DE CORPS ANIMÉS PAR DES FORCES QUELCONQUES

1 . Lorsque les forces qui agissent sur un système de corps sont disposées conformément aux lois exposées dans la première partie de ce Traité, ces forces se détruisent mutuellement, et le système demeure en équilibre. Mais quand l'équilibre n'a pas lieu, les corps doivent nécessairement se mouvoir, en obéissant en tout ou en partie à l'action des forces qui les sollicitent. La détermination des mouvements produits par des forces données, est l'objet de cette seconde partie.

Nous y considérerons principalement les forces accélératrices et retardatrices, dont l'action est continue, comme celle de la gravité, et qui tendent à imprimer à chaque instant une vitesse infiniment petite et égale à toutes les particules de matière.

Quand ces forces agissent librement et uniformément, elles produisent nécessairement des vitesses qui augmentent comme les temps ; et l'on peut regarder les vitesses ainsi engendrées dans un temps donné comme les effet»

SECONDE PABTIE. — LA DYNAMIQUE. aSi

les plus simples de ces sortes de forces, et, par conséquent, comme les plus propres à leur servir de mesure. Il faut, dans la Mécanique, prendre les effets simples des forces pour connus; et l'art de cette science consiste uniquement à en déduire les effets composés qui doivent résulter de l'action combinée et modifiée des mêmes forces .

2. Nous supposerons donc que l'on connaisse pour chaque force accélératrice la vitesse qu'elle est capable d'imprimer à un mobile en agissant toujours de la même manière, pendant un certain temps que nous prendrons pour l'unité des temps, et nous mesurerons h force accélératrice par cette même vitesse qui doit s'estimer par l'espace que le mobile parcourrait dans le même temps, si elle était continuée uniformément; or on sait, par les théorèmes de Galilée, que cet espace est toujours double de celui que le corps a parcouru réellement par l'action constante de la force accélératrice.

On peut d'ailleurs prendre une force accélératrice comme pour l'unité, et y rapporter toutes les autres. Alors il faudra prendre pour l'unité des espaces le double de l'espace que la même force continuée également ferait parcourir dans le temps qu'on veut prendre pour Tunité des temps, et la vitesse acquise dans ce temps par l'action continue de la même force sera l'unité des vitesses. De cette manière, les forces, les espaces, les temps et les vitesses ne seront que des simples rapports, des quantités mathématiques ordinaires.

Par exemple, si l'on prend la gravité sous la latitude de Paris pour l'unité des forces accélératrices, et qu'on compte le temps par secondes, on devra prendre alors 80,196 pieds de Paris pour l'unité des espaces parcourus, parce que 1 5,098 pieds est la hauteur d'où un corps abandonné à lui-même tombe, dans une seconde, sous cette latitude; et l'unité des vitesses sera celle qu'un corps pesant acquiert en tombant de cette hauteur.

3. Ces notions préliminaires supposées, considérons un système de corps disposés les uns par rapport aux autres, comme on voudra, et animés par des forces accélératrices cpelconques.

Soit m la masse de l'un quelconque de ces corps, regardé comme un point; rapportons, pour la plus grande simplicité, à trois coordonnées rectangles x, j, z la position absolue du même corps au bout, d'un temps quelconque t.

Ces coordonnées sont supposées toujours parallèles à trois axes fixes dans Tespace, et qui se coupent perpendiculairement dans un point nommé Tongine des coordonnées ; elles expriment, par conséquent, les distances rectilignes du corps à trois plans passant par les mêmes axes.

Ainsi, à cause de la perpendicularité de ces plans, les coordonnées a:, j*, z représentent les espaces par lesquels le corps en mouvement s'éloigne des

mêmes plans; par conséquent, jt» ^» -7^ représenteront les vitesses que ce

corps a dans un instant quelconque pour s'éloigner de chacun de ces plans-là, et se mouvoir suivant le prolongement des coordonnées x, y^ z; et ces vitesses, si le corps était ensuite abandonné à lui-même, demeureraient constantes dans les instants suivants, par les principes fondamentaux de la théorie du mouvement.

Mais, par la liaison des corps et par l'action des forces accélératrices qui les sollicitent, ces vitesses prennent, pendant l'instant cfe, les accroissements

^' '3t^ ^'dF^ ^'It^ ^'^^ s'agit de déterminer. On peut regarder ces accroissements comme de nouvelles vitesses imprimées à chaque corps, et, en les diVisant par dtj on aura la mesure des forces accélératrices employées immédiatement à les produire ; car, quelque variable que puisse être l'action d'une force, on peut toujours, parla nature du calcul différentiel, la regarder comme constante pendant un temps infiniment petit, et la vitesse engendrée par cette force est alors proportiomielle à la force multipliée par le temps ; par conséquent, la force elle-même sera exprimée par la vitesse divisée par le temps. En prenant l'élément dû du temps pour constant, les forces accélératrices

dont il s'agit seront exprimées par -jv» "j^^ "77^ ' ^** ^^ multipliant ces forces par la masse m du corps sur lequel elles agissent, on aura m ^~,- 1

m -^ î m -^ pour les forces employées immédiatement à mouvoir le corps m

pendant le temps dt, parallèlement aux axes des coordonnées x, y, z. On regardera donc chaque corps m du système comme poussé par de pareilles forces; par conséquent, toutes ces forces devront être équivalentes à celles dont on suppose que le système est sollicité, et dont l'action est modifiée par la nature même du système ; et il faudra que la somme de leurs moments soit

toujours égale à la somme des moments de celle-ci, par le théorème donné dans l'art. 1 S de la sect. II de la V^ partie.

4. Nous emploierons dans la suite la caractéristique ordinaire d pour représenter les différentielles relatives au temps, et nous dénoterons les variations qui expriment les vitesses virtuelles par la caractéristique 8, comme nous l'avons déjà fait dans quelques problèmes de la I** partie.

Ainsi on aura m -^-5- 8a?, m -^ 8j, m -^^ Iz pour les moments deà forces

m -^r,- ? m -^> m -^1 qui agissent suivant les coordonnées a;, j, 2, et tendent

à les augmenter ; la somme de leurs moments pourra donc être représentée par la formule

en supposant que le signe d'intégration S s'étende à tous les corps du système.

5. Soient maintenant P, Q, R, etc. , les forces accélératrices données, qui sollicitent chaque corps m du système, vers les centres auxquels ces forces sont supposées tendre; et soient/?, q^ r, etc., les distances rectilignes de chacun de ces corps aux mêmes centres. Les différentielles S/?, 8^, 8r, etc. , représenteront les variations des lignes /?, ^, r, etc. , provenantes des variations Ixj 8j, Iz des coordonnées a?, /, jz du corps m ; mais comme les forces P9 Q> R> etc.j sont censées tendre à diminuer ces lignes, leurs vitesses virtuelles doivent être représentées par — 8/?, — Iq^ — Zr^ etc. (art. 5, sect. II, part. I) ; donc les moments des forces mP, mQ, mR, etc., seront exprimés par — mP8/?, — mQ85r, — mR8r, etc. , et lasomme des moments de toutes ces forces sera représentée par

— S(P8/? -h Q8gr -f- R8r -+-...) m.

Égalant donc cette somme à celle de l'article précédent, on aura

= — S (PS/? H- QS^r + RSr + . . .) m,

Mee, anal, I. 3o

et, transposant le second membre,