Dénotons en général par ^ la valeur de l'intégrale
s (P<^ 4- Qrf^ H- Rc^ -h ...)
prise par toute la longueur du canal ; il Ëiudra que l'on ait <^ Y = o. Or on a, par la différentiation,
= S (P^^p -h QiTrf^ -h R«rrfr H- . . . H- <rP<^ -h (JQrfy H- «ÎRrfr H- ...). Changeant id en d^, et faisant ensuite disparaître le double signe d^ par
des intégrations par parties, on aura
Sw = PcJ> + Q^g + ReTr -H . . .
-h S{^Pdp — dP^p H- SQdq — dQ^q + SKdr — dRSr +...)>
où les termes qui sont hors du signe S se rapportent aux extrémités de l'intégrale représentée par ce signe, et répondent, par conséquent, aux bouts du canal; de sorte qu'en supposant ces bouts fixes, les variations S^d, Sq^ Stj etc., qui y répondent, seront nulles, et les termes dont il s'agit s'évanouiront d'eux-mêmes.
Maintenant, comme les quantités P, Q, R, etc. , qui représentent les forces, sont ou peuvent toujours être supposées des fonctions de /?, ^, r, etc., il est clair que la partie de ^^ qui est affectée du signe S n'est plus susceptible de réduction; donc, pour que l'on ait en général ^V = o, il faudra que cette partie soit nulle d'elle-même, et que, par conséquent, l'on ait pour chaque point de la masse fluide l'équation identique
SVdp — dP^p + SQdq — dQSq H- SRdr — dRSr -+-...= o.
En regardant les expressions des forces P, Q, R, etc. , comme des fonctions quelconques de /?, ç, r, etc., on aura, suivant la notation reçue,
,,. rfP , rfP , rfP ^ .
de même
et ainsi des autres différences. Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, et ordonnant les termes, elle deviendra de cette forme :
et devra avoir lieu indépendamment des différences dp^ dq^ dr^ etc.; «T/?, Sq^ Sr^ etc.
Donc, s*il n'y a aucune relation donnée entre les variables/?, q^ r, etc.,
Méc. anal, I. a3
il faudra faire séparément
dP dO
Or
dV dQ
dq dp
dr dp '
dr dq~^'
Ce sont les équations de condition connues pour l'intégrabilité de la formule
Vdp H- Ç^dq H- Rrfr H-
9. Lorsque les lignes /?, q, r, etc., se rapportent à un point dans l'espace , comme dans le cas présent, elles ne peuvent dépendre que des trois coordonnées de ce point, et les forces P, Q, R, etc. , peuvent toujours se réduire à trois, suivant ces coordonnées (sect. V, art. 7). Ainsi, en prenant /?, g, r pour ces coordonnées, soit rectangles ou non (*), et P, Q, R, etc., pour les forces qui agissent sur chaque particule du fluide, dans la direction des mêmes coordonnées, il faudra que les quantités P, Q, R, regardées comme des fonctions de p^ q^ r, satisfissent à ces trois équations,
rfP dO d9 dR dO dR
Ce sont les conditions nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces P, Q, R, qui agissent sur tous ces points.
Au reste, on a fait abstraction jusqu'ici de la densité du fluide, ou plutôt cm l'a regardée comme constante et égale à l'unité; mais si l'on voulait la supposer variable, alors, en nommant F la densité d'une particule quelconque e/m, on aurait (art. 2) dm = Tcods; et les quantités P, Q, R, etc., se trouveraient toutes multipliées par r. Ainsi l'on aura pour l'équilibre des fluides de densité variable, les mêmes lois que pour l'équilibre des fluides de densité uniforme, en multipliant seulement les différentes forces par la densité du point sur lequel elles agissent, c'est-à-dire en écrivant simplement rP, rQ, rR, etc. , à la place de P, Q, R, etc.
(*) Cette assertion n*est |»as exacte. Si P, Q» R désignaient les composantes parallèles à trois axes obliques, et p^ q^ r les coordonnées relatives à ces axes, la somme des moments virtuels ne serait pas P<//9 -h Q</g + Edr, et les raisonnements q^ui précèdent ne pour/aient pas s'appliquer.
[f, Bertrand.)
