PC

On a ainsi deux des trois variables —; 2, —— exprimées par la troisième, mais on ne dt dt dt

peut avoir la valeur de celle-ci que par l'intégration d’une des trois équations différentielles précédentes. Ensuite pour avoir la valeur finie des coordonnées £, », € d’un point quelconque du corps, il faudra encore connaître les valeurs des quantités £', £7, £7,...: et l'on y parviendra en combinant les six équations de condition entre ces neuf quantités,

comme il a été dit art. 29, sect. IX.

Fragment sur les équations générales du mouvement de rotation d'un

système quelconque.

: 7 , F 7; y Sp très- Ë ar S F e Les expressions que nous avons trouvées, page 198, sont très-propres à représenter Îes

valeurs des sommes S(dE + dr + dé?) m, S'(£dn— ndt)m,.……,

relatives à tous les corps m d’un système quelconque ; car il est clair que les signes sommatoires ne doivent affecter que les coordonnées a, b, c, et nullement les quantités £’, n°...

Ainsi, l’on aura, après le développement, | S(dE? + du + d€)m = dP°S(b + c°)m + dQ°S (a+ c'}m + dR'S (a+ 6*)m — 2 dP dQ Sabm — 2 dP dR Sacm — 2 dQ dR Sbcm + 2 dPS(8dce — cdb)m L 2 dQ S(cda — ade)m + 2 dRS (adb — bda)m + S (da? + db? + de*)m; S(Edn—ndt)m — £'dT + é"dA + E"dÀ, S(édt — Edé)m = w'dT + n'dA + n'dAÀ, S(naf=gdn)ar= FAP #4A EP dA

en faisant. pour abréger, dT = dPS(b+c)m— 4dQSabm — dR Sacm + S(bde — cdb) m, dA= dQS (a+ cm — dPSabm — dR Sbcm + $S{cda — adc) m, d'A = dRS(a? + b?)m— dPSacm — dQ Sbcm + S(adb — bda) m:

et il est bon de remarquer que les valeurs des quantités dT, dA, dA soni les différences partielles de la valeur de +S (dE? + dr + d&?)m, relatives aux variables

AP, dQ, dR.

Si l’on différentie les trois dernières équations, on aura les valeurs des formules S(Ed?n— nd°£)m, S(£d?'E —Ed*£)m, S(nd?£ — Ed’) m

qui entrent dans les équations générales pour le mouvement d'un système quelconque de corps autour de son centre de gravité ou d’un centre fixe, que nous avons données dans

l'art. 7 de la sect. LIT.

Ces équations deviendront ainsi, en substituant, pour les différentielles de £”, £”,.... les valeurs de l'art. 15,

é'(d.dT — dAdR + dAdQ) + é"(d.dA — d'A dP + dT'dR) + é"(d.dA — dT dQ + dAdP) + S(EY—2X)m —o,

n' (d.dT — d'AGR + d'A dQ) + n”(d.dA — A dP + dT dB) + 1" (d.dA — dT dQ + dAdP) + S(£X —EZ)m=o,

£'(d.dT — dAdR + dAdQ) + E"(d.dA — d'A dP + dT dB) LE" (d.dA — dT dQ + dAdP) + S(nZ—EY)m= 0.

Si l'on ajoute celles-ci ensemble, après les avoir multipliées respectivement par €”, n°, €

par cs ,et par 67,

n", E", et qu'on fasse, pour abréger, X'= EX +nY +CZ, V'= EUX + n Y + CZ, FIND. CET LD Da

| FRAGMENTS. | 375 on aura, en vertu des formules des art. 2 et 5, les trois équations suivantes : d.dT — dAdR + dAdQ = S(cY'— bZ')m, d.dA -— dAdP + dT dR = S{aZ' — cX')m, d.dA — 4dTdQ + dAdP = S(bX'— aY')m

qui ont toute la généralité et la simplicité dont la question est susceptible.

Autre fragment sur la rotation d'un système quelconque.

Ainsi l’on a, en général (page 198), dé + dn+dé= {(cdQ—bdR + da) + (adR — cdP + db} + (bdP— adQ + de}.

Si les forces accélératrices ne dépendent que de la situation respective des corps, elles ne

seront fonctions que de a, b, c. Faisant

Da PES (+ 6) m + A is Fe S(+b)m|

dt? de?

__4Q dR dPaR : — — nn = —S$S ab + —= Sbcm eee Sacm Ÿ oa ni | dP b dc — cdb dQ cda — a dc IR adb — bda + ST ja set = fast TR ( }m

da? + db? + de!’ e 2 dt?

+ S ÜUn aura, relativement aux variables dP, dQ, dR,

ÔT san 2 P + 370 04Q + gp 2dR = 0,

savoir ja 15, page 199) :

(d9P + dQR — dRÔQ) + — (d0Q + dR9P — dPOR)

(d9R + dPIQ —— dQ9P) = 0;

d’où l’on tire les équations

OT OT "odP Jd4Q Ho 0:

ST ÔT ST | AN Feis d IP ‘SdR STE LRETT ee

savoir , en changeant dP, dQ, dk en pdt, qdt, rdt, on aura

aT aT aT ee RE Tr S +(S Te) dé 7

d'Œ d'T dT (a) d dq ( dp TP %) F0 dT adT d'T — —+- — — Ê — a dr (P dg Ta =) LE

comme dans les équations (A) de la page 212; mais ces formules-ci sont générales, quelle que soit la variabilité de a, b, c.

Aïnsi on aura tout de suite l'intégrale

dT adT dT da. d.— +rd.——=o, PE 7 ag

Ensuite on aura aussi

mais qui ne sera pas une différentielle complète à cause de la variabilité de a, b, c; mais

on aura toujours, par le principe des forces vives, l’intégrale T + V — const., V étant

— SIlm , II dénotant la fonction provenant des forces attractives (art. 34, sect. IT). Enfin, en multipliant ces équations respectivement par d£', d£", dt", on aura en les

ajoutant, d'Œ dT

PILE Ed ee e (re qe”) dt

dT 7 - + Ed.

Ed.

+ TPE" re) de + D (qË— pa) di = o,

savoir à cause de dé'— (r£" — qé”) dt , etc. (page 196),

pa PR LL

pete .

2 + Ë Te = Const. — l,

et de même, ,T AT maT

(b) der Fr Ad pr

d'TŒ Sid aT PE He Re 6 dp Su 6 dgq du 6 dr Eee

On peut remarquer que ces équations sont celles de la conservation des aires ; car on a

age 198 (page 198 dE dar Ab + Erde

dn = v'da'+ n"db'+ n"dc", dé = £'da!'+ &"db'+ &"de'; de }à Edn — ndé = (E'a + E"b + E"c) (n'da'+ n"db'+ »"de') (na nb + ne) (£da!-+ E"db'+ EM dc!) = (adb'— bda!) L"— (ade!— eda!) "+ (bde'— edb') €" Edé — at = (£a + E"D + Elle) (£'da!+ "db! + E"de!) — (da + +Ee) (E tn — (adb'— bda/)1"+ (adc'— cda') n"— (bdc'— cdb'\)n' a dé — Edn = (n'a + nb + nc) (£'da'+ é"db'+ é"de!) Ans (£a ne Gb es Ce (n'da!+ n"db' + nd) = (adb'— bda') E7— (adc'— cda') £"+- (bdc! — cdb') £’.

Or en prenant les sommes on irouve que

Td= S'(bdc'— cdb') m, n , —1$S (cda'— adc') m, dg dT

= dt = S (adb'— bda’) m

de là on aura donc aussi

dT ri = LE + mn + né, aT

et si l’on substitue les valeurs de p, q, r, ürées de ces équations, dans l’équation T + V = const.,

; n .s . : / / Le on aura üne équation finie en £/, n’, etc., savoir, entre les angles ®, d et w. Les équations {c) ci-dessus sont les mêmes qui ont été trouvées à la page 223, par une voie moins directe.

di dM dN

Si maintenant on multiplie les équations (b) de la page précédente par — PA TE

de dt Méc. anal. I, Â8

qu’on les ajoute, on aura par les formules de la page 194, à cause de p = == + dR | = d'T dT .aT IdL + mdM + ndN P ap ue dq CRE

Mais nous avons trouvé l'équation

” dT . d'T . dT p£ . ‘dp it BE gü . dq . ps qui résulte des équations (a) multipliées par p, g, r et ajoutées; donc si l’on désigne par

d'T la variation de T relative à a; b, c seulement, on aura | | d'T d'T d'T 11 = — 4 —— eee QUES lT; d'T 7e dp + de dq - dr + AT;

done ajoutant l'équation précédente, on aura

ae aT dT | .dT __.

dit Ha + T)+dTs

donc d'T d'E dT + +re =

P D da 2 L— J'AT + const.

Mais le principe des forces vives donne T + V — const.; done on aura

dT dT d'T

DER AE eo Un donc | , dL : dM adN > Fire ï

et si &, b, ce sont constantes, dE = 0; et V sera constant s'il ne provient que des forces intérieures.

L’équation (K)\ indique que la vitesse de rotation autour d’un certain axe fixe dans l’espace, est constante dans ce cas. En effet, puisque dans les formules de la page 194 dP, dQ , dR indiquent les rotations autour des axes des coordonnées a, b, ce, et dL, M, dN indiquant les rotations autour des axes des x, y, z, il s’ensuit que si l'on prend les premières pour dL, 4M, AN, on pourra rapporter celles-ci à d’autres axes par rapport auxquels elles deviendront (4 L), (4M), (4N), la position des nouveaux axes étant déterminée

par des quantités £”, »’, etc., que je désignerai par (£”), (n'), etc. On aura ainsi (4) = (£) di + (E")dM + (£")aN, (dM)= (n°) di + (n°) dM + (n°) dN, (AN) = (8) dL + (8) dM + (87) AN.

Donc puisque (£'}?+ (£")° + (£") = 1, si l'on met l'équation ci-dessus sous la forme

p dL aM dN HT a lu. Ref ÉRe 9) V(®+ m'+ nt) VEL MER on pourra faire l . l ‘à (£’) = ; (E7) ; (£7) ss

rpm Verre

et l’on aura (dL) K— fdT —V

dt . Ve+ mm? +- n°

Ainsi la vitesse de rotation autour d’un axe fixe sera

K—fdT—V.

VE mr)

elle sera donc constante lorsque dT—o et que V sera constant. | Si les forces accélératrices dépendent de l'attraction d'un corps dont les coordonnées

relativement au centre des coordonnées a, b, c, et parallèlement aux axes des £,n, Ÿ, soient X, ÿY, Z, On aura

IT — mn en et V—SIIDm.

V(2—E) + (y —n)+(2— 56} | Or, x°+ y +z = r, En += a + b+c=r; donc D dl Vr+r—o(xé Lyn +zé) T r° 2 E:

Or | E—aË +bEl+ cts...

donc

xé+yn+i = a(xe +yn+aé) + D(RE" + ynl 42e) +o(RE" + pr +26).

Soit | xE' +yn! +2 =, x £" + yn° + zé" =, xEM LR yn" + = v, on aura

1ak+ bu + cv DEC AS PRERER) r r 2 1° ar

et (en ne retenant-que le dernier terme),

nn ER 2 Fuv+ 2 Go + 2 Hu).

En n'ayant toujours égard qu’au dernier terme, on aura

dr dW __ 3(al+bp+ ec)

Fo Sr

dl ad 3(al+bu+er) nn Le | — av),

dil di 3(a)+bu+e) y el

Donc multipliant par Dm et intégrant, on aura di dl 3 : : :

(Te) Dm = S[(C—B)pv+ Hay + F(#—pt) — Ga], dTI dt 3 9 à ScT—eT) Dm — LICE v) + Flu + (A — C) Av — Huy |, dl di One Sa 0% Dm = <[(B—A)àp + H(ut— 1) + Guv— Fay |.

Il faudra donc ajouter ces termes aux trois équations (A), qui deviendront par conséquent

aT d.—

DL QT LOT, UC Bus FC ge) + Ho Gp] dt ar” dq r5 | + dT

‘dq aT AT 3S[(A—C)hiv+G(N—») + Flu — Hp] Re AR D ee OEe e Re D TC et d aT

dr, AT dt 3C(B—A)p+ H(p—v)+ Gpr— Fa] dt 7 Ta t° né

De là nous tirerons les équations suivantes :

aT ,dT .dT TT + (P)£'+ (Q})E"+ (R)E"— 0, dl (Te a tt) MT (pr + (Q}n'+ (R}n= 0, dT ,dT ,dT HE AE à RE EL + (p)g + (Q£" + (RE 0,

où (P), (Q), (R) désignent les parties des précédentes qui ne dépendent pas de p, q, r.

Faisons, pour abréger,

uégligeons de plus, dans les premiers membres, les différences de À, B, C, on aura alors

dT d'T d'T pal AP; ne = Ar, et nos équations deviendront 7. dE dt 3[(C—Bpr£ +(A— C}hsE"+(B— A)apé”] RER ee RS ne.

dt r Ad “A de | dt 3[(C— Bjuva’+ (A — Cyan” + (B—A)apx] pe Re RE HORS Pie UPS ct ri Ad dN " dt 3[(C— Burt '+{A— C)hr6"+(B—A)inc”| = 0.

Faisant encore À — B, on aura

dL AG es

- : C — A 4 oh dd. Rio Aie Les Z}vy = 0, M

TE 4 E(C— A (reg r = o,

Ad | TH (C msn A) (7x MS Et) ne