PREMIÈRE PARTIE, — LA STATIQUE. îS

Nommant cette quantité rfn, on aura alors dx = rdll ; donc, pour que rfA soit une différentielle complète, il faudra que r soit une fonction de II. Par conséquent, A =^frdll sera aussi nécessairement une fonction de n.

On aura donc dans ce cas, qui est celui de la nature, pour la figure de la surface, Téquation fonct. II = K, savoir II égal à une constante, de même que si la densité du fluide était uniforme. De plus, puisque n est constante à la surface, et que r est fonction de II, il s'ensuit que la densité r doit être la même dans tous les points de la surface extérieure d'une masse fluide en équilibre.

Dans l'intérieur du fluide, la densité peut varier d'une manière quelconque, pourvu qu'elle soit toujours une fonction de n : elle devra donc être constante partout où la valeur de n sera constante; de sorte que II = h sera en général f équation des couches de même densité, h étant une constante. Donc différentiant, on aura

dïl = o ou Xda: -hYdf '+-Zdz= o

pour l'équation générale de ces couches; et il est visible que cette équation est celle des surfaces auxquelles la résultante des forces X, Y, Z est perpendiculaire, et que Clairaut appelle surfaces de niveau. D'oii il s'ensuit que la densité doit être uniforme dans chaque couche de niveau formée par deux surfaces de niveau infiniment voisines.

Cette loi doit donc avoir lieu dans la terre et dans les planètes, supposé que ces corps aient été originairement fluides, et qu'ils aient conservé, en se durcissant, la forme qu'ils avaient prise en vertu de l'attraction de leurs parties, combinée avec la force centrifuge.

21 . A l'égard de la quantité A dont nous venons de déterminer la valeur, il est bon de remarquer que le terme Sa JL de l'équation générale de l'art. 10 représente la somme des moments d'autant de forces A qui tendent à diminuer la valeur de la fonction L (art, 7, sect. IV) ; de sorte que comme on a fait Sh == S.dxdydz (art. H), on peut dire que la force A (*) tend à comprimer chaque particule dxdydz du fluide; par conséquent, cette force

(*) La conclusion est exacte, quoique la démonstration ne soit pas suffisante. Nous avons déjà remarqué plusieurs fois qu'on ne peut considérer X comme une force, cjlie si Ton consent à étendre la signification habituelle du mot force. (/. Bertrand.)

l88 MECANIQUE ANALYTIQUE.

n'est autre chose que la pression que cette particule du fluide souffre également de tous côtés, et à laquelle elle résiste par son incompressibilité. On a donc en général pour la pression dans chaque point de la masse

fluide, l'expression

Sr{Pdx -h Qdy + Kdz) ;

et comme la quantité sous le signe doit toujours être intégrable pour que le fluide soit en équilibre, il s'ensuit que la pression pourra toujours être exprimée par une fonction finie des coordonnées relatives à la particule qui éprouve cette pression; proposition fondamentale de la théorie des fluides, donnée par Euler (*).

22. Pour donner une application de l'équation n = const. , que nous avons trouvée pour représenter la surface d'une masse fluide en équilibre (art. 20), nous allons considérer l'équilibre de la mer, en supposant qu'elle recouvre la terre regardée comme un solide de figure elliptique et peu différent de la sphère, et que chacune de ses particules soit attirée à la fois par toutes les particules de la tecre et de la mer, et soit animée en même temps de la force centrifuge provenant de la rotation uniforme de la terre autour de son axe.

C'est ici le lieu d'employer les formules que nous avons données dans l'art. 10 de la sect. V, Nous avons désigné par 2 la valeur de la fonction n, lorsque les forces sont le résultat des attractions de toutes les particules d'un corps de figure donnée, et nous avons donné l'expression de 1 pour le cas où l'attraction est en raison inverse du carré des distances, et où le corps attirant est un sphéroïde elliptique peu différent de la sphère. En conservant les dénominations employées dans cet article, et en s'arrêtant aux termes qui contiennent les secondes dimensions des excentricités e et /, on a trouvé

OÙ X, j, z sont les coordonnées rectangles du point attiré, r = y/a?'^-h J^H- z^ est la distance de ce point au centre du sphéroïde, et m est la masse du sphéroïde égale à ^ ABC, A, B, C étant les demi-axes du sphéroïde.

(*) Mémoires de t' Académie de Berlin; 1755. (/. Bertrand.)