PREMIERE PARTIE. — LA STATIQUE

§ II. — OÙ Von déduit les lois générales de l'équilibre des fluides incompressibles, de la nature des particules qui les composent,

10. Nous allons maintenant chercher les lois de l'équilibre des fluides incompressibles, directement par notre formule générale, en regardant ces sortes de fluides comme formés d'un amas de particules mobiles en tout sens, et qui peuvent changer de figure, mais sans changer de volume.

Supposons, pour plus de simplicité, que toutes les forces qui agissent sur les particules du fluide soient réduites à trois, représentées par X, Y, Z, et dirigées suivant les coordonnées rectangles a:, j, z, c'est-à-dire tendantes à diminuer ces coordonnées. Nous avons donné, dans le chap. I de la sect. V, les formules générales de cette réduction.

Nommant ^m la masse d'une particule quelconque, on aura, pour la somme des moments des forces X, Y, Z, la formule intégrale

S {XSx + Y^j + ZeTz) dm ;

or le volume de la particule ^m peut être représenté pardxdjrdz; ainsi, en exprimant par F la densité, il est clair qu'on aura dm = Vdxdydz ; et le signe d'intégration S appartiendra à la fois aux trois variables a:, /, z.

Il faudra, de plus, avoir égard à l'équation de condition résultante de l'incompressibilité du fluide, laquelle étant supposée représentée par L = o, donnera, en différentiant selon J", multipliant par un coeflicient indéterminé h^ et intégrant, la formule SaJ'L à ajouter à la précédente.

S'il n'y a point de forces extérieures qui agissent sur la surface du fluide, ni de conditions particulières à cette surface, on aura simplement, pour l'équation générale de l'équilibre (sect. IV, art. 15),

S (XiTj? -+- YiTj + l^z) dm -h S;^^L = o,

dans laquelle il faudra prendre les intégrales relativement à toute la masse du fluide.

11. La condition de l'incompressibilité consiste en ce que le volume de chaque particule soit invariable ; ainsi, ayant exprimé ce volume par dxdydz^ on aura dxdydz =: const. pour l'équation de condition; par conséquent,

L sera = dxdydz — const. , et J'L =±= ^ . {dxdydz) .

l8o MECANIQUE ANALYTIQUE.

Pour avoir la variation S. {dxdydz)^ il semble qu'il n*y aurait qu'à difFérentier simplement dxdydz selon «T; mais il y a ici une considération particulière à faire, et sans laquelle le calcul ne serait pas rigoureux. La quantité dxdydz n'exprime le volume d'une particule qu'autant qu'on suppose la figure de cette particule un parallélipipède rectangulaire dont les côtés sont parallèles aux axes des x^y^ z\ cette supposition est très-permise, puisqu'on peut imaginer le fluide partagé en éléments infiniment petits d'une figure quelconque. Or, ^. [dxdydz) doit exprimer la variation que souffire ce volume lorsque la particule change infiniment peu de situation, ses coordonnées a*, j, z devenant x -h ^x^y -h ^j, z-^- ^z\ et il est clair que si dans ce changement la particule conservait la figure d'un parallélipipède rectangle, on aurait

(T. [dxdydz) = dydz^dx H- dxdzSdy H- dxdySdz.

Par les principes du calcul des variations, on peut changer les «Tctr, ^dy^ Sdz en d^x^ d^y^ dSz\ mais il est nécessaire de remarquer que les variations (T.r, Sy^ ^z pouvant être regardées comme des fonctions indéterminées et infiniment petites, de x^ j, z, pour que rfJ'j? représente la variation du côté dx de la particule rectangulaire dtdydz^ lequel est formé par l'accroissement dx que la coordonnée x reçoit, tandis que les deux autres, j et z, ne varient pas, il faut que dans la différentiation de hx^ la seule x soit censée variable : ainsi, suivant la notation des différences partielles, au lieu d'écrire simplement d^x^

il faudra écrire -^— dx\ de même, et par un raisonnement semblable, on

écrira -^rf^ et -r^dz au Heu de d^y^ dSz. De cette manière, dans l'hypothèse que la particule dxdydz demeure rectangulaire après la variation, on aura

S. [dxdydz) = dxdydz {^ + ^ + -^) •

Il en serait encore de même si l'on supposait que la particule dxdydz devînt, par la variation, un parallélipipède dont les angles différassent infiniment peu de l'angle droit; car on sait, par la Géométrie, que, si a, è, c sont les trois côtés d'un parallélipipède qui forment un angle solide, et a, j3, y les trois angles que ces côtés forment entre eux, la solidité, ou le contenu du parallélipipède, est exprimée par la formule

abc y^(i — cos a^ — cos ^'^ — cos^^ -f- 2 cos a cos (5 cos y) .