PREMIÈRE Partie. — la statique. i

second ordre et des ordres supérieurs i on aura

dix diy

OÙ Ton voit que l'angle a ne diffère d'un angle droit que par des quantités infiniment petites, puisque son cosinus est infiniment petit.

14. Si l'on applique la même analyse aux deux autres faces dxdzj dydz du rectangle dxdjdzy on trouvera que ces faces se changent aussi en parallélogrammes ; de sorte que les trois faces opposées seront aussi des parallélogrammes, comme on peut le démontrer facilement par la géométrie. Par conséquent, le nouveau solide sera un parallélipipède dont les côtés, qui forment un angle solide, seront

et nommant a, /3, 7 les angles compris entre ces côtés, on aura

dSx ddy

^ dox dôz

ddy diz

d'où Ton peut conclure que la varîalion du parallélipipède rectangulaire dxdydz est rigoureusement exprimée par la formule donnée plus haut (art. 11).

15. On voit aussi par là que si les variations Sx^ fyy S^z n'étaient fonctions respectivement que de a?, 7, z, on aurait rigoureusement

cosa = o, cos|3 = o, cos7 = o;

de sorte que le parallélipipède rectangle dxdydz demeurerait rectangle après la variation. Or, comme le changement de forme de ce parallélipipède n'est qu'infiniment petit et n'influe point dans la valeur de sa solidité, il s'ensuit que, sans rien ôter à la généralité du résultat, on peut supposer que les variations <r.r, jy , ^z soient simplement fonctions de a?, de / et de z, comme nous l'avons Eût dans l'art. 31 de la sect. IV.

l84 MECANIQUE ANALYTIQUE.

16. Ayant ainsi la vraie valeur de S. [dxdydz)^ on la prendra pour cîelle de J'L, et Ton aura

(vy 111 ( dàx dSy dâz\

Sh = dxdydz[-^^-^ + ^y

On substituera donc cette valeur dans l'équation générale de l'art. 10, et mettant en même temps pour dm sa valeur Tdxdydz^ on aura l'équation

s[r(X^a: + YJy + Z^z) + A (^ + ^ -H ^^)] dxdydz = o,

et il ne s'agira plus que d'y faire disparaître les doubles signes dS^ par la méthode exposée dans le § II de la sect. IV.

17. Considérons d'abord la quantité Sa --j—dxdfdz^ oîile signe S dénote

une triple intégrale relative à a:, j, z; il est clair que comme la différence de Soc n'est relative qu'à la variation de x^ il ne faudra aussi pour la faire disparaître qu'avoir égard à l'intégration relative à x; c'est pourquoi on

donnera d'abord à cette quantité la forme SdydzSps.-^dx, ensuite on

transformera l'intégrale simple Sa-^—c^ en A'^J'.r'' — f<Sx^ — S^J'jJéir;

les quantités marquées d'un trait se rapportent au commencement de l'intégration, et celles qui en ont deux se rapportent aux points où elle finit, suivant la notation adoptée dans l'endroit cité. Ainsi la quantité dont il s'agit se trouvera changée en celle-ci :

Sdxdz{?<''Sx'— }iSx') — Srf/rfzS ^ Sxdx,

ou, ce qui est la même chose,

^[y^'Sx''— 7lSx')dydz — S^Sxdxdydz,

De la même manière et par un raisonnement semblable, on changera les quantités

Sh--^dxdydz et S^-j^dxdydz en celles-ci :

S(?,''fy'—^'êy)dxdz — Sf^Sydxdfdz