rens ne E= (s—e), = S Vos

Or 1l est évident que la corde qui joint les extrémités des deux rayons est égale à

donc ayant déjà nommé cette corde ag, on aura

q = et par conséquent SRE Ayant donc LX+y=u+Ss et X— Y =, on aura

U + Ss + | u +s — pr PE, = TT.

Cette démonstration du théorème dont il s’agit a, ce me semble, toute la simplicité qu'on y peut désirer.

8. De là résulte donc ce théorème analytique assez remarquable,

en SU pposant

q — = Vus) + (1 — €) (Ve — u? = Vers} |

r r + —+- a T+p— ar HS sæt— Et; ps Pos COCO" PERTE Ts a a 2u4 |

donc

Ps eq CE Pt 2 | Ë .

ter re)

9. Voyons maintenant comment on peut généraliser ce théorème, et considérant pour

cela la formule différentielle :l FGF

Me cn

cherchons à la réduire à la somme ou à la différence d’autres formules semblables qui contiennent des coeflicients arbitraires. Pour y parvenir de la manière la plus générale et fa plus simple, je suppose

VH+MrENr— A +Br+Cs s étant une nouvelle variable, et À, B, C des coefficients constants quelconques; il est clair

qu'en Ôôtant l’irrationnalité, on aura une équation du second degré entre r et s. De cette manière, la différentielle proposée se changera d’abord en celle-ci

rdr À Br ECS

Maintenant je prends deux autres variables x et y, et je suppose = L+ 7, S— XY;

en sorte que les quantités 7 et s demeurent les mêmes en échangeant # et y entre elles; on aura ainsi RS AE ire hs y.

Dr Véquation entre r et s étant carrée et ensuite différentiée donne

[M+oNr—2B(A + Br+ Cs)ldr — 2C(À + Br + Cs)ds G: mais | | ds=xdr+{(r—2x)dx =xdr+(y—x)dx; donc substituant

[M+oNr—o(B+Cx) (A+Br+Cs)]dr—2C(y—x)(A+Br+Cs)dx=o; donc, à cause de r = x + 7, on aura

rdr L 2C(y7'— x')dx : | ALBr+Cs M+a2Nr—2(B+Cx)(A+Br+Cs)

Changeant x en y, on aura donc aussi

rür En 2C(x—y)dr A+Br+Cs D RU EU et AN ea red

NOTES. 34 par conséquent

dx dy

CTM+aNr—2(B+Cx)(A + Br EG) MaNr—2(B+Cy)(A + Br+Cs)

donc, en prenant une quantité quelconque L, on aura en général

rar rdr 2C(a?+ L)dx

A+Br+Cs VEA+Mr+Nr — M+oNr—2(B+Cx){A+Br+Cs)

-. ___ 20(y+4dr | M+oNr—92{B+Cy)(A+Br+Cs)

Maintenant j'ai, à cause de s = rx — x*,

HMr-Nr—AL(BE Cxrlr— Cr, V ( ) e?,

47 à ol 3 d’où l’on ürera r en x.

Pour cela, je carre cetie équation et ie l’ordonne par rapport à 7, j'ai [N—(B+ Cr) rt + [M 0 (B + Cx) (A — Caf)jr + H— (A — Ca) = 0: d’où je tire, en multipliant par 4N — 4(B + Cx)?, complétant le carré et extrayant la

racine,

2[N—(B+Cx}]r+M— 0(B+ Cx) (A — Cr?) — VX, en faisant, pour abréger, X—|[M—2{(B+Cx) (A—Crx)P —4IN—(B+Cx)} ][H— {A — Ca) |:

ox le premier membre de l'équation précédente se réduit à

M+oNr—2(B+Cx) (Br+4Crx + A— Cx), SavOIr à | M + aNr— 2(B+Cx) (À + Br +Cs).

Ainsi on à

M+oNr—0(B+Cx) (A+ Br+Cs) = VX.

et changeant x en y, on aura pareïillement

M+oNr—0o(B+Cy){(A +Br+Gs)— VY,

où Ÿ sera une fonction de y semblable à la fonction X de x, en sorte que l'on aura Y=IM—2(B+ Cy) (A — Cy°} PF — AIN — (8 + C4 LE — (A— Cy°)° |, et l’on remarquera que Von. peut prendre dans les équations précédentes {es radicaux en —-

ou en —- à volonté.

Faisant donc ces substitutions dans l’équation ci-dessus, et prenant le radical VX en —

et le radical VY en +, on aura enfin

rdr __2C(x+h)dæ 2C(y+k)dy VH+Mr+Nr VX VY

h étant une quantité quelconque; où l’on voit qu'en supposant } constante, la différentielle proposée est réduite à la différence de deux autres différentielles analogues, mais beaucoup

plus générales.

10. Si l’on développe la quantité X et qu'on fasse pour plus de simplicité

M\° Joss () __ HN — ABM — A°N — HB:

RS a en et je MA + 2HB ES = — 4H;

on aura | X = 4C{a + bx + cx*+ Mr + Nx°), et pareïllement

Y=4C (a+ 87 + + M + No); donc substituant de la formule du numéro précédent, on aura

rdr (a+ h)dx (y°+ h)jdy

ee Sc

VH +Mr+Nr a+ bz+cz+Ma<+Na Va+by+cy+MP+Ny

et comme les quantités à, b, c renferment les trois constantes arbitraires A, B, C, on pourra regarder ces quantités elles-mêmes comme des constantes arbitraires, et la con-

stante À sera pareïllement arbitraire.

41. En regardant les quantités a, b, c comme données, on aura par les formules cidessus |

Mb+oH(c+4H) M°+ 4 HN

À B M(c+4H)—2Nb =