PREMIÈRE PARTIE. -7- LA STATIQUE. ig'î

aux quantités e* près, -j-i , il n'y aura qu'à faire ^^ = i , et l'on aura

d'où l'on tire

Or on a f = -^; donc j = -^ à très-peu près, comme on le sait depuis longtemps.

§ m. — De V équilibre d'une masse ^ide libre avec un solide quelle

recouvre.

27. Les lois particulières de l'équilibre d'un fluide avec un solide qui y est plongé, ou dans lequel il est renfermé, lorsque tous les points du fluide et du solide sont sollicités par des forces quelconques, dépendent des termes de l'équation générale (art. 17) qui se rapportent aux limites, et qui ne contiennent que des intégrations doubles.

Ces termes donnent cette équation aux limites,

S?^''{^x'dxdz + fy^'dxdz H- ^z^dxdx) — Sx'{^x'dxdz -h ^y'dxdz H- Sz'dxdy) = o,

laquelle doit se vérifier dans tous les points où le fluide est contigu au solide.

28. Considérons d'abord le cas d'une masse fluide dont la surface extérieure est libre^ et qui environne un noyau solide fixe de figure quelconque.

En prenant l'origine des coordonnées dans un point de l'intérieur du noyau, les quantités marquées d'un trait se rapporteront à la surface du noyau, et les quantités marquées de deux traits se rapporteront à la surface extérieure du fluide. Ainsi on aura d'abord, pour tous les points de cette surface, l'équation }!' =^ o, laquelle donne, comme on l'a déjà vu plus haut (art. 19),

^T{\dx -f- Yrfr H- Zrfz) = K,

pour la figure de cette surface.

Mec. anal, I. 25

igd MECANIQUE ANALYTIQUE.

Il ne restera donc à vérifier que l'équation

S>!{^x'dxdz + ^ydxdz H- Sz'dxdy) = o,

dont tous- les termes se rapportent à la surface du noyau.

29. Comme l'intégration de ces termes est relative aux coordonnées dont les différentielles entrent dans l'expression des éléments superficiels dxdjr, dxdz, dfdzj il faut commencer par réduire ces éléments à une même forme ; ce qu'on peut obtenir en les rapportant à l'élément de la surface auquel ils répondent.

Désignons par ds^ l'élément de la surface qui répond à l'élément cLvdjr du plan des a?, j, et nommons >' l'angle que le plan tangent fait avec le même plan des a:, j ; on aura, par la propriété connue des plans, dxdj = ds^ cos y\ et l'intégrale S^'^z^dxdy deviendra S?^'cosy' Szds^, laquelle devra s'étendre à tous les points de la surface du fluide.

De même, si do-^ est l'élément de la surface qui répond à l'élément dxdz du plan des a?, z, et qu'on nomme |3' l'angle que le plan tangent fait avec ce même plan des or, z, on aura dxdz = rf(7*cos|3', et l'intégrale Sx' Sy dxdz deviendra S/cos^'cJ/'eio-*, laquelle devra s'étendre également par toute la surface du fluide.

30. Je remarque maintenant que, quoique les deux éléments ds^ et da^ de la surface puissent n'être pas égaux entre eux, néanmoins, comme les deux intégrales qui renferment ces éléments se rapportent à la même surface, rien n'empêche d'employer le même élément dans ces deux intégrales, puisque, par la nature du calcul différentiel, la valeur absolue des éléments est arbitraire et n'influe point sur celle de l'intégrale. Ainsi on pourra changer l'intégrale Sa' cos ^'^y'dtr' en S/ cos ^' ^y'ds".

Par le même raisonnement, l'intégrale ST^Sx'dydz pourra se mettre sous la forme S/cos a' S^x'ds^y en nommant a' l'angle que le plan tangent fait avec le plan des j?, /.

D'ailleurs, il est évident qu'on peut toujours prendre les éléments dXy dy dz tels, qu'ils satisfassent aux conditions

dxdy = QOsy ds^ ^ dxdz = cos ^'ds^^ dydz = cos oc' ds^y