PREMIÈRE PARTIE. — LA STATIQUE. |gi

qui serviront à déterminer les deux excentricités e et i de la surface elliptique de la mer.

25. On sait que la force centrifuge est proportionnelle à sa distance de l'axe de rotation et au carré de la vitesse angulaire de rotation. Donc, si Ton prend Taxe 2 A, qui est aussi Taxe des coordonnées x^ pour Taxe de rotation, et que f soit la force centrifuge à la distance de A de Taxe, on aura

j- pour la force centrifuge d'un point quelconque du sphéroïde, en faisant

u = y^^+ z^ ; cette force, étant dirigée suivant la ligne u et tendant à l'augmenter, donnera le moment j- , dont l'intégrale ^, savoir

— — T- -, devra être ajoutée à la quantité 2, pour avoir égard à l'effet

de la force centrifuge. Ainsi on aura les conditions de l'équilibre de la mer, en vertu de l'attraction réciproque de toutes les particules de la mer et de la terre, et de la force centrifuge due à la rotation de la terre , en faisant dans

les deux équations précédentesy= o, g = -^^ A = — .

Puisque les deux constantes g et h sont égales, on voit, par ces équations, que, si les excentricités e' et i' de la terre sont égales, on aura aussi les deux excentricités e et i de la figure de la mer égales entre elles ; de sorte que, si la terre est un sphéroïde de révolution, la mer en sera un aussi. Mais si la terre n'est pas un sphéroïde de révolution, la mer ne le sera pas non plus, et les deux équations dont il s'agit donneront les valeurs de ses deux excentricités e, /, qui seront différentes des excentricités e' et i' de la terre.

26. Au reste, cette solution n'est exacte qu'aux quantités e% i% e'", t'^ près ; et si l'on voulait avoir égard, dans les valeurs de 2 et de r, aux termes qui contiendraient des puissances supérieures de ces quantités, il ne serait plus possible de vérifier en général l'équation

2 ^(y"+-") ^ const.

pour la surface d'équilibre ; d'où il faudrait conclure que cette surface n'a point rigoureusement la figure d'un sphéroïde elliptique.

Je dis en général, parce que dans le cas où le sphéroïde est homogène et

iga MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

sans noyau intérieur d'une densité différente, on a trouvé que les attractions sur un point quelconque de la surface, suivant les trois ordonnées x^ y^ z, sont représentées exactement par les formules

m La:, mMj, niNz,

oîi L, M, N sont des fonctions de A, B, C données par des intégrales définies ; d'où Ton déduit pour 2 cette expression rigoureuse,

2 = ^X(La;^H-Mj^H-Nz*).

Ainsi l'équation de l'équilibre 2 ^ ' . — - = const., étant de la même

forme que l'équation du sphéroïde tt "+* w? "*" rî = ^ j on peut, à cause de la constante arbitraire, les rendre identiques par ces deux conditions,

mM— f A* niN— f

B»' niL "^C»'

lesquelles donnent B = C, parce que les quantités M et N sont (*) des fonctions semblables de B, C et de G, B; elles se réduisent ainsi à une seule, qui sert à déterminer le rapport de A à B.

Ce cas est, jusqu'à présent, le seul pour lequel on ait trouvé une solution rigoureuse qu'on doit k Maclaurin ; de sorte que le problème de la figure de la terre, envisagé physiquement, n'est résolu exactement qu'en supposant le sphéroïde fluide et homogène. Dans ce cas, les deux équations approchées, trouvées plus haut (art. 24), donnent, en faisant

r=i, r'= o, g=zh=^j et e =^ ij celle-ci :

Si l'on compare la force centrifuge à la gravité prise pour l'unité, laquelle est,

(*) Ea examinant ces équations de plas près, on voit qa'elles admettent une autre solution, et qu*un ellipsoïde à trois axes inégaux peut satisfaire. Cette remarque est de Jacobi; elle a été développée par M. Liouville (Journal de l'École Polytechnique y tome XUI). rojrez une Note à la fin du volume. [/.Bertrand.)