On aura donc d'abord ces trois équations
rX-g = o, rY-f = o, rZ-^ = o,
lesquelles doivent avoir lieu pour tous les points de la masse fluide.
Ensuite, si le fluide est libre de tous côtés, les variations Sx\ ^y\ ^z\ Sx'\ <5y", J'z'' qui se rapportent aux points de la surface du fluide seront aussi indéterminées, et, par conséquent, il faudra encore égaler séparément à zéro leurs coefficients, ce qui donnera /= o, /'= o, c'est-à-dire en général A = o, pour tous les points de la surface du fluide, et cette équation servira à déterminer la figure de cette surface.
Il en sera de même lorsque le fluide est renfermé dans un vase, pour la partie de la surface où le vase est ouvert; mais à l'égard de la partie qui est appuyée contre les parois, les variations Sx\ <Jy', J'z', ^x^' ^ ^/'^ ^z" doivent avoir entre elles des rapports donnés par la figure de ces parois, puisque le fluide ne peut que couler le long des parois ; et nous démontrerons plus bas que, quelle que puisse être leur figure, les termes qui renferment les variations en question seront toujours nuls d'eux-mêmes; de sorte qu'il n'y aura aucune condition relativement à cette partie de la surface du fluide.
19. Les trois équations qu'on vient de trouver pour les conditions de l'équilibre du fluide donnent
g = rx, | = ry, ^ = rz;
Méc. anal, I. 24
l86 MECANIQUE ANALYTIQUE.
donc, puisque d?i= ^doo -h -^- df -h j~dz, on aura
d^ = r {Xdx + Ydf + Zdz) ;
par conséquent, il faudra que la quantité r {X.dx -h Ydf •+- Zdz) soit une différentielle complète en a?, j, s, et cette condition renferme seule les lois de l'équilibre des fluides.
Si Ton élimine la quantité A des mêmes équations, on aura les suivantes :
df {Ix
d.TX d.TZ
dz dx
d,TY d.rZ
dz dy
équations qui s'accordent avec celles de l'art. 9.
Ces conditions sont donc nécessaires pour que la masse fluide puisse être en équilibre, en vertu des forces X, Y, Z. Lorsqu'elles ont lieu par la nature de ces forces, on est assuré que l'équilibre est possible, et il ne reste plus qu'à trouver la figure que la masse fluide doit prendre pour être en équilibre, c'est-à-dire l'équation de la surface extérieure du fluide.
Nous avons vu, dans l'article précédent, qu'on doit avoir dans chaque point de cette surface A = o. Donc, puisque ûJa = T{\dx -+- Ydy -+- Zdz)^ on aura, en intégrant,
A=/r(Xcir ■+- \dy -^Zdz) -f- const. ;
par conséquent, l'équation de la surface extérieure sera
JTÇLdx + Xdy + Zdz) = K,
K étant une constante quelconque ; et cette équation sera toujours en termes finis, puisque la quantité r(Xrfx' + Ydy -h Zdz) est supposée une diffé-
rentielle exacte.
20. La quantité X^ir -h Yc^ + Zdz est toujours d'elle-même une différentielle exacte, lorsque les forces X, Y, Z sont le résultat d'une ou de plusieurs attractions proportionnelles à des fonctions quelconques des distances aux centres, puisqu'on a en général, par l'art. 1 de la sect. V,
Xctr -h Ydy + Zdz = Vdp -+- (^dq -+- Rc^r
