PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

nomme communément Hydrostatique, pour compléter l'analyse des principes de la Statique que nous avons donnée dans la sect. I.

1 . C'est encore à Archimède que nous devons les premiers principes de l'équilibre des fluides. Son Traité de Insidentibus hunddo ne nous est pas parvenu en grec, il y en avait seulement une traduction latine assez défectueuse, donnée par Tartalea, lorsque Commendin entreprit de le restituer et de l'éclaircir par des notes ; il parut, par les soins de ce savant commentateur, en i565, sous le titre De iis quœ vehuntur in aquâ.

Cet ouvrage, qu'on peut regarder comme un des plus précieux restes de l'antiquité, est divisé en deux livres. Dans le premier, Archimède pose ces deux principes, qu'il regarde comme des principes d'expérience, et sur lesquels il fonde toute sa théorie : i° Que la nature des fluides est telle, que les parties moins pressées sont chassées par celles qui le sont davantage, et que chaque partie est toujours pressée par tout le poids de la colonne qui lui répond verticalement ; 2® que tout ce qui est poussé en haut par un fluide est toujours poussé suivant la perpendiculaire qui passe par so;i centre de gravité.

Du premier principe, Archimède conclut d'abord que la surface d'un fluide, dont toutes les parties sont supposées peser vers le centre de la terre, doit être sphérique pour que le fluide soit en équilibre. Ensuite il démontre qu'un corps aussi pesant qu'un égal volume du fluide doit s'y enfoncer tout à fait, parce qu'en considérant deux pyramides égales du fluide supposé en équilibre autour du centre de la terre, celle où le corps ne serait plongé qu'en partie, exercerait une plus grande pression que l'autre sur le centre de la terre, ou en général sur une surface sphérique quelconque qu'on imaginerait autour de ce centre. Il prouve, de la même manière, que les corps plus légers qu'un égal volume du fluide ne peuvent s'y enfoncer que jusqu'à ce que la partie submergée occupe la place d'un volume de fluide aussi pesant que le corps entier ; doù il déduit ces deux théorèmes hydrostatiques, que les corps plus légers que des volumes égaux d'un fluide y étant plongés, en sont repoussés de bas en haut avec une force égale à l'excès du poids du fluide déplacé sur celui du corps plongé, et que les corps plus pesants y perdent une partie de leur poids égale à celui du fluide déplacé.

Archimède se sert ensuite de son second principe pour établir les lois de

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r équilibre des corps qui flottent sur un fluide ; il démontre que toute section de sphère plus légère qu'un volume égal du fluide, y étant plongée, doit nécessairement se disposer de manière que la base en soit horizontale ; et sa démonstration consiste à faire voir que si la base était inclinée, le poids total du corps considéré comme concentré dans son centre de gravité, et la poussée verticale du fluide considérée aussi comme concentrée dans le centre de gravité de la partie submergée, tendraient toujours à faire tourner le corps jusqu'à ce que sa base fût redevenue horizontale..

Tels sont les objets du premier livre. Dans le second, Archimède donne, d'après les mêmes principes, les lois de l'équilibre de différents solides formés par la révolution des sections coniques, et plongés dans des fluides plus pesants que ces corps ; il examine les cas où ces conoides peuvent y demeurer inclinés, ceux où ils doivent s'y tenir debout, et ceux où ils doivent culbuter ou se redresser. Ce livre est un des plus beaux monuments du génie d' Archimède, et renferme une théorie de la stabilité des corps flottants, à laquelle les modernes ont peu ajouté.

2. Quoique d'après ce qu' Archimède avait démontré il ne fût pas difficile de déterminer la pression d'un fluide sur le fond ou sur les parois du vase dans lequel il est renfermé, Stevin est néanmoins le premier qui ait entrepris cette recherche, et qui ait découvert le paradoxe hydrostatique, qu'un fluide peut exercer une pression beaucoup plus grande que son propre poids. C'est dans le tome III des Hypomnemata mathematica, traduits du hollandais par Snellius, et publiés à Leyde en 1608, que se trouve la théorie hydrostatique de Stevin. Après avoir prouvé qu'un corps solide de figure quelconque, et de même gravité que l'eau, peut y rester dans une situation quelconque, par la raison qu'il occupe la même place et pèse autant que si c'était de l'eau, Stevin imagine un vase rectangulaire rempli d'eau, et il fait voir aisément que son fond doit supporter tout le poids de l'eau qui remplit le vase. Il suppose ensuite qu'on plonge dans ce vase un solide de figure quelconque, et de même gravité que l'eau ; il est clair que la pression restera la même; de sorte que si l'on donne au solide plongé une figure telle, qu'il ne reste plus qu'un canal de fluide d'une figure quelconque, la pression du canal sur la base sera encore la même, et, par conséquent, égale au poids d'une colonne verticale d'eau qui aurait cette même base. Or Stevin

observe qu'en supposant ce solide fixement arrêté à sa place, il n'en peut résulter aucun changement dans l'action de l'eau sur le fond du vase; donc la pression sur ce fond sera toujours égale au poids de la même colonne d'eau, quelle que soit la figure du vase.

Stevin passe de là à déterminer la pression de l'eau sur les parois verticales ou inclinées ; il divise leur surface en plusieurs petites parties par des lignes horizontales, et il fait voir que chaque partie est plus pressée que si elle était horizontale et à la hauteur de son bord supérieur, mais qu'en même temps elle est moins pressée que si elle était placée horizontalement à la hauteur de son bord inférieur. D'où, en diminuant la largeur des parties, et augmentant leur nombre à l'infini, il projuve par la méthode des limites, que la pression sur une paroi plane inclinée est égale au poids d'une colonne dont cette paroi serait la base, et dont la hauteur serait la moitié de la hauteur du vase.

Il détermine ensuite la pression sur une partie quelconque d'une paroi plane inclinée, et il la trouve égale au poids d'une colonne d'eau qui serait formée en appliquant perpendiculairement à chaque point de cette partie des droites égales à la profondeur de ce point sous l'eau. Ce théorème étant ainsi démontré pour des surfaces planes, situées comme l'on voudra, il est facile de l'étendre à des surfaces courbes, et d'en conclure que la pression exercée par un fluide pesant contre une surface quelconque, a pour mesure le poids d'une colonne de ce même fluide, laquelle aurait pour base cette même surface, convertie en une surface plane, s'il est nécessaire, et dont les hauteurs répondantes aux différents points de la base seraient les mêmes que les distances des points correspondants de la sur&ce à la ligne de niveau du fluide, ou, ce qui revient au même, cette pression sera mesurée par le poids d'une colonne qui aurait pour base la surface pressée , et pour hauteur la distance verticale du centre de gravité de cette même surface à la surface supérieure du fluide (*).

5. Les théories précédentes de l'équilibre et de la pression des fluides sont, comme l'on voit, entièrement indépendantes des principes généraux

(*) Cette proposition relative à la pression sur une surface courbe est inexacte. L'auteur ne rénonce ici que par inadvertance. (J, Bertrand. )

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de la Statique, n'étant fondées que sur des principes d'expérience particuliers aux fluides; et cette manière de démontrer les lois de l'Hydrostatique, en déduisant de la connaissance expérimentale de quelques-unes de ces lois celle de toutes les autres, a été adoptée par la plupart des auteurs modernes, et a fait de l'Hydrostatique une science tout à Êiit différente et indépendante de la Statique.

Cependant il était naturel de chercher à lier ces deux sciences ensemble, et à les faire dépendre d'un seul et même principe. Or, parmi les différents principes qui peuvent servir de base à la Statique, et dont nous avons donné une exposition succincte dans la sect. I, il est visible qu'il n'y a que celui des vitesses virtuelles qui s'applique naturellement à l'équilibre des fluides. Aussi Galilée, auteur de ce principe, s'en est servi également pour démontrer les principaux théorèmes de Statique et d'Hydrostatique.

Dans son Discorso intorno aile cose che stanno su ïocqua, o cite in queUa si muovono, il déduit immédiatement de ce principe l'équilibre de l'eau dans un siphon, en faisant voir que si l'on suppose le fluide à la même hauteur dans les deux branches, il ne saurait descendre dans l'une et monter dans l'autre, sans que les moments ne soient égaux dans la partie du fluide qui descend, et dans celle qui monte. Galilée démontre d'une manière semblable l'équilibre des fluides avec les solides qui y sont plongés ; il est vrai que ses démonstrations ne sont pas bien rigoureuses, et quoiqu'on ait cherché à y suppléer dans les notes ajoutées à l'édition de Florence de 1 7:28 , on peut dire qu'elles laissent encore beaucoup à désirer. Descartes et Pascal ont également employé le principe des vitesses virtuelles dans l'Hydrostatique ; ce dernier surtout en a fait un grand usage dans son Traité de l'équilibre des liqueurs, et s'en est servi pour démontrer la propriété principale des fluides, qu'une pression quelconque, appliquée à un point (Je leur surface, se répand également dans tous les autres points.

4. Mais ces applications du principe des vitesses virtuelles étaient encore

trop hypothétiques, et, pour ainsi dire, trop lâches, pour pouvoir servir à établir une théorie rigoureuse sur l'équilibre des fluides. Aussi ce principe a-t-il été abandonné depuis par la plupart des auteurs qui ont traité de l'Hydrostatique, et surtout par ceux qui ont entrepris de reculer les limites de cette science, en cherchant les lois de l'équilibre des fluides hétérogènes,